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1、第三章 Matlab矩阵分析与处理,矩阵是Matlab的基本特征，也是Matlab重要特性，它的运算功能丰富而方便，前一章介绍的矩阵的建立及基本运算，本章介绍矩阵分析与处理。,3.1 特殊矩阵,Matlab中产生特殊矩阵的函数有：,zeros:产生全0矩阵（零矩阵）ones：产生全1矩阵(幺矩阵）eye：产生单位矩阵,rand：%产生0-1间均匀分布的随机矩阵；randn%产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵,调用格式：,zeros(m):%产生mm零矩阵；zreos(m,n):%产生mn零矩阵；zreos(size(A):%产生于矩阵A同样大小的零矩阵,其它的几个函数的调用格式相似,
2、例：分别建立33，32，23零矩阵,zeros(3)zeros(3,2)zeros(2,3),例：建立随机矩阵（1）在区间20，50内均匀分布的5阶矩阵（2）均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵,解（1）z=20+(50-20)*rand(5),输出结果：,z=48.5039 42.8629 38.4630 32.1712 21.7367 26.9342 33.6940 43.7581 48.0641 30.5860 38.2053 20.5551 47.6544 47.5071 44.3950 34.5795 44.6422 42.1462 32.3081 20.2958 46.
3、7390 33.3411 25.2880 46.8095 24.1667,解（2）y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5),输出结果（略）,3.2 矩阵结构变换,一、对角阵,对角线上有非0元素的矩阵为对角阵，对角线上元素相等的对角阵称为数量矩阵，对角线上的元素全为1称为单位矩阵。,（1）提取矩阵对角线元素,A=1 2 3;4 5 6;D=diag(A),diag(A)函数还有一种形式diag(A,k),可提取第k条对角线元素，主对角向上为1，向下为-1，类推。,（2）构造对角矩阵,diag(1 2-1 4),ans=1 0 0 0 0 2 0 0 0 0-1 0 0 0 0 4,输出结
4、果：,diag(1:3,1)diag(1:3,-1),例：建立一个55矩阵，然后将第1行乘1第2行乘2，,A=1 2 3 4 5;6 7 8 9 10;11 12 13 14 1516 17 18 19 20;21 22 23 24 25d=diag(1:5)B=d*A,二、三角阵,三角阵又分上三角阵、下三角阵,A=7 13-28;2-9 8;0 34 5 B=triu(A),triu(A,k)表示第k条对角线以上保留，其它置0,A=7 13-28;2-9 8;0 34 5tril(A)%取下三角,tril(A,k)与triu(A,k)一样使用,3.2.2 矩阵的转置和旋转,A=7 13-28
5、;2-9 8;0 34 5B=A,旋转 A=7 13-28;2-9 8;0 34 5 B=rot90(A),转置,格式：fliplr(A)%左右翻转 flipud(A)%上下翻转,3.3 矩阵求逆于线性方程组求解,称B为A矩阵的逆矩阵,A=7 13-28;2-9 8;0 34 5 B=inv(A)C=A*B,故A与A-1是互逆的，满秩矩阵才可能互逆。,二、用矩阵求逆的方法求解线性方程组,线性方程组：,其矩阵表达式：,线性方程Ax=b的解,例：用求逆矩阵的方法解线性方程组,Matlab程序：,A=1 2 3;1 4 9;1 8 27;b=5;-2;6;x=inv(A)*b,输出结果：,x=23.
