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1、第一章 建立数学模型,1.1 从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例1.4 数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模,玩具、照片、飞机、火箭模型,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.,1.1 从现实对象到数学模型,我们常见的模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速为20km/h.,甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺
2、水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?,x=20y=5,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20,y=5）；,回答原问题（船速为20km/h）.,数学模型(Mathematical Model)和数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.,建立数学模型的全过程（包括表述、求解
3、、解释、检验等）,数学模型,数学建模,1.2 数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视.,在一般工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域,数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.,“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”.,数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”.,“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”.,数学建模的重要意义,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控
4、制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,1.3 数学建模示例,1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地.,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性.,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置.,四只脚着地,距离是的函数.,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与
5、地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.,f(),g()是连续函数,对任意,f(),g()至少一个为0,数学问题,已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()g()=0;且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,3）由 f,g 的连续性知 h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0(0 0/2),使h(0)=0,即 f(0)=g(0).,1）将椅子旋转90o，对角线AC和BD互换.由 g(0)=0，f(0)0，知 f(
6、/2)=0,g(/2)0.,2）令 h()=f()g(),则 h(0)0 和 h(/2)0.,4）因为 f()g()=0,所以 f(0)=g(0)=0.,1.3.2 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),3名商人 3名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.,乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员.,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,s
7、k=(xk,yk)过程的状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk,vk)过程的决策,D 允许决策集合,uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,D=(u,v)u+v=1,2,u,v=0,1,2,状态因决策而改变,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y)16个格点,允许决策 移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s1,sn+1,d1,d11给出安全渡河方案,允许状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2
8、,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律 sk+1=sk+(-1)kdk 由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,模型构成,商人和随从人数增加或小船容量加大;,商人们怎样安全过河,智力游戏,多步决策过程(数学模型),易于推广:,考虑4名商人各带一随从的情况.,多步决策模型:,恰当地设置状态和决策,确定状态转移律及目标(目标函数).,便于求解(计算机编程等).,场景,1.3.3 如何施救药物中毒,两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.,诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不
9、良症状.,按照药品使用说明书，氨茶碱的成人用量是100200mg/次，儿童是35 mg/kg.,过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，100g/ml浓度会出现严重中毒，200g/ml浓度可致命.,医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100200 g/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.,调查与分析,转移率正比于x,排除率正比于y,认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”.,药量x(t),药量y(t),血液系统对药物的吸收率(胃肠道到血液系统的转移率)和排除率可以由半衰期确定.,半衰期可以从药品说明书上查到.,通常，血液总量
10、约为人体体重的78%，体重5060 kg的成年人有4000ml左右的血液.,目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml.,调查与分析,血药浓度=药量/血液总量,口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.,临床施救的办法：,体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证.,模型假设,1.胃肠道中药物向血液的转移率与x(t)成正比，比例系数(0)，总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.,2.血液系统中药物的排除率与y(t)成正比，比例系数(0)，t=0时血液中无药物.,3.氨茶碱被吸收的半衰期为5小时，排除的半衰期
11、为6小时.,4.孩子的血液总量为2000ml.,胃肠道中药量x(t),血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）.,模型建立,x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数),总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.,y(t)由吸收而增长的速度是x，由排除而减少的速度与y(t)成正比(比例系数),t=0时血液中无药物.,模型求解,药物吸收的半衰期为5小时,药物排除的半衰期为6小时,只考虑血液对药物的排除,血液总量2000ml,血药浓度200g/ml,结果及分析,胃肠道药量,血液系统药量,血药浓度100g/ml,孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3小时后将致命！,
12、y(2)=236.5,施救方案,口服活性炭使药物排除率增至原来的2倍.,孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t),=0.1386(不变)，=0.1155*2=0.2310,施救方案,施救后血液中药量z(t)显著低于y(t).,z(t)最大值低于致命水平.,要使z(t)在施救后立即下降，可算出至少应为0.4885.,若采用体外血液透析，可增至0.1155*6=0.693，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律.,将对象看作“黑箱”,通过
13、对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型.,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析.,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数.,1.4 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模型准备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个比较清晰的“问题”,模型假设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模型构成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学
14、建模的一般步骤,模型求解,各种数学方法、软件和计算机技术.,如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析.,模型分析,模型检验,与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性.,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题.,选择适当的数学方法求得数学模型的解答.,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.,用现实对象的信息检验得到的解答.,实践,现实世界,数学世界,1.5 数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强
15、健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态、,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计、,表现特性,描述、优化、预报、决策、,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,1.6 怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型.,亲自动手，认真作几个实际题目.,参加全国大学生数学建模竞赛的意义和作用,1992年中国工业与应用数学学
16、会(CSIAM)开始组织,1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月),2010年33省/市/区(含港澳)的1195校17200队,内容,赛题：工程技术、管理科学中简化的实际问题.,答卷：包含模型假设、建立、求解计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文.,形式,3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛.,可使用任何“死”材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论.,宗旨,创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,标准,假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性.,全国大学生数学建模竞赛 http:/,竞赛培养创新精神和综合素质,赛题紧
17、密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实际的学风和实践能力.,解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究的能力.,没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发挥聪明才智和创造精神.,综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择合适的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力.,三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短时间内获取与赛题有关知识的能力.,分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养同学的团队精神和组织协调能力.,完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科技论文，培养同学的文字表达能力.,竞赛培养创新精神和综合素质,在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识和自律精神.,
