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1、优化设计实验课件,现代工程计算-MATLAB,目录,第1章 MATLAB基础第2章 优化计算,第1章 MATLAB基础,1.1 MATLAB环境简介1.2 数据表示1.3 矩阵运算1.4 MATLAB的图形系统简介 1.5 源文件（M文件）,1.1 MATLAB窗口,启动MATLAB其窗口如右,1.1 MATLAB窗口,1、Command Window(命令窗口)一行可写入一个或多个命令，命令之间用逗号或分号隔开，如果命令尾带分号将不显示该命令的执行结果；如果命令有返回结果，如果不赋给自定义变量，将默认赋给变量ans；变量还可有续行；最后用回车提交命令。命令窗口常用键 键显示前个命令 键显示后
2、个命令 Esc键取消输入 Ctrl+x剪切 Ctrl+c复制,1.1 MATLAB窗口,2、Workspace(工作区)程序运行中的自定义变量和默认变量都包含在工作区中。可通过工作区观察变量的大小、类型，双击变量名可查看数值大小。也可用who和whos命令查看3、Command History(命令记录)记录了Command Window 中的每一条命令，双击Command History中的命令，即可重复那条命令。,1.1MATLAB的帮助系统,4.帮助命令：help 文件名 或 函数名 帮助菜单：演示命令：demo总体看，matlab可以被视为一个计算工具、绘图工具、编程工具,1.2 数据
3、表示,数据类型有整型、实型、复型、字符串四种类型 1、常数 1）整型常数：10 0 10 2）实型常数：0.3.3 3.3914e-2（表示范围约10308）3）复型常数：12i 3.56.18i 13.2i 4）字符串常数:MATLAB I cant do.(两个连写的单撇号表示一个单撇号)注意：没有逻辑型，但与C语言那样，非0为真，0为假,数据类型,2、变量 变量用标识符表示（字母打头、字母、数字、下划线组成，长度19）。可以合法出现而定义。区分大小写字母，以当前值定义其类型。3、函数名 函数名用标识符表示。4、特殊常数 ANS、PI等。,数据的输出格式,输出格式：SHORT 按5位小数（
4、含小数点、下同）输出LONG 按15位小数（含小数点、下同）输出SHORT e 按5位小数、科学记数方式输出LONG e 按15位小数、科学记数方式输出HEX 按16进制输出,数据的输出格式,在MATLAB中，数据的存储和运算都以双精度进行，但输出结果可指定格式。指定输出格式的方法有两种：1 菜单命令法V6.1中，选择File中的Preferences命令，在General、Command Window等项目中设置。2 使用Format命令法格式：Format 格式串,数据的输出格式,例如：format long e5/3ans=1.66666666666667e+000format rat0
5、.75ans=3/4,数组,1.2.2 数组分为行向量、列向量、矩阵。普通变量可看成11数组。1、创建数组的基本方法 1）直接列表定义数组 变量元素值1 元素值2 元素值n 变量元素值1,元素值2,元素值n 变量行1各元素;行2各元素;行n各元素 例如：x=1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 y=1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 z=1,2,3,4,5;2,3,4,5,6,7,数组,2）域表定义数组 变量初值：增量：终值初值：终值 变量（初值：增量：终值）常数 例如：x=0:0.02:10 y=1:80 z=(1:0.1:7)*10e-5,数组,3）利用函数定义数组 变量linspa
6、ce(初值,终值,元素个数)如：x=linspace(0,pi,11)的结果为:x=Columns 1 through 4 0 0.3142 0.6283 0.9425 Columns 5 through 8 1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 Columns 9 through 11 2.5133 2.8274 3.1416,数组,2、数组的访问（一维）数组名 表示全体元素数组名(k)表示第k元素数组名(k1:k2)表示第k1到k2元素数组名(k1:k2:k3)表示第k1、k1+k2、k1+2k2，到k3元素数组名(k1,k2,kn)表示第k1,k2,kn元素其中：kp也
7、可为初值:终值或初值:增量:终值的形式。,数组,例如：a=1:2:15则：1 3 a(2)5 a(3:5)7 a(5:-1:2)9 a(2,6,8)11 13 15,a的值,1.2.3 数组运算,1、数组的基本运算设有数组 变量或常量1）一维数组拼接u=a x 结果为a1an x1xm或u=a c1 c2 ck结果为 a1an c1 c2 ck2）转置a.点转置a 共轭转置,数组运算,2.纯量与数组的算术运算 a c1 或 c1 a 其中可为、结果为a1c1 a2c1 anc1 或c1a1 c1a2 c1an3.数组加（减）使两数组的对应各元素相加(减)a+b 结果为a1+b1 a2+b2an