6、0000-14.5000 3.6667,x=Ab 也可用矩阵左除,det(A)求A(方阵）行列式的值,A=rand(5)B=det(A),三、矩阵的秩和迹,求秩函数格式：rank(A)：求矩阵A的秩,1、矩阵的秩矩阵线形无关的行或列数称为矩阵的秩。何谓矩阵线形无关的行或列？,求迹函数格式：trace(A)：求矩阵A的迹,2、矩阵的迹矩阵的迹为矩阵对角线元素之和，也为矩阵的特征值之和,例如,A=2 2 3;4 5-6;7 8 9trace(A),输出结果,A=2 2 3 4 5-6 7 8 9ans=16,四、向量和矩阵的范数,向量的3种常用范数及其计算函数,设向量V=（v1，v2，vn）,（1
7、）2-范数,（2）1-范数,（3）-范数,在Matlab中，求3种向量范数的函数分别为：,norm(v)或norm(v,2)：计算向量v的2-范数,norm(v,1)：计算向量v的1-范数,norm(v,inf)：计算向量v的-范数,例如：,v1=norm(v,1)%v的1-范数v2=norm(v)%v的2-范数vinf=norm(v,inf)%v的-范数,Matlab中，3种矩阵范数的函数分别为,norm(A，1)：计算矩阵A的1-范数,norm(A)：计算矩阵A的2-范数,norm(A,inf)：计算矩阵A的-范数,3.5 矩阵的特征值与特征向量,对于n阶方阵A，求数 和向量，使得 成立，
8、满足等式的数 称为A的特征值，而向量 称为A的特征向量,特征向量和特征值在科学研究和工程计算中广泛应用，Matlab提供和了计算矩阵A的特征向量和特征值函数有3种：,E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量Ev,D=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵，并求A的特征向量构成v的列向量v,D=eig(A,nobalance)：与第二种类似，但第二种格式中线对A作相似变换后求矩阵的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。,注：一个矩阵有无穷多个特征向量，而eig只求n个,例如：A=1 1 0.5;1 1 0.25;0.5 0.25 2;v,D=eig(A),输出
9、结果：,v=0.7212 0.4443 0.5315-0.6863 0.5621 0.4615-0.0937-0.6976 0.7103D=-0.0166 0 0 0 1.4801 0 0 0 2.5365,例：用求特征值的方法解方程,解题思路：先构造与方程对应的多项式的伴随矩阵A，在求A的特征值，A的特征值即为方程的根。,P=3-7 0 5 2-18;A=compan(P)%求伴随矩阵x1=eig(A),方法1,P=3-7 0 5 2-18;x2=roots(P),方法2,3.6 矩阵的超越函数,Matlab中的数学运算函数，如sqrt、exp、log等都是作用在矩阵个元素上,例如：,A=4
10、 2;3 6B=sqrt(A),Matalb还提供了一些直接作用于矩阵的超越函数，这些函数名都在上述内部函数名之间之后缀以m，并规定输入参数必须是方阵,1、矩阵平方根,sqrtm(A)计算矩阵的平方根,A=4 2;3 6B=sqrtm(A),输出结果,B=1.9171 0.4652 0.6978 2.3823,若A为是对称正定矩阵，则一定能算出它的平方根。若A矩阵含有负的特征根，则sqrtm(A)将会的到一个复矩阵。,A=4 9;16 25;X=eig(A)B=sqrtm(A),例如：,输出结果：,X=-1.4452 30.4452B=0.9421+0.9969i 1.5572-0.3393i
11、 2.7683-0.6032i 4.5756+0.2053i,2、矩阵对数logm,此函数的输入参数的条件与输出结果间的关系和函数sqrtm(A)完全一样,A=4 9;1 5L=logm(A),L=1.0639 2.4308 0.2701 1.3340,输出结果：,3、矩阵指数expm,expm(A)的功能是求矩阵指数eA，expm函数与logm函数是互逆的。,B=expm(L),输出结果：,B=4.0000 9.0000 1.0000 5.0000,4、通用矩阵函数funm,funm(A,fun)对矩阵A的计算由fun定义的函数矩阵的函数值。,例如：A=4 9;1 5 funm(A,log),输出结果：,ans=1.0639 2.4308 0.2701 1.3340,例如：A=1.0639 2.4308;0.2701 1.3340 funm(A,exp),输出结果：,ans=4.0000 9.0000 1.0000 5.0000,
