MATLAB解方程与函数极值b.ppt

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1、第3章 MATLAB数据分析与多项式计算3.1 数据统计处理3.2 数据插值3.3 曲线拟合3.4 离散傅立叶变换3.5 多项式计算,3.1 数据统计处理3.1.1 最大值和最小值MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。1求向量的最大值和最小值求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分别是：(1)y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。,(2)y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。求向量X的最小值的函数是min(X)，

2、用法和max(X)完全相同。例3-1 求向量x的最大值。命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x)%求向量x中的最大值y,l=max(x)%求向量x中的最大值及其该元素的位置,2求矩阵的最大值和最小值求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是：(1)max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。(2)Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。,(3)max(A,dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的

3、第i行上的最大值。求最小值的函数是min，其用法和max完全相同。例3-2 分别求34矩阵x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。,3两个向量或矩阵对应元素的比较函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：(1)U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。(2)U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。min函数的用法和max完全相同。例3-3 求两个23矩阵x,y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。,

4、3.1.2 求和与求积数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。,prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的

5、各元素乘积。例3-4 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。,3.1.3 平均值和中值求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为：mean(X)：返回向量X的算术平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于medi

6、an(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。例3-5 分别求向量x与y的平均值和中值。,3.1.4 累加和与累乘积在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：cumsum(X)：返回向量X累加和向量。cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时，返回一个矩阵，其第

7、i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。,3.1.5 标准方差与相关系数1求标准方差在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当flag=0时，

8、按1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按2所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。例3-7 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。,2相关系数MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为：corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。,例3-8 生成满足正态分布的100005随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列

9、随机数据的相关系数矩阵。命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X),3.1.6 排序MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为：Y,I=sort(A,dim)其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。,例3-9 对二维矩阵做各种排序。3.2 数据插值3.2.1 一维数据插值在MATLAB中，实现这些插值的函数是interp1，其调用

10、格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有linear、nearest、cubic、spline。,注意：X1的取值范围不能超出X的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。例3-10 用不同的插值方法计算在/2点的值。MATLAB中有一个专门的3次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。,例3-

11、11 某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度()，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度()。设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：h=6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI=6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,spline)%用3次样条插值计算,3.2.2 二维数据插值在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为：Z1=interp2(X,

12、Y,Z,X1,Y1,method)其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。method的取值与一维插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。同样，X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。,例3-12 设z=x2+y2，对z函数在0,10,2区域内进行插值。例3-13 某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度()。试用线性插值求出在

13、一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。命令如下：x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;xi=0:10;hi=0:20:60;TI=interp2(x,h,T,xi,hi),3.3 曲线拟合在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。polyfit函数的调用格式为：P,S=polyfit(X,Y,m)函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量，P

14、是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。polyval函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值，将在节中详细介绍。,例3-14 已知数据表t,y，试求2次拟合多项式p(t)，然后求ti=1,1.5,2,2.5,9.5,10各点的函数近似值。,3.5 多项式计算3.5.1 多项式的四则运算1多项式的加减运算2多项式乘法运算函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量。例3-16 求多项式x4+8x3-10与多项式2x2-x+3的乘积。,3多项式除法函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P

15、1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。,例3-17 求多项式x4+8x3-10除以多项式2x2-x+3的结果。3.5.2 多项式的导函数对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)：求多项式P的导函数p=polyder(P,Q)：求PQ的导函数p,q=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量表示。,例3-18 求有理分式的导数。命令如下：P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder

16、(P,Q),3.5.3 多项式的求值MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。,1代数多项式求值polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：Y=polyval(P,x)若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。例3-19 已知多项式x4+8x3-10，分别取x=1.2和一个23矩阵为自变量计算该多项式的值。,2矩阵多项式求值polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval相同

17、，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，P代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)而polyval(P,A)的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)例3-20 仍以多项式x4+8x3-10为例，取一个22矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。,3.5.4 多项式求根n次多项式具有n个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：x=roo

18、ts(P)其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的n个根。,例3-21 求多项式x4+8x3-10的根。命令如下：A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。,例3-22 已知 f(x)(1)计算f(x)=0 的全部根。(2)由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P

19、)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多项式g(x),第3章 MATLAB数值积分与微分3.1 数值积分3.2 数值微分,3.1 数值积分3.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。,3.1.2 数值积分的实现方法1变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：I,n=q

20、uad(fname,a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。,例3-1 求定积分。(1)建立被积函数文件fesin.m。function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数quad求定积分。S,n=quad(fesin,0,3*pi)S=0.9008n=77,2牛顿柯特斯法基于牛顿柯特斯法，MAT