8、+bnab 结果为a1b1 a2b2anbn（a与b的维数必须相同）,1.2.3 数组运算,4.数组点乘使两数组的对应元素相乘a.*b 结果为a1b1 a2b2anbn（a与b的维数必须相同）5.数组点正除（右除）使两数组的对应元素正除 a./b 结果为:（a、b维数必须相同）,1.2.3 数组运算,6.数组点反除（左除）a.b 结果为：显然：a./b=b.a（a、b维数必须相同）7.数组的幂运算 a.c1 结果为a1c1 a2c1anc1 c1.a 结果为c1a1 c1a2c1an a.b 结果为a1b1 a2b2anbn,1.2.3 数组运算,8、1数组和0数组1）1数组 ones(n)建
9、立nn全为1的数组 ones(r,c)建立r行c列的1数组2）0数组 zeros(n)建立nn全为0的数组 zeros(r,c)建立r行c列的0数组,1.2.3 数组运算,9.用逻辑数组操作一个数组 对数组的逻辑运算产生逻辑数组，且结果中用1表示真，0表示假 如：x=3:3x=3 2 1 0 1 2 3t=abs(x)1 t为逻辑数组t=1 1 0 0 0 1 1y=x(t)提取t中为真对应的x元素y=3 2 2 3,1.2.3 数组运算,对数组有以下的逻辑运算：l 比较运算符：=两数组对应元素相比较，或一个数组的各元素与一个纯量相比较，结果为逻辑数组。显然相比较的数组必须具有相同大小l 逻辑
10、运算符（与）（或）（非）XOR（异或）两相同大小的数组进行（与）、（或）、XOR（异或）运算是对应元素的运算（也允许一个数组与一纯量进行这些运算）。对任一数组都可以进行（非）运算 如：A&B A|B XOR(A,B)A A&2,1.3 矩阵运算,二维数组（矩阵）的访问g(r,c)访问gr,c元素g(r,:)访问g中第r行各元素g(:,c)访问g中第r列各元素g(i)访问g按列排列后的第i个元素 2.插入新元素而扩展如：A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;插入：A(2,6)=10 插入后，A变成3行6列矩阵，未定义的新元素值内定为0。即,1.3 矩阵运算,3.重排如对A=1,2,3;4,5,
11、6;7,8,9;B=A(3:1:1,:)或B=A(3:1:1,1:3)将把A的各列元素倒排生成B B=7 8 9 4 5 6 1 2 3,1.3 矩阵运算,4.提取如：A(:,1 3)%提取A的第1、3列A(1:2,2:3)%提取A中前两行的后两列设 C=1 3则：A(C,C)%提取A第1、3行中第1、3列各元素，效果与A(1 3,1 3)相同.,1.3 矩阵运算,5.置空（删去某行或某列）如：A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;B=A；B(:,2)=；将B的第2列删掉B=A；B(1,:)=；删去B的第1行,1.3 矩阵运算,6.置零如：A(2,:)=0,0,0 将把A的第2行置零。注意：
12、不能写成 A(2,:)=07.数组的规模s=size(A)生成行向量s，值为A的行数，列数r,c=size(A)返回A的行数r，列数cr=size(A,1)返回A的行数rc=size(A,2)返回A的列数,1.3 矩阵运算,8.矩阵乘设gmn和hnm，则gh 结果为mm矩阵hg 结果为nn矩阵注意：矩阵乘()与数组乘(.)的区别9.矩阵除矩阵正除（右除）：A/B矩阵反除（左除）：AB由于在MATLAB中是根据关系式：BA=(A/B)所以 AB相当于A1B,1.3 矩阵运算,10.矩阵乘方 矩阵的标量乘方 Ap 当p为整数时，A应为方阵：p0 则 Ap=AAA p次p=0 则 Ap=A0 等于与
13、A同维的单位矩阵p0 则Ap=inv(Aabs(p)即求A自乘|p|次后的逆矩阵,1.3 矩阵运算,11.逆矩阵利用inv函数可以求得逆矩阵例：A=1 2；3 2 x=inv（A）则 x=-0.5 0.5；0.75-0.25若 I=inv（A）*A则 I=1 0；0 112.特征向量利用eig函数可以求得矩阵的特征向量,1.3 矩阵运算,练习输入数组计算 2*a、a+b、a-b、a.*b、a、a,b、a.2、a./b练习求解线性方程组提示：将方程组化为 的矩阵形式，利用矩阵运算求解,1.4MATLAB图形系统简介,1.PLOT命令PLOT命令用来绘制二维图形例：在命令窗口输入X=0:0.1:1
14、Y=0:0.3:3Plot(x,y)2.LINE命令LINE命令用来根据点画线例：在命令窗口输入X=5,6,7;y=8,12,6Line(x,y),1.4MATLAB图形系统简介,3.GRID ON命令用来显示绘图网格4.编辑图形对象属性点击工具栏上的箭头按钮(edit plot)，选中绘制的图形，单击右键，选“properties”命令。line styleline width line colormarker style marker size marker color5.添加辅助说明点击工具栏上的A(insert text)和右箭头(insert arrow)按钮，在图形中添加辅助说明的
