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1、2.5 微分方程,2.5.1 常微分方程的符号解,Maltlab提供了求解线性常微分方程函数r=dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v)，可以有以下几种调用格式：1）r=dsolve(eqn,v)：输入利用符号方程表示的微分方程eqn，v为自变量，系统缺省的自变量为t，返回方程通解；2）r=dsolve(eq1,eq2,.,v)：输入量eq1,eq2,.为利用符号方程表示的常微分方程组，其它同1）；3）r=dsolve(eq1,cond1,cond2,.,v)：输入利用符号方程表示的微分方程eqn，而cond1,cond2,.表示初始条件；,4）r=dsolve(eq
2、1,eq2,.,cond1,cond2,.,v)：输入量eq1,eq2,.为利用符号方程表示的常微分方程组，而cond1,cond2,.表示初始条件.注意：在调用此函数之前，必须首先将给定的常微分方程或方程组中的一阶导数用D表示，如 写成Dy，写成Dny.,解：1）Y,Z=dsolve(Dy=3*y-2*z,Dz=2*y-z,x)2）本题是同济大学数学教研室编写的高等数学中的例题，书中没有给出明确的通解表达式，X,Y=dsolve(D2y+Dy-x=exp(t),D2y+Dx+y=0),2.5.2 常微分方程的数值解,1、在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为so
3、lver，其一般格式为：T,Y=solver(odefun,tspan,y0)该函数表示在区间tspan=t0,t f 上，用初始条件y0求解显式常微分方程，其中odefun为显式常微分方程 中的；tspan为求解区间，要获得问题在其他指定点 上的解，则令(要求ti单调）、y0初始条件.Solver可取命令ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb等.,1）T,Y=ode45(odefun,tspan,y0)：大部分场合的首选算法，一步算法，4,5阶Runge-Kutta方法累积截断误差；2）T,Y=ode23(odefun,tspan,y0
4、)：适用于精度较低的情形，一步算法，2,3阶Runge-Kutta方法累积截断误差；3）T,Y=ode113(odefun,tspan,y0)：计算速度较快，多步算法，Adams算法，高低精度均可达到；4）T,Y=ode23t(odefun,tspan,y0)：采用梯形算法，适度刚性方程情形；5）T,Y=ode15s(odefun,tspan,y0)：若ode45失效时，可尝试使用其解决问题，Gears反向数值积分，精度中等；,6）T,Y=ode23s(odefun,tspan,y0)：一步法，2阶Rosebrock算法，低精度.2、在求解过程中有时需要对求解算法和控制条件进行进一步设置，这是
5、可以通过求解过程中的options 变量进行修改，初始options 变量可以通过odeset()获取，该函数为创建或改写ODE选项构架参数值.1）options=odeset(name1,value1,name2,value2,.)创建ODE选项构架参数值，控制参数name1,name2,.的属性值通过value1,value2,.来设定.常用控制参数主要有：RelTol：为相对容许上限，默认0.001；AbsTol：为一个向量，其分量表示每个状态变量允许的绝对误差，其默认值为10-6；,MaxStep：为求解方程最大允许的步长；Mass：微分代数方程中的质量矩阵，可用于描述微分代数方程；2
6、）options=odeset(oldopts,name1,value1,.)改写现有oldopts 的options结构体；3）options=odeset(oldopts,newopts)通过与新newopts的options结构体合并，改写现有oldopts 的options结构体.,fun=inline(-2*y+2*x*x+2*x);x,y=ode23(fun,0,0.5,1),解：首先建立名为rigid.M的函数function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);%a column vectordy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);d
