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1、第6讲 MATLAB的符号计算,所谓符号计算是指在运算时,无须事先对变量赋值,而将所得到结果以标准的符号形式来表示。MathWorks公司以Maple的内核作为符号计算引擎（Engine），依赖Maple已有的函数库，开发了实现符号计算的两个工具箱：基本符号工具箱和扩展符号工具箱。,一、符号计算基础,一、符号计算基础,参与符号运算的对象可以是符号变量、符号表达式或符号矩阵。符号变量要先定义，后引用。可以用sym函数、syms函数将运算量定义为符号型数据。引用符号运算函数时，用户可以指定函数执行过程中的变量参数；若用户没有指定变量参数，则使用findsym函数默认的变量作为函数的变量参数。,（一
2、）定义符号变量,其目的是将x创建为符号变量，以x作为输出变量名。每次调用该函数,可以定义一个符号变量。,一、符号计算基础,（一）定义符号变量,1、sym函数,sym函数的主要功能是创建符号变量，以便进行符号运算，也可以用于创建符号表达式或符号矩阵。用sym函数创建符号变量的一般格式为：,x=sym(x),【例1】作符号计算：a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前，应先将a,b,x,y定义为符号运算量,一、符号计算基础,（一）定义符号变量,a=sym(a);%定义a为符号运算量，输出变量名为ab=sym(b);x=sym(x);y=sym(y);x,y=solve(a*x-b*y-1,a*x
3、+b*y-5,x,y)%以a,b为符号常数，x,y为符号变量,一、符号计算基础,（一）定义符号变量,即可得到方程组的解：x=3/ay=2/b,为了使乘积表达式x2+y2非负，这里，把变量x和y定义为实数。x=sym(x,real);y=sym(y,real);,一、符号计算基础,（一）定义符号变量,【例2】已知一复数表达式 z=x+i*y,试求其共轭复数,并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式。,z=x+i*y;%定义复数表达式conj(z);%求共轭复数expand(z*conj(z)%求表达式与其共轭复数乘积的多项式ans=x2+y2若要去掉x的属性,可以使用下面语句 x=sym(x,unr
4、eal)将x创建为纯格式的符号变量。,一、符号计算基础,（一）定义符号变量,syms函数的功能与sym函数类似。syms函数可以在一个语句中同时定义多个符号变量，其一般格式为：syms arg1 arg2 argN 用于将arg1,arg2,argN等符号创建为符号型数据。,一、符号计算基础,（一）定义符号变量,2、syms函数,（二）默认符号变量在数学表达式中，一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变量的系数，而用排在后面的字母表示变量。例如：f=ax2+bx+c表达式中的a,b,c通常被认为是常数，用作变量的系数；而将x看作自变量。,一、符号计算基础,例如，数学表达式 f=xn g=si
5、n(at+b)根据数学式中表示自变量的习惯，默认a,b,c为符号常数，x为符号变量。若在MATLAB中表示上述表达式，首先用syms 函数定义a，b，n，t，x为符号对象。在进行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认a,b,c为符号常数，x，t为符号变量。即：对函数f求导为：df/dx 对函数g求导为：dg/dt,一、符号计算基础,（二）默认符号变量,为了了解函数引用过程中使用的符号变量个数及变量名，可以用findsym函数查询默认的变量。该函数的引用格式为：findsym（f,n）说明：f为用户定义的符号函数，n为正整数，表示查询变量的个数。n=i,
6、表示查询i个系统默认变量。n值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量。,一、符号计算基础,（二）默认符号变量,【例3】查询符号函数 f=xn g=sin(at+b)中的系统默认变量。syms a b n t x%定义符号变量f=xn;%给定符号函数g=sin(a*t+b);findsym(f,1)%在f函数中查询1个系统默认变量ans=x表示f函数中查询的1个系统默认变量为x。,一、符号计算基础,（二）默认符号变量,（三）符号表达式符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等组成。符号表达式的书写格式与数值表达式相同。例如,数学表达式,一、符号计算基础,其符号表达式为：1+sqrt(5*x)/2
7、注意，在定义表达式前应先将表达式中的字符x定义为符号变量。,（四）生成符号函数将表达式中的自变量定义为符号变量后，赋值给符号函数名，即可生成符号函数。例如有一数学表达式：,一、符号计算基础,其用符号表达式生成符号函数fxy的过程为：syms a b c x y%定义符号运算量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2%生成符号函数生成符号函数fxy后，即可用于微积分等符号计算。,一、符号计算基础,（四）生成符号函数,【例4】定义一个符号函数 fxy=(a*x2+b*y2)/c2，分别求该函数对x、y的导数和对x的积分。syms a b c x y%定义符号变量fxy=(a*x2+b*y2)/c2；