15、箭头和文字,1.4MATLAB图形系统简介,6.PATCH命令PATCH 命令用来绘制二维面例：在命令窗口输入X=5,6,7；y=8,12,6；z=5,4,3Patch(y,z,4);patch(x,y,3)7.图表生成命令pie命令用来生成饼图；bar命令用来生成直方图例：在命令窗口输入X=5,6,7；y=8,12,6；z=5,4,3Pie(x);bar(x,z),1.5 源文件（M文件）,分为两类：函数文件和非函数文件。都用扩展名.M 函数文件（相当于子程序）格式1（无返回值函数）Function 函数名(输入表)%称为函数头 函数体 例如:function box(opt_box);格式
16、2（有返回值函数）function 输出表函数名(输入表)函数体,1.5.1 函数文件,其中：输出表 是函数的返回值，若输出表中只有一项,则方括号可省略。例如:function ab=getobj(HG)注意：函数名必须与定义它的文件名主名相同函数体是对各参数、局部变量和全局变量的操作。输入、输出变量间用逗号隔开。函数体内必须对输出表中的变量赋值。函数头与函数体之间可以有多个以符号“”开始的注释行，说明函数的功能和使用方法。语句后加分号，则在命令窗口中显示其计算结果。,1.5.2 非函数文件,实例：见例3.7.1 文件objfun.m为函数文件；文件main.m为非函数文件,非函数文件是无函数
17、头的M文件，由若干命令和注释构成。相当于批处理文件或主程序如：%Filename is a sine.m x=0:0.1:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)%可包含汉字注释,1.5.3 M-文件的操作,1、建立新M-文件 在命令窗中选File/New/M-file命令，打开编辑窗口可同时打开多个M文件2、保存M文件在文本编辑器中选File/Save As 命令,1.5.3 M-文件的操作,3、编辑M文件在命令窗口/文本编辑器中选 File/Open 命令4 运行M文件在文本编辑器中选Debug/Run 命令或按F5键或在命令窗口使用命令行调用，格式为：文件名,第2章优化计算,2.1
18、线性规划及其优化工具箱函数2.2无约束非线性及其优化函数2.3约束及其优化函数2.4综合应用,2.1线性规划及其优化函数,线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB解决的线性规划问题的标准形式为：其中：。,2.1线性规划及其优化函数,函数 linprog格式 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)x,fval=linprog()x,fval,exitflag
19、=linprog()x,fval,exitflag,output=linprog()x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(),2.1线性规划及其优化函数,说明 f:是优化参数x的系数矩阵；lb,ub:设置优化参数x的上下界；fval:返回目标函数在最优解x点的函数值；exitflag:返回算法的终止标志；output:返回优化算法信息的一个数据结构。,2.1线性规划及其优化函数,应用举例 求使函数 取最小值的x值，且满足约束条件：,2.1线性规划及其优化函数,代码f=-5;-4;-6;A=1-1 1;3 2 4;3 2 0;b=20;42;30;lb=ze
20、ros(3,1);x,fval=linprog(f,A,b,lb)结果 x=0.0000 15.0000 3.0000 fval=-78.0000,练习解下面线性规划问题,某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需要材料9Kg、3个工时、4KW电，可获利60元。生产乙种产品每件需要材料4Kg、10个工时、5KW电，可获利120元。若每天能供应材料360Kg，有300个工时，能供200KW电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能获得最大的利润。,2.1线性规划及其优化函数,提示：,2.2无约束非线性及其优化函数,函数 fminsearch格式 x=fminsearch(fun,x0)x=fm
21、insearch(fun,x0,options)x,fval=fminsearch()x,fval,exitflag=fminsearch()x,fval,exitflag,output=fminsearch(),2.2无约束非线性及其优化函数,说明 fun 是目标函数 options 设置优化选项参数 fval 返回目标函数在最优解 x点的函数值 exitflag 返回算法的终止标志 output 返回优化算法信息的一个数据结构,2.2无约束非线性及其优化函数,应用举例求函数 取最小值时的值。代码%首先编写f(x)的.m 文件 function f=myfun(x)f=sin(x)+3;%然
