matlab矩阵代数.ppt

《matlab矩阵代数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《matlab矩阵代数.ppt（46页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、MATLAB数学实验 A 矩阵代数,矩阵计算线性方程组建模举例：投入产出分析,2023/11/8,第三章 矩阵代数,2,一 矩阵计算,创建矩阵的方法直接输入法 规则：矩阵元素必须用 括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 在 内矩阵的行与行之间必须用分号分隔,矩阵元素可以是任何matlab表达式，可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数i，j 输入,a=1 2 3;4 5 6 x=2 pi/2;sqrt(3)3+5i,2023/11/8,第三章 矩阵代数,3,注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖。当一个指令或

2、矩阵太长时，可用三个以上的续行,逗号和分号的作用：逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,4,冒号的作用 用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。用于选出矩阵指定行、列及元素。循环语句,用matlab函数创建矩阵,空阵 matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。rand（m,n）返回mn随机矩阵eye(n)返回n阶单位矩阵zeros(m,n）返回mn全部元素都为0的矩阵ones(m,n)返回mn全部元素都为1的矩阵,2023/11/8,第三章 矩阵代数,5,还有伴随矩阵、稀

3、疏矩阵、魔方矩阵(magic)、对角矩阵diag、范德蒙(vandermode)等矩阵的创建。注意：matlab严格区分大小写字母，因此a与A是两个不同的变量。matlab函数名必须小写。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,6,矩阵的修改,直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。指令修改 可以用A(,)=来修改。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,7,例如a=1 2 0;3 0 5;7 8 9a=1 2 0 3 0 5 7 8 9a(3,3)=0a=1 2 0 3 0 5 7 8 0,可用find函数找出矩阵元素编址修改。,I=find(a=0);a(

4、I)=100;a=1 2 100 3 100 5 7 8 9,注：I=5;9,2023/11/8,第三章 矩阵代数,8,2.矩阵运算,(1)矩阵加、减（,）运算 规则：相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,9,(2)矩阵乘（）运算规则：A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 标量可与任何矩阵相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*b c=14 32 23,d=-1;0;2;f=pi*df=-3.1416 0 6.2832,2023/11/8,第

5、三章 矩阵代数,10,(3)矩阵乘方 an,ap,pa,a p a 自乘p次幂,方阵,1的整数,对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，a是标量ap使用特征值和特征向量自乘到p次幂；如a,p都是矩阵，ap则无意义。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,11,a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2 ans=30 36 42 66 81 96 102 126 150,当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。,a0.5 ans=0.4498+0.7623i 0.5526+0.2068i 0.6555-0.3487i 1.0185+0.0842i 1.2515

6、+0.0228i 1.4844-0.0385i 1.5873-0.5940i 1.9503-0.1611i 2.3134+0.2717i,2023/11/8,第三章 矩阵代数,12,(4)矩阵的其它运算,inv(A)求矩阵A逆det(A)求A行列式的值eig(A)返回矩阵A的特征值向量或特征向量列矩阵和特征值对角矩阵diag(A)返回矩阵A的对角元素向量diag(x)返回以向量x为对角的对角矩阵 矩阵转置sqrt(A)返回矩阵A方根null(A)返回矩阵A行向量正交补，即Ax0的基础解系,2023/11/8,第三章 矩阵代数,13,相似对角化如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则必存在可逆

7、矩阵P,使得 P-1AP=,其中是A的特征值构成的对角矩阵。P的列向量是对应的n个正交特征向量。（P,=eig(A)）使用MATLAB函数eig求得的每个特征向量都是单位向量，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,14,例3 用相似变换矩阵P将A相似对角化，并求，这里,1.0000 0.4472 0 0 0 0 0 0 1.0000,q A=1 0 0;1/4 1/2 1/4;0 0 1；V,D=eig(A)；则An为inv(V)*Dn*V，算得 为,q A=1 0 0;1/4 1/2 1/4;0 0 1；V,D=eig(A)；则An为inv(V