7、y(3)=-0.51*y(1)*y(2);由已知得初始条件向量0 1 1，设置允许误差分别为10-4 10-5 10-6，相对容许上限10-4，然后在窗口中输入：options=odeset(RelTol,1e-4,AbsTol,1e-4 1e-4 1e-5);T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1,options)plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),-.,T,Y(:,3),.);,首先建立vdp1.M文件：function dydt=vdp1(t,y)dydt=y(2);(1-y(1)2)*y(2)-y(1);然后建立M文件，并运行：t,y=ode45(vdp1,
8、0 20,2;0);plot(t,y(:,1),-,t,y(:,2),-)title(Solution of van der Pol Equation,mu=1);xlabel(time t);ylabel(solution y);legend(y_1,y_2),2.5.3 偏微分方程的解法及应用,使用GUI求解偏微分方程的一般步骤是：1、区域设置2、设置边界条件3、设置方程类型4、网格剖分5、初值和误差的设置6、数值解的输出7、解的图形,使用程序常用命令有：1、g=circleg%调用几何体函数circleg.m2、b=circleb1%调用边界条件函数circleb.m3、u=assemp
9、de(b,p,e,t,c,a,f)%解偏微分方程4、p e t=initmesh(h)%对几何区域进行初始网格剖分5、pdemesh(p,e,t,u)%绘制PDE的三角形网格图6、pdesurf(p,t,u)%绘制PDE的表面图,解决这个问题可以通过使用图形用户界面（Graphical User Interface，简记为GUI），则可通过在命令窗口键入pdetool，回车后出现PDEToolbox窗口.然后通过一系列按钮你输入命令的方式完成，这里只给出Matlab程序求解PDE问题的方法.,输入命令为：g=circleg;h=hmax;%调用已有函数p,e,t=initmesh(g,h,1)
10、;%对几何区域进行初始网格err=1;while err0.001,p,e,t=refinemesh(g,p,e,t);%加密网格 b=circleb1;%调用已有函数 u=assempde(b,p,e,t,1,0,1);%解偏微分方程exact=(1-p(1,:).2-p(2,:).2)/4;%给出精确解err=norm(u-exact,inf);endpdemesh(p,e,t)%绘制网格图figure,pdesurf(p,t,u)%新开窗口，绘制方程解的曲面图figure,pdesurf(p,t,u-exact)%新开窗口，绘制误差图,2.5.4 传染病传播问题,1、求导函数diff；2
11、、绘图函数plot；3、微分方程求解函数dsolve、ode45等.,2.5.5 人口增长的预测,1、拟合函数polyfitpolyfit（x,y,n）：x,y为要拟合的数据，n为希望最佳拟合数据的多项式的次数.如果我们选择n=1，得到最简单的线性近似，通常称为线性回归.如果我们选择n=2作为阶次，得到一个2阶多项式.返回值为多项式的系数，高次在前，低次在后.2、多项式函数的预测值polyvalY=polyval(p，x)：求polyfit所得的多项式在x处的预测值Y.p是polyfit函数的返回值，x和polyfit函数的x值相同.3、函数插值interp1、interp2、interp3
12、1）一维插值：interp1(x,y,cx,method),此函数对于数据分析和曲线拟合都是很重要的.它应用多项式技术用多项式函数拟合提供的已知数据，通过已知的点求出一个适当的函数，并提供理想的插值点.其中y为包含函,数值的矢量，x是与y长度相同的矢量，包含与y相对应的取值.矢量cx包含用于插值的点.第四个参数method用于指定插值方法，主要包括：邻近插值（nearest）、线性插值（linear）、样条插值（spline）、立方插值（cubic）.,2）二维插值interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method),Z为包含二维函数值的数组；数组X与Y具有相同的大小，为对应于Z的取值的自变
13、量组成的数组；X1与Y1为用于插值的数组；参数method用于指定插值方法，主要包括：邻近插值（nearest）、双线性插值(linear)、二重三次方插值(cubic).3）三维插值interp3(X,Y,Z,V,X1,Y1,Z1,method),实现三维数据插值，X1、Y1与Z1为用于确定插值点函数值的三个自变量的值的组成的数组；对于有三个自变量的函数v=f(x,y,z),任意一点x,y,z存在与之对应的值v，在插值时必须指定X、Y、Z的三个数组及其与之对应的函数值组V；method 用于指定插值方法，主要包括：邻近插值（nearest）、三次线性插值(linear)、三次立方插值(cubic).,