22、后调用函数fminsearch x0=2;%起始点 x,fval=fminsearch(myfun,x0)结果 x=4.7124 fval=2.0000,练习 的最小值提示：x,fval=fminsearch(fun,x0)的基本格式不能动。因此x和x0应为12向量，目标函数可写成,2.2无约束非线性及其优化函数,或,2.2无约束非线性及其优化函数,函数fminunc格式x=fminunc(fun,x0)x=fminunc(fun,x0,options)x,fval=fminunc()x,fval,exitflag=fminunc()x,fval,exitflag,output=fminunc
23、()x,fval,exitflag,output,grad=fminunc()x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc(),2.2无约束非线性及其优化函数,说明 fun 是目标函数 options 设置优化选项参数 fval 返回目标函数在最优解x点的函数值 exitflag 返回算法的终止标志 output 返回优化算法信息的一个数据结构 grad 返回目标函数在最优解x点的梯度 hessian 返回目标函数在最优解x点的Hessian矩阵值,2.2无约束非线性及其优化函数,应用举例 的最小值代码%首先编写目标的.m文件 function f=m
24、yfun(x)f=3*x(1)2+2*x(1)*x(2)+x(2)2%然后调用函数 fminunc%起始点 x0=1,1;x,fval=fminunc(myfun,x0),2.2无约束非线性及其优化函数,结果x=1.0e-008*-0.7512 0.2479fval=1.3818e-016,2.3约束及其优化函数,函数 fminbnd格式 x=fminbnd(fun,x1,x2)x=fminbnd(fun,x1,x2,options)x,fval=fminbnd()x,fval,exitflag=fminbnd()x,fval,exitflag,output=fminbnd(),应用背景给定区
25、间x1xx2，求函数f(x)的最小值。X可以是多元向量,2.3约束及其优化函数,说明 fun 是目标函数 x1,x2 设置优化变量给定区间的上下界 options 设置优化选项参数 fval 返回目标函数在最优解x点的函数值 exitflag 返回算法的终止标志 output 是一个返回优化算法信息的结构,2.3约束及其优化函数,应用举例求函数 在区间（0，5）内的最小值代码%首先编写目标函数的.m文件 function f=myfun(x)f=(x-3).2-1;%调用函数fminbnd x,fval=fminbnd(myfun,0,5)结果x=3fval=-1,2.3约束及其优化函数,函数
26、 fmincon格式 x=fmincon(fun,x0,A,b)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x,fval=fmincon()x,fval,exitflag=fmincon()x,fval,exitflag,output=fmincon(),2.3约束及其优化函数,x,fval,exitflag,output,l
27、ambda=fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda,grad=fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian=fmincon()说明fun 是目标函数 options 设置优化选项参数 fval 返回目标函数在最优解x点的函数值 exitflag 返回算法的终止标志 output 返回优化算法信息的一个数据结构 grad 返回目标函数在最优解x点的梯度 hessian 返回目标函数在最游解x点Hessian矩阵值,nonlcon：函数由每一个输入变量x计算出c和ceq，用于估计给定x点的非线性不等式
28、和非线性等式。和 见综合应用例。应用背景约束条件如下，求解函数f（x）的最小值,其中A、Aeq是矩阵，b、x、beq、lb、ub均是向量,2.3约束及其优化函数,应用举例计算使函数 取最小值时的x值，,约束条件为分析：将约束条件化为两个不等式：从而可将它们写成矩阵不等式的形式：其中A=-1,-2,-2;1,2,2,b=0;27,2.3约束及其优化函数,代码：%首先编写目标函数的.m文件 function f=myfun(x)f=-x(1)*x(2)*x(3);x0=10;10;10%起始点 A=-1,-2,-2;1,2,2;b=0;27;x,fval=fmincon(myfun,x0,A,b)
29、,2.3约束及其优化函数,解得x=1.0e+006*2.0057-0.5014-0.5014fval=-5.0426e+017,2.4综合应用,一、基础1、options：设置优化选项参数，它是一个结构参数，主要参数如下：Display 设置显示算法返回值的类别，“off”表示不显示结果，“iter”表示每次迭代都显示返回值，“final”表示只显示最后返回值；MaxFunEval 设置算法中函数估计的最大数目；MaxIter 设置算法迭代的最大次数；Tolx 设置使算法终止的x值。Tolfun 设置使算法终止的f(x)值LargeScale 是采用large-scale算法还是medium-