8、%生成符号函数 diff(fxy，x)%符号函数fxy对x求导数ans=2*a*x/c2diff(fxy，y)%符号函数fxy对y求导数 ans=2*b*y/c2int(fxy，x)%符号函数fxy对x求积分ans=1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x),一、符号计算基础,（四）生成符号函数,二、微积分,（一）微积分函数1.求极限 函数limit用于求符号函数f的极限。系统可以根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指定值的极限值。该函数的格式及功能：,二、微积分,limit(f,x,a)：求符号函数f（x）的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f（x）函数的极限值。limit(f,a)
9、：求符号函数f（x）的极限值。由于没有指定符号函数f（x）的自变量，则使用该格式时，符号函数f（x）的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，既变量x趋近于a。limit(f)：求符号函数f（x）的极限值。符号函数f（x）的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。limit(f,x,a,right)：求符号函数f的极限值。right表示变量x从右边趋近于a。limit(f,x,a,left)：求符号函数f的极限值。left表示变量x从左边趋近于a。,二、微积分,【例5】求极限,二、微积分,syms x;%定义符号变量f
10、=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3;%确定符号表达式w=limit(f)%求函数的极限,输出：w=-1/2,2.微分函数diff函数用于对符号表达式s求微分。该函数的一般引用格式为：diff(s,v,n),二、微积分,说明：应用diff（s）没有指定微分变量和微分阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶微分。应用diff（s，v）或diff（s，sym（v）格式，表示以v为自变量，对符号表达式s求一阶微分。应用diff（s，n）格式，表示对符号表达式s求n阶微分，n为正整数。应用diff（s，v，n）格式，表示以v为
11、自变量，对符号表达式s求n阶微分。,【例6】求导数：,二、微积分,x=sym(x);%定义符号变量t=sym(t);diff(sin(x2)%求导运算ans=2*cos(x2)*x,3积分函数积分函数int（s，v，a，b)可以对被积函数或符号表达式s求积分。其引用格式为：int（s，v，a，b)说明：(1)应用int（s）格式，表示没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求一阶不定积分。(2)应用int（s，v）格式，表示以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求一阶不定积分。(3)应用积分函数时，如果给定 a、b两项，表示是进行定积分运算。
12、a、b分别表示定积分的下限和上限。不指定积分的下限和上限表示求不定积分。,二、微积分,【例7】求下述积分,二、微积分,syms xint(1/(1+x2)ans=atan(x),4.级数(级数求和)级数求和运算是数学中常见的一种运算。例如：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn函数symsum可以用于此类对符号函数f的求和运算。该函数的引用时，应确定级数的通项式s，变量的变化范围a和b。该函数的引用格式为：symsum(s,a,b),二、微积分,【例8】求级数的和:键入：1/12+1/22+1/32+1/42+,二、微积分,syms k symsum(1/k2,1,Inf)%k值
13、为1到无穷大ans=1/6*pi2其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+=2/6,三、简化方程表达式,1.因式分解factor函数的功能为：把多项式S分解为多个因式，各多项式的系数均为有理数。格式为：factor(s),三、简化方程表达式,【例9】将表达式(x9-1)分解为多个因式。syms xfactor(x9-1)ans=(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1),2.嵌套将符号多项式s用嵌套形式表示，即用多层括号的形式表示。horner函数可以实现此功能。该函数的格式为：horner(s),三、简化方程表达式,【例10】将表达式x3-6*x2+11*x-6用嵌套形式表示
14、。syms xhorner(x3-6*x2+11*x-6)ans=-6+(11+(-6+x)*x)*x,四、解方程,解方程函数的格式为：solve(expr1,expr2,.,exprN,var1,var2,.varN)或 solve(expr1,expr2,.,exprN)其功能为：求解代数方程组expr1,expr2,.,exprN的根，未知数为var1,var2,.varN。说明：若不指明符号表达式expr1,expr2,.,exprN的值，系统默认为0。例如给出一个表达式x2-3*x-8,则系统将按x2-3*x-8=0进行运算；,四、解方程,【例11】解代数方程：a*x2-b*x-6=0syms a b xsolve(a*x2-b*x-6)ans=1/2/a*(b+(b2+24*a)(1/2)1/2/a*(b-(b2+24*a)(1/2)即该方程有两个根:x1=1/2/a*(b+(b2+24*a)(1/2)；x2=1/2/a*(b-(b2+24*a)(1/2),四、解方程,上机作业：,1解方程组：2.计算：f(x)=sin(x)f(x)=1/cos(x),
