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1、主讲教师:冉扬强,数学物理方法,第一章复数与复变函数,主要内容,(1)、复数及其代数运算(2)、复数的几何表示(3)、复数的乘幂与方根(4)、区域与约当曲线(5)、复变函数的概念(6)、复变函数的极限与连续(7)、复球面与无穷远点的概念,重点和难点,重点：复数和复变函数的定义、运算规则；复球面与无穷远点的概念；区域与约当曲线难点：复球面与无穷远点,第一节 复数 1、复数一个复数可表示为 其中 x,y 为实数，分别为复数z 的实部与虚部，记为x=ReZ,y=ImZ;(即)为虚单位。复数的上述表示称为复数的代数式。讨论：1)实部为零的复数 称为纯虚数,虚部为零的复数 z=x 称为实数。全体实数只是
2、全体复数的一部分.2)若实部x=0,虚部y=0,则 z=0 复数零.即:,2、复数的四则运算1)相等:2)和差:3)积:4)商:从复数的运算法则的定义中很明显的得出复数运算的交换律、结合律和分配律，即交换律：结合律：,分配律：全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域.在复数域中，复数没有大小.3、复平面 如果把 x 和 y 当作平面上 的点的坐标，复数z 就跟平 面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或 z平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴.,在复平面上，从原点到点 z 所引的矢量与复数 z 也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，
3、例如：这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系.,4、复数的三角形式和指数形式用极坐标r,代替直角坐标x和y来表示复数z.有 则复数可表示为：三角式 利用欧拉公式：，复数可表示为：指数式 叫做复数的模，称为复数的幅角，记为rg z,讨论：i).复数的幅角不能唯一地确定.如果 是其中一个幅角，则 也是其幅角，把属于 的幅角称为主值幅角，记为 arg z.ii).复数“零”的幅角无定义，其模为零.iii).当r=1时,称为单位复数.利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：所以有,根据图1.1，图1.2，图1.3 还可以得出三角不等式 5、共轭复数一个复数 的共轭复数为 或,称与 复数共轭.性质
4、：6、复数的乘幂与方根非零复数的整数次幂为,当r 时 上式为棣摩弗公式.非零复数的整数次根式 为 k=0,1,2,，n-1.讨论：给定的 可以取n个不同的值，它们沿中心在原点，半径为 的圆周而等距地分布着.,第二节 复变函数的基本概念 1、区域与约当曲线(1)、区域的定义：设有非空点集D，如果满足：开集性：在D中的每一点z，都必有以z 点为圆心的一个充分小的圆全含于D内(即圆内的每点都是D内的点).连通性：D内任意两点都可以用一条由D内的点所构成的折线连接.则称D为区域（图1.4）(2)、邻域：邻域是区域最简单的例子，所谓点a 的 邻域，是指满足 的点,所组成的集合.即以a为 心，为半径的圆的
5、内 部(图1.4)(3)、界点，边界，闭区域 若点P不属于区域D，但在P的任意邻域内总包 含有D中的点，则点P叫做 区域D的界点.D的所有界点的集合叫做D的边界(图1.4).区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域，用 表示.(4)、简单曲线或约当曲线,、连续曲线：如果 和 是两个连续的实变函数，则方程组 代表一条平面曲线，称为连续曲线，如果用 来表示，这就是平面曲线的复数表示式.、重点：若对 不同时是 的端点，有，则称 为曲线c的重点.简单曲线（或约当曲线）：没有重点的连续,曲线称为简单曲线或约当曲线.简单闭曲线：如果简单曲线c的起点与终点重合，即，则称曲线c为简单闭曲线或约当闭曲线(图1.5(
6、a)因此，连续曲线有以下四种情况:,、单连通域与复连通域：如果在区域D内任作一条简单闭曲线，而曲线的内部每一点都属于D，则称D为单连通区域.如果一个区域不是单连通区域，则称为复连通区域.单连通区域的重要特征是：区域D内任意一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点，而复连通区域不具有这个特征.,2、复变函数的概念(1)、复变函数的定义设D为复数 的集合，式中：表示所有的，任意等意思；表示存在.z 称为自变量（或宗量），D称为函数的定义域，而对应值w 的全体所构成的复数集称为函数的值域.把复变函数 的实部和虚部分别记作,，即 这就是说，复变函数可以归结为一对二元实函数，因此，实变函数论的
7、许多定义、公式、定理都可以直接移植到复变函数论中，如复变函数的极限和连续性等.(2)、复变函数的几何表示要描述 的图形，可取两张复平面，分别称为 z 平面与 w 平面，而把复变函数理解为两个复平面上的点集间的对应，如图1.7所示.具体地说，复变函数 给出了从 z 平面上的点集D到 w 平面上的点集F间的一个对应关系，与点 对应的点称为的z 点,的象点，而z 点就称为w 的原象.3、复变函数的极限与连续这部分的内容与实变函数的极限与连续类似，请大家自学.,第三节、复球面与无穷远点 1、复球面 复数的另一种几何表示，就是建立复平与球面上的点的对应。把一个球放在复 平面上，球以南极 S 跟复数平面相
8、切 于原点，通过O点 作一垂直于z平面 的直线与球面交于N点，N 称为球的北极。,在复平面上任取一点 z，与球的北极N的联线跟球面相交于，这样就建立起复平面上的有限远点跟球面N以外的点的一一对应，这个球叫做复数球.考察平面上一个以原点为心的圆周C，在球面上对应的也是一个圆周（即纬线），当圆周C的半径越来越大时，圆周就越趋于北极N.因此，我们可以把北极N与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为.无远点的幅角没有明确意义，复平面加上 点后，称为扩充平面（或闭平面，全平面），与它所对应的就是整个球面，称为复球面，原来的复平面称为开平面.,讨论：1)复平面上的无穷远点，只有一点，即当 时 的极限点(不论 取何值)，是指 z 沿任意方向趋于.2)无穷远点的运算与实变函数中的复变函数的运算相似.2、闭平面上的几个概念i）.无穷远点的邻域：以原点为心的某圆周的外部，即 的 邻域是指合乎条件 的z 的点集.ii）.闭平面是唯一的无边界的区域，无穷远点是开平面的界点，是闭平面的内点.,
