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1、新人教版九年级数学(下册)第二十八章,28.2 解直角三角形（1）,用数学视觉观察世界用数学思维思考世界,复习,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：,对于sin与tan，角度越大，函数值也越大；（带正）对于cos，角度越大，函数值越小。,问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50a75.现有一个长6m的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1）？这时人是否能够安全使用这个梯子？,这样的问题怎么解决,问题（1）可以归结为：在Rt ABC
2、中，已知A75，斜边AB6，求A的对边BC的长,问题（1）当梯子与地面所成的角a为75时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度,因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m,所以 BC60.975.8,由计算器求得 sin750.97,由 得,对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在RtABC中，已知AC2.4，斜边AB6，求锐角a的度数,由于,利用计算器求得,a66,因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66,由506675可知，这时使用这个梯子是安全的,在RtABC中,（1）根据A=60,斜边A
3、B=30,A,你发现了什么,B,C,B AC BC,A B AB,一角一边,两边,（2）根据AC=，BC=你能求出这个三角形的其他元素吗？,两角,（3）根A=60,B=30,你能求出这个三角形的其他元 素吗?,不能,你能求出这个三角形的其他元素吗?,30,事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素,定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫解直角三角形。,在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：,解直角三角形,（2）两锐角之间的关系,AB90,（3）边角之间的关系,
4、（1）三边之间的关系,（勾股定理）,在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：,例1 如图，在RtABC中，C90，解这个直角三角形,解：,例2 如图，在RtABC中，B35，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）,解：A90B903555,你还有其他方法求出c吗？,例3 如图，在RtABC中，C90，AC=6，BAC的平分线，解这个直角三角形。,6,解：,因为AD平分BAC,在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；（1）a=30,b=20;,练习,解：根据勾股定理,在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；(2)B72，c=14.,解：,1、在下列直角三角形中不能
5、求解的是（）(A)已知一直角边一锐角(B)已知一斜边一锐角(C)已知两边(D)已知两角,D,2、（2010江西中考）如图，从点C测得树的顶角为33，BC20米，则树高AB 米（用计算器计算，结果精确到0.1米）,【答案】13.0,AB=BCtanC=20tan33=13.0,3、（2010东营中考）如图，小明为了测量其所在位置，A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得ACB，那么AB等于（）(A)msin米(B)mtan米(C)mcos米(D)米,B,4、(2011滨州中考)边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为_cm.,【解析】一边上的高=6sin60
6、=【答案】,5、（2010重庆中考）已知：如图，在RtABC中，C90，AC 点D为BC边上一点，且BD2AD，ADC60求ABC的周长（结果保留根号）,解决有关比萨斜塔倾斜的问题,设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在RtABC中，C90，BC5.2m，AB54.5m,所以A528,A,B,C,解直角三角形,A B90,a2+b2=c2,三角函数关系式,计算器,由锐角求三角函数值,由三角函数值求锐角,解直角三角形：,由已知元素求未知元素的过程,直角三角形中，,例4：2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射成功当飞船完成变
7、轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km）,分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点,如图，O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点 的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算 的长需先求出POQ（即a）,例题,解：在图中，FQ是O的切线，FOQ是直角三角形,弧PQ的长为,当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km,1.如图，沿
8、AC方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取ABD=140，BD=520m，D=50，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）,BED=ABDD=90,答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.,解：要使A、C、E在同一直线上，则 ABD是 BDE 的一个外角,2、如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为30m,请你求出大树的高.,30,AB的长,D,台风是一种空气旋涡，是破坏力很强的自然灾害。2006年5月18日2时15分，台风“珍珠”在广东汕头澄海和饶平之间登陆
9、，一棵百年大树被吹断折倒在地上，你能测量出这棵大树在折断之前大约有多高吗？,直接测量被折断的两部分树干AC和AB的长度,再把它们加起来.,大树高度=AB+AC,情景分析,如何知道这棵大树在折断之前有多高？,方案一:,测量地面距离BC和被折断的树干AC或AB的长度,再用勾股定理解答.,情景分析,如何知道这棵大树在折断之前有多高？,方案二:,先用测角仪测量B的度数,再测量地面距离BC的长度,用锐角三角函数知识解答.,情景分析,如何知道这棵大树在折断之前有多高？,方案三:,问题 一,星期天，小华去图书超市购书，因他所买书类在二楼，故他乘电梯上楼，已知电梯段的长度8 m，倾斜角为300，一楼到二楼的高
10、度是_m,4,问题 二,在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5m，测得斜坡的倾斜角是30,斜坡上相邻两树的坡面距离是_m,30,例：我市某住宅小区高层建筑均为正南正北方向，楼高都是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30，如果南北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？,例：我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30，如果南北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应当是多少
11、米？,例：我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30，如果南北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？,30,例：我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30，如果南北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？,仰角和俯角,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角.,如图，为了测量电线杆的高度AB，
12、在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a22，求电线杆AB的高（精确到0.1米）,你会解吗？,热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯 角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）,分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30,=60,RtABC中，a=30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC,仰角,水平线,俯角,仰角与俯角,解：如图，a=30,=60，AD120,答：这栋
13、楼高约为277.1m,1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）,解：在等腰三角形BCD中ACD=90,BC=DC=40m,在RtACD中,所以AB=ACBC=55.240=15.2,答：棋杆的高度为15.2m.,练习,A,操场里有一个旗杆，小明站在离旗杆底部10米的D处，仰视旗杆顶端A,仰角为34,俯视旗杆底端B,俯角为18,求旗杆的高度(精确到0.1米).,10米,?,你能计算出的吗？,B,F,D,E,变形1为了响应市人民政府“形象重于生命”的号召，在甲建筑物上从A点到E点挂一长为30米的宣传条幅，在乙
14、建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为30,测得条幅底端E点的俯角为45。求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距离BC。,A,B,D,C,E,突破措施：建立基本模型；添设辅助线时,以不破坏特殊角的完整性为准则.,D,A,E,F,变形2：如图楼AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶A处测得楼顶C处的俯角为45，测得楼底D处的俯角为60，试求两楼高各为多少？,A,B,C,D,E,如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.1海里）,65,34,P,B
15、,C,A,80,例题:,船有触礁的危险吗？,一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船北偏东60的方向上；40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30的方向上。已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？,C,600,A,B,300,一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船北偏东60的方向上；40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30的方向上。已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？,D,（2）两锐角之间的关系,AB90,（3）边角之间的关系,（1）三边之间的关系,（勾股定理）,在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：,