21、LAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。,例3-2 求定积分。(1)被积函数文件fx.m。function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x);(2)调用函数quad8求定积分。I=quad8(fx,0,pi)I=2.4674,例3-3 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在

22、相同的积分精度下，比较函数的调用次数。调用函数quad求定积分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=65,调用函数quad8求定积分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254754n=33,3被积函数由一个表格定义在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。例3-4 用trapz函数计算定积分。命令如下：

23、X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量trapz(X,Y)ans=0.28579682416393,3.1.3 二重定积分的数值求解使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在a,bc,d区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。,例3-5 计算二重定积分(1)建立一个函数文件fxy.m：function f=fxy(x,y)global ki;ki=ki+1;%ki用于统计被积函数的调用次数f=ex

24、p(-x.2/2).*sin(x.2+y);(2)调用dblquad函数求解。global ki;ki=0;I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1)kiI=1.57449318974494ki=1038,3.2 数值微分3.2.1 数值差分与差商3.2.2 数值微分的实现在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,d

25、im)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。,例3-6 生成以向量V=1,2,3,4,5,6为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。命令如下：V=vander(1:6)DV=diff(V)%计算V的一阶差分,例3-7 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f(x)的图像。程序如下：f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2);g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5);x=-3:0.0

26、1:3;p=polyfit(x,f(x),5);%用5次多项式p拟合f(x)dp=polyder(p);%对拟合多项式p求导数dpdpx=polyval(dp,x);%求dp在假设点的函数值dx=diff(f(x,3.01)/0.01;%直接对f(x)求数值导数gx=g(x);%求函数f的导函数g在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,.,x,gx,-);%作图,第9章 MATLAB符号计算9.1 符号对象9.2 符号微积分9.3 级 数9.4 符号方程求解,9.1 符号对象9.1.1 建立符号对象1建立符号变量和符号常量MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函

27、数的用法不同。(1)sym函数sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：符号量名=sym(符号字符串)该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。下面的命令用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。,(2)syms函数函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而

28、不要用逗号分隔。,2建立符号表达式含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法：(1)利用单引号来生成符号表达式。(2)用sym函数建立符号表达式。(3)使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,9.1.2 符号表达式运算1符号表达式的四则运算符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。2符号表达式的提取分子和分母运算如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：n,d=numden(s)该函数提取符号表达式s

29、的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。,3符号表达式的因式分解与展开MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：factor(s)：对符号表达式s分解因式。expand(s)：对符号表达式s进行展开。collect(s)：对符号表达式s合并同类项。collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。,4符号表达式的化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。,5符号表达式与数值表达式之间的转换利用函数sym可以将数值表达式

30、变换成它的符号表达式。函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。,9.1.3 符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(s,n)函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。,9.1.4 符号矩阵符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算。MATLAB还有一些专用

31、于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。determ(s)：返回s矩阵的行列式值。其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。,9.2 符号微积分9.2.1 符号极限limit函数的调用格式为：(1)limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。(2)limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数fi

32、ndsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。,(3)limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。(4)limit(f,x,a,right)：求符号函数f的极限值。right表示变量x从右边趋近于a。(5)limit(f,x,a,left)：求符号函数f的极限值。left表示变量x从左边趋近于a。,例9-1 求下列极限。极限1：syms a m x;f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a);limit(f,x,a)an

33、s=(1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a极限2：syms x t;limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)ans=exp(6*t),极限3：syms x;f=x*(sqrt(x2+1)-x);limit(f,x,inf,left)ans=1/2极限4：syms x;f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4);limit(f,x,2,right)ans=-1/2,9.2.2 符号导数diff函数用于对符号表达式求导数。该函数的一般调用格式为：diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函

34、数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。diff(s,v)：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。diff(s,v,n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。例9-2 求下列函数的导数。,9.2.3 符号积分符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示

35、定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间a,b上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间a,b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。例9-3 求下列积分。,9.2.4 积分变换常见的积分变换有傅立叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。1傅立叶(Fourier)变换在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(f,x,t)：求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立叶像函数F(t)的原函数f

36、(x)。例9-4 求函数y=的傅立叶变换及其逆变换。,2拉普拉斯(Laplace)变换在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：laplace(fx,x,t)：求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。例9-5 计算y=x3的拉普拉斯变换及其逆变换。,3Z变换当函数f(x)呈现为一个离散的数列f(n)时，对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：ztrans(fn,n,z)：求fn的Z变换像函数F(z)。iztrans(Fz,z,n)：求Fz的z变换原函数f(n)。例9-6 求数列 fn=e-2n的Z变换及其逆变换