30、scale算法,2.4综合应用,2、optimget函数功能 获取优化算法的特征参数值。工程应用背景优化函数的语法中都带有一个参数options,它是一个结构参数，可以通过调用optimget函数来获取指定的options结构成员参数的值。语法val=optimget(options,param);val=optimget(options,param,default);,2.4综合应用,说明一般来说，调用optimget函数时指定的param参数应该在options中有定义；如果param 参数在options中没有定义，则返回default指定的参数值。实例分析要返回某一优化函数的optio
31、ns的Display的值。分析：val=optimget(options,Display);,2.4综合应用,3、optimset函数功能 设置或编辑优化算法的特征参数值。工程应用背景在实际应用中，可能需要对优化算法的特征结构参数options的某些成员参数进行具体设置或编辑以达到预期的效果，这时可以应用optimset函数语法 options=optimset(param1,value1,param2,value2,.)options=optimset(optimfun)options=optimset(oldoptions,param1,value1,.),2.4综合应用,options=
32、optimset(oldoptions,newoptions)说明param 是options的成员特征参数，value是其所要设置的值，oldoptions代表以前的优化参数，newoptions代表另一个优化参数，从而用newoptions的非空参数值代替oldoptions中相应的参数的值。实例分析（1）设置options 的Display属性为iter,TolFun的属性值为1e-8:options=optimset(Display,iter,TolFun,1e-8),2.4综合应用,(2)将oldoptions的值复制给newoptions：newoptions=optimset(o
33、ldoptions)(3)将oldoptions的值复制给 newoptions，同时改变其中的TolX属性值为1e-8:newoptions=optimset(oldoptions,TolX,1e-8),2.4综合应用,二、范例1、已知函数 求且满足非线形约束：边界约束：,2.4综合应用,分析 这样的非线性约束优化问题可以用MATLAB优化工具箱中的fmincon函数来求解，因为约束为非线性约束，所以不能将约束条件信息直接包含在函数的输入中，必须编写函数返回在每一点x处的约束值，然后再调用优化函数fmincon；另一方面，fmincon函数要求的约束条件一般为c(x)0,所以将约束改为：,2
34、.4综合应用,程序清单%编写目标函数function y=objfun(x)y=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);%编写返回约束值的函数functionc,ceq=confun(x)%非线性不等式约束C=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;,2.4综合应用,%线形等式约束ceq=;%初始点x0=-1,1;%设置下界lb=0,0;%无上界ub=;,2.4综合应用,%采用标准算法options=optimset(largescale,off);x,fval=fmincon(objfun,x0,lb
35、,ub,confun,options)c,ceq=confun(x);结果输出x=0 1.5000fval=8.5000,2.4综合应用,2、传递转矩并承受弯矩的等截面轴的最优化设计具体见书P164 分析 1、数学模型已建见书 2、选用fmincon函数 3、参数选取：材料 普通碳刚 取7800扭转角许用值 轴所传递的最大转短矩 1000N*m许用扭转应力 110 Mpa材料的剪切弹性模数 81Gpa,2.4综合应用,%编写目标函数（）function y=objfun(x)y=7800*pi*x(1)2*x(2)/4;%编写返回约束值的函数function c,ceq=confun(x)%不
36、等式约束c=16*0.01/pi/(x(1)3)-110;32*0.01*x(2)/pi/81000/(x(1)4)-5/180*pi;%等式约束ceq=;,2.4综合应用,%dmin dmax-直径上下界 lmax-传动元件间距上下界%初始点x0=-2,2;%设置下界lb=0.05,0.8;%s设置上界ub=0.2,1;%采用标准算法options=optimset(largescale,off);x,w,existflag,output=fmincon(objfun,x0,lb,ub,confun,options)c,ceq=confun(x);,2.4综合应用,结果x=0.0871 0.8000w=37.2082即当轴的直径取87.1mm、传动元件间距取800mm时，轴的质量最小37.21kg。,2.4综合应用,练习1、无约束优化问题教材P146计算 3-13 至 3-17题2、约束优化问题教材P146、P147计算 3-21 至3-27题,