8、)*Dn*V，算得 为,q A=1 0 0;1/4 1/2 1/4;0 0 1；V,D=eig(A)；则An为inv(V)*Dn*V，算得 为,q A=1 0 0;1/4 1/2 1/4;0 0 1；V,D=eig(A)；则An为inv(V)*Dn*V，算得 为,2023/11/8,第三章 矩阵代数,15,(5)矩阵的一些特殊操作,矩阵的变维 a=1:12;b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩阵的变向 rot90:旋转;fliplr:左右翻;flipud:上下翻矩阵的抽取 diag:抽取主对角线;tril:抽取主下三角;triu:抽取主上三角矩阵的扩展

9、 由小矩阵以矩阵格式扩展成大矩阵,2023/11/8,第三章 矩阵代数,16,(6)矩阵的数组运算,数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同！数组加减(.+,.-)a.+b a.-b,对应元素相加减（与矩阵加减等效）,2023/11/8,第三章 矩阵代数,17,数组乘除(，./，.）ab a，b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a.*b ans=2 8 18 4 15 30 49 72 90,2023/11/8,第三章 矩阵代数,18,数组乘除(，./，.）ab

10、a，b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a.*bans=2 8 18 4 15 30 49 72 90,2023/11/8,第三章 矩阵代数,19,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a*bans=25 37 46 55 85 109 85 133 172,矩阵乘法,2023/11/8,第三章 矩阵代数,20,a./b=b.aa.b=b./aa./b=b.a 都是a的元素被b的对应元素除a.b=b./a 都是a的元素被b的对应元素除a=1 2 3;b=4

11、5 6;c1=a.b;c2=b./ac1=4.0000 2.5000 2.0000c2=4.0000 2.5000 2.0000,2023/11/8,第三章 矩阵代数,21,数组乘方(.)元素对元素的幂例:a=1 2 3;b=4 5 6;z=a.2z=1.00 4.00 9.00z=a.bz=1.00 32.00 729.00,2023/11/8,第三章 矩阵代数,22,3.多项式运算,matlab语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的：f(x)=anxn+an-1xn-1+a0 p=an an-1 a1 a0 即用行向量 p=an an-1 a1 a0表示 1)矩阵

12、特征多项式 函数poly(A)产生矩阵A的特征多项式系数向量特征多项式一定是n+1维的特征多项式第一个元素一定是1,2023/11/8,第三章 矩阵代数,23,例 a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00P表示的多项式是p(x)=x3-6x2-72x-27p1=poly2str(p,x)将多项式p的向量形式转化为函数形式显示p1=poly2str(p,x)p1=x3-6 x2-72 x-27,2023/11/8,第三章 矩阵代数,24,例如 a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p=1.00-6.00-72.0

13、0-27.00r=roots(p)r=12.12-5.73 r是矩阵a的特征值组成的向量-0.39,2)roots 求多项式的根,注意，我们可用poly命令由多项式的根向量返回多项式形式：p2=poly(r)p2=1.00-6.00-72.00-27.00matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,25,3)多项式乘/除运算,conv(p,q)返回多项式p与q的乘积,例 a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=1 2 3;b=4 5 6;c=conv(a,b)=conv(1

14、2 3,4 5 6)c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00p=poly2str(c,x)p=4 x4+13 x3+28 x2+27 x+18,2023/11/8,第三章 矩阵代数,26,a=1 2 3;c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00d=deconv(c,a)d=4.00 5.00 6.00,2023/11/8,第三章 矩阵代数,27,二 求解代数方程,线性方程组表示为 A x=b,2023/11/8,第三章 矩阵代数,28,对于方程Axb，A 为nm矩阵，求解时分三种情况：当n=m时，此方程成为“恰定”方程 当nm时，此方程成为“超定”方程

15、当nm时，此方程成为“欠定”方程,2023/11/8,第三章 矩阵代数,29,线性方程组的解若秩(A)秩(A,b)，则无解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)n,存在无穷多解；通解是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系与 Ax=b 的一个特解之和。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,30,1.恰定方程组的解,方程Ax=b(A为非奇异)x=A-1 b Matlab的两种解法:x=inv(A)b 采用求逆运算解方程 x=Ab 采用左除运算解方程,2023/11/8,第三章 矩阵代数,31,方程Ax=bA=1 2;2 3;b=8;13;x=inv(a)*b x=A