37、。,第3章 MATLAB解方程与函数极值3.1 线性方程组求解3.2 非线性方程数值求解3.3 常微分方程初值问题的数值解法3.4 函数极值,3.1 线性方程组求解3.1.1 直接解法1利用左除运算符的直接解法对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“”求解：x=Ab,例3-1 用直接解法求解下列线性方程组。命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,3;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;x=Ab,2利用矩阵的分解求解线性方程组矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Sc

38、hur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。,(1)LU分解矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为：L,U=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须是方阵。L,U,P=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须是方阵。实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U(Lb)或x=U(LPb)，这样

39、可以大大提高运算速度。,例3-2 用LU分解求解例3-1中的线性方程组。命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,3;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;L,U=lu(A);x=U(Lb)或采用LU分解的第2种格式，命令如下：L,U,P=lu(A);x=U(LP*b),(2)QR分解对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为：Q,R=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。Q,R,E=qr(X)：产生一个一个正交

40、矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R(Qb)或x=E(R(Qb)。,例3-3 用QR分解求解例3-1中的线性方程组。命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,3;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;Q,R=qr(A);x=R(Qb)或采用QR分解的第2种格式，命令如下：Q,R,E=qr(A);x=E*(R(Qb),(3)Cholesky分解如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即X=RR。MATLA

41、B函数chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为：R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使RR=X。若X为非对称正定，则输出一个出错信息。,R,p=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则R为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足RR=X(1:q,1:q)。实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成RRx=b，所以x=R(Rb)。,例3-4 用Cholesky分解求解例3-1中的线性方程组。命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,3;0,2,1,-1;1,

42、6,-1,-4;b=13,-9,6,0;R=chol(A)?Error using=cholMatrix must be positive definite命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。,3.1.2 迭代解法迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。1Jacobi迭代法对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即aii0(i=1,2,n)，则可将A分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对角元素，L与U为A的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为：x=D-1(

43、L+U)x+D-1b与之对应的迭代公式为：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b这就是Jacobi迭代公式。如果序列x(k+1)收敛于x，则x必是方程Ax=b的解。,Jacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下：function y,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;end,例3-5 用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2

44、;0,-2,10;b=9,3,6;x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6),2Gauss-Serdel迭代法在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原来的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。,Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函数文件gauseidel.m如下：function y,n=gause

45、idel(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y;y=G*x0+f;n=n+1;end,例3-6 用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件gauseidel.m，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,3,6;x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6),例3-7 分别用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组，看是否收敛。命令如下：a=1,2,-2;1,1,1;2,2,1;b=

46、9;3;6;x,n=jacobi(a,b,0;0;0)x,n=gauseidel(a,b,0;0;0),3.2 非线性方程数值求解3.2.1 单变量非线性方程求解 在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为：z=fzero(fname,x0,tol,trace)其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace指定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取trace=0。,例3-8 求f(x)=x-1

47、0 x+2=0在x0=0.5附近的根。步骤如下：(1)建立函数文件funx.m。function fx=funx(x)fx=x-10.x+2;(2)调用fzero函数求根。z=fzero(funx,0.5)z=0.3358,3.2.2 非线性方程组的求解 对于非线性方程组F(X)=0，用fsolve函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为：X=fsolve(fun,X0,option)其中X为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初值，option为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来。

48、如果想改变其中某个选项，则可以调用optimset()函数来完成。例如，Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中off为不显示，iter表示每步都显示，final只显示最终结果。optimset(Display,off)将设定Display选项为off。,例3-9 求下列非线性方程组在(0.5,0.5)附近的数值解。(1)建立函数文件myfun.m。function q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);(2)在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调

49、用fsolve函数求方程的根。x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off)x=0.6354 0.3334,将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：q=myfun(x)q=1.0e-009*0.2335 0.2953 可见得到了较高精度的结果。,3.3 常微分方程初值问题的数值解法3.3.1 龙格库塔法简介3.3.2 龙格库塔法的实现 基于龙格库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：t,y=ode23(fname,tspan,y0)t,y=ode45(fname,tspan,y0)其中fname是定义f(t,y

50、)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。tspan形式为t0,tf,表示求解区间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。,例3-10 设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较(精确解为y(t)=)。(1)建立函数文件funt.m。function yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);(2)求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0);%求数值解y1=sqrt(t+1)+1;%求精确解tyy1 y为数值解，y1为精确值，显然两者近似。,3.4 函数极值 MATLAB提供了基于单纯形算法