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1、计算机模拟,模拟的概念,模拟就是利用物理的、数学的模型来类比、模仿现实系统及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法,模拟的基本思想是建立一个试验的模型，这个模型包含所研究系统的主要特点通过对这个实验模型的运行，获得所要研究系统的必要信息.,模拟的方法,1物理模拟：对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等,物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模型上改变系统结构和系数都较困难而且，许多系统无法进行物理模拟，如社会经济系统、生态系统等,在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运行，称为数学模拟现代的数学模拟都是在计算机上进行的，称为计算机模拟,2数学模拟,
2、计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数都比较容易,数学模拟的分类：（1）确定情况下的模拟（2）随机情况下的模拟,例1：舰艇追击实验（确定情况下的模拟）,某缉私舰雷达发现距离d=10km处有一艘走私船正以速度u=8km/h匀速沿直线行驶，缉私舰立即以速度v=12km/h追赶。若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私船追逐路线和追上的时间。,理论求解结果,根据微分方程建模和求解结果可知：缉私舰追击曲线为：,计算机仿真实验,模拟练习:追逐问题,例 追逐问题:如图,正方形ABCD的4个顶点各有1人.在某一时刻,4人同时出发以匀速v=10m/s按顺时针方向追逐下一人,如果他们
3、始终保持对准目标,则最终按螺旋状曲线于中心点O.试求出这种情况下每个人的行进轨迹.假设四个人的初始点坐标为：A(0,100),B(100,100),C(100,0),D(0,0),在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择,蒙特卡罗（Monte Carlo）方法是一种应用随机数来进行计算机模拟的方法此方法对研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统的某些参数,产生模拟随机数的计算机命令,在MATLAB软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数，命令如
4、下：,2产生mn阶，均匀分布的随机数矩阵：rand(m,n)产生一个，均匀分布的随机数：rand,1产生mn阶a，b上均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：unifrnd(a,b,m,n)产生一个a，b均匀分布的随机数：unifrnd(a,b),当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它,当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态分布,机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点与目标的偏差、各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态分布,若
5、连续型随机变量X的概率密度函数为 其中 0为常数，则称X服从参数为 的指数分布,指数分布的期望值为,排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布,指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用,注意：MATLAB中，产生参数为 的指数分布的命令为exprnd(),例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布,指数分布的均值为1/0.1=10 指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均10个单位时间到达1个顾客.顾客到达的间隔时间可用exprnd(10)模拟,设离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,且取各个值的概率为其中 0为常数，则
6、称X服从参数为 的泊松分布,泊松分布在排队系统、产品检验、天文、物理等领域有广泛应用,泊松分布的期望值为,例2:报童模型,问题,报童售报：a(零售价)b(购进价)c(退回价),售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多卖不完退回赔钱,购进太少不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,等于每天收入的期望,建模,设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n),调查需求量的随机规律每天需求量为 r 的概率 f(r),r=0,1,2,准备,求 n 使 G(n)最大,已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,
7、求解,将r视为连续变量,实际算例：,例3：随机模拟(排队论模型),考虑一个收款台的排队系统。某商店只有一个收款台，顾客到达收款台的时间间隔服从平均时间为10s的指数分布。指数分布密度函数为 每个顾客的服务时间服从均值为6.5s，标准差为1.2s的正态分布。试计算顾客在收款台的平均逗留时间，系统的服务强度（服务占所有时间之比）。,实验作业（赌徒输光问题）,两个赌徒甲、乙将进行一系列的赌博。在每一局中甲获胜的概率为p，而乙获胜的概率为q，p+q=1。在每一局后，失败者都要付一元钱给胜利者。在开始时甲拥有资本a元，而乙有资本b元，两个赌徒直到甲输光或乙输光而停止赌博。求甲输光所有钱的概率。请给出p=0.2,a=10,b=8的实际结果。,
