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1、第十一章 勒让德多项式 球函数第四节 连带勒让德多项式、球函数二、球函数,第十一章 勒让德多项式 球函数第四节 连带勒让德多项式、球函数 二、球函数 1、球函数的定义 对不具备轴对称的情况，球函数方程的解 是 其中,m=0,1,2,n,n=0,1,2,3.。称为球函数，n 叫做它的阶。独立的球函数共,有 2n+1个，因为对 m=0 有一个球函数 Pn(cos)，对于m=1,2,3，n 各有两个 球函数。根据欧拉公式：独立的 n 阶球函数还是 2n+1 个。2、球函数的正交归一性 球函数中的任意两个在球面上正交，即 如采用三角形式：,如采用指数形式：,3、展开定理 任一函数f(，)可在球面上(0
2、，0 2)按球函数展开：,有了球函数，拉普拉斯方程例2、在半径为 a 的球的(1)内部，(2)外部，求解,研究一个特例解：(1)球的内部：当r 0时，u(r,)有限，Dn=0,当n 2,m 2时 当n=2,m=2时(2)在球的外部：当r 时，u(r,)有限 Cn=0，故,当n 2,m 2时 当n=2,m=2时,主要内容(1)、三维拉普拉斯方程、波动方程、热传导方程在柱坐标下的分离变量法(2)、奇点邻域的幂级数解法(3)、贝塞尔微分方程及贝塞尔函数的定义、性质(4)、贝塞尔函数的母函数及其递推公式,(5)、贝塞尔函数的零点、本征值、正交归一性、按贝塞尔函数展开(6)、虚宗量贝塞尔函数的定义及性质
3、(7)、柱函数在物理学中的应用(8)、球贝塞尔方程的导出(9)、球贝塞尔函数及其应用,采用极坐标：,重点和难点 重点：柱坐标下的分离变量法；贝塞尔函数的定义和基本性质；虚宗量贝塞尔函数的定义及性质；柱函数的应用；球贝塞尔函数及其应用 难点：柱坐标下的分离变量法；贝塞尔函数的定义；虚宗量贝塞尔函数的定义；球贝塞尔函数的定义；柱函数的应用；球贝塞尔函数的应用,第十二章 贝塞耳函数柱函数第一节 贝塞尔微分方程及贝塞尔函数 一、贝塞尔微分方程的导出 1、在柱坐标下求解拉普拉斯方程 考察三维拉普拉斯方程,采用极坐标：,如果讨论的问题具有对称性，研究对象与z轴无关,则三维拉氏方程变为二维拉氏方程：现在讨论
4、三维拉普拉斯方程的解：以分离变数形式的解,微分方程(1)与自然周期条件：构成特征值问题，其特征值和特征函数为：将代入（2）得：,1)当=0时，2)当 0时，（至于 0，=0还是 0，要根据具体的边界条件考虑）,令 贝塞尔方程，其解称为贝塞尔函数。3)当 0时，记 对于这种情况，如果要求 Z(z)在 z=0，z=h 满足齐次边界条件：Z(0)=0,Z(h)=0，那么这,时应排除 的情况。再看常微分方程(6)，令 x=hr，则方程变为(5)方程（5）称为虚宗量贝塞尔方程。虚宗量的贝塞尔方程的解叫做虚宗量贝塞尔函数。它没有实的零点。因此，如果要求R(r)在端点r=a 满足齐次边界条件，即：R(a)=0，就应排除 0 的可能。,2、波动方程 偏微分方程（7）叫做亥姆霍兹方程。3、输运方程,偏微分方程（9）是亥姆霍兹方程。,4、在柱坐标下求解亥姆霍兹方程 在柱坐标系，亥姆霍兹方程的表达式是 方程（10）与自然周期条件 构成特征值问题特征值和特征函数是：,方程（12）的解已给出：如果问题的边界条件全是齐次的，就应该排除0，把 记作 h2，则 作自变数的代换：这是n阶贝塞尔方程，其解为贝塞尔函数。,