16、b x=x=2.00 2.00 3.00 3.00,例 x1+2x2=8 2x1+3x2=13,=,Ax=b,2023/11/8,第三章 矩阵代数,32,2.超定方程组的解,方程 Ax=b,mn时此时不存在唯一解。方程解(AA)x=A b x=(A A)-1A b 求逆法给出一个基本解 x=Ab matlab用最小二乘法找一个基本解。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,33,例:x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=3 a=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3;解1 x=Ab 解2 x=inv(AA)A b x=1.00 0,2023/11/8,第三章 矩阵代数,34,3

17、.欠定方程组的解,当方程数少于未知量个数时,即不定情况,有无穷多个解存在。matlab可求出两个解：具有最多零元素的解(除法):x=Ab 具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆pinv求得的:x=pinv(A)*b,2023/11/8,第三章 矩阵代数,35,x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2A=1 2 3;2 3 4;b=1;2;x=Ab x=pinv(A)b x=x=1.00 0.83 0 0.33 0-0.17,A x=b,2023/11/8,第三章 矩阵代数,36,例2 线性方程组通解用rref化为行最简形以后求解用除法求出一个特解，再用null求得一个齐次组的基础

18、解系,2023/11/8,第三章 矩阵代数,37,A=1-1 1-1 1;-1 1 1-1 1;2-2-1 1-1;rref(A)ans=1-1 0 0 0 0 0 1-1 1 0 0 0 0 0所以该方程组的通解为x=0,0,1,0+c1*1,1,0,0+c2*0,0,1 1,A=1-1 1-1;-1 1 1-1;2-2-1 1;Abans=0 0 1 0,2023/11/8,第三章 矩阵代数,38,null(A)ans=0.7071 0.0000 0.7071 0.0000 0.0000 0.7071 0.0000 0.7071则可给出该方程组的通解为x=0,0,1,0+c1*0.7071

19、,0.7071,0,0+c2*0,0,0.7071,0.7071,2023/11/8,第三章 矩阵代数,39,相似对角化 如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则必存在可逆矩阵P,使得 P-1AP=,其中是A的特征值构成的对角矩阵。P的列向量是对应的n个正交特征向量。（P,=eig(A)）使用MATLAB函数eig求得的每个特征向量都是单位向量，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,40,例3 用相似变换矩阵P将A相似对角化，并求，这里,2023/11/8,第三章 矩阵代数,41,三 建模举例,设有n个经济部门，xi为部门i的总产出，cij为部

20、门j单位产品对部门i产品的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为部门j新创造的价值。分配平衡方程组消耗平衡方程组 i,j=1,2,n,2023/11/8,第三章 矩阵代数,42,令 C=（cij），X=(x1,xn),D=(d1,dn)，F=(f1,fn),则 X=CX+D令 A=EC，E为单位矩阵，则 AX=FC称为直接消耗矩阵A称为列昂杰夫（Leontief）矩阵。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,43,Y=1,1,1*B,Y表示各部门的总投入，称为投入向量。,新创造价值向量 F=X Y,B=C,B表示各部门间的投入产出关系，称为投入产出矩阵。,2023/11/8,第三章 矩阵代数,

21、44,例 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费;生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费;创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电费。在某一周内煤矿接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界对地方铁路没有需求。问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值？,2023/11/8,第三章 矩阵代数,45,解：这是一个投入产出分析问题。设x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产值,x3为铁路总产值,则,2023/11/8,第三章 矩阵代数,46,直接消耗矩阵C=,外界需求向量 D=,产出向量X=,则原方程为(E-C)X=D，X=(E-C)D,投入产出矩阵为 B=C*diag(X)总投入向量 Y=ones(1,3)*B 新创造价值向量 F=X-Y,