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1、2023/11/9,1,材 料 力 学,郑州大学工程力学系编制,第五章,平面图形几何性质,Geometric Properties of an Area,2023/11/9,2,1 静矩与形心2 惯性矩、惯性积、极惯性矩3 平行移轴和转轴定理,截面图形几何性质,4 主惯性轴和主惯性矩,2023/11/9,3,1 静矩与形心,一.静矩：,z,图形对 z 轴的静矩：,对 y 轴：,二.形心：,形心图形几何中心.只取决于图形的几何形状、尺寸.,y,对 z 轴 的静矩：,重心物体重力合力作用点.,与质量有关（物理概念）,与质量无关（几何概念）,面积与其到轴“距离”之积,（Static Moment a
2、nd Centroid of an Area）,2023/11/9,4,y,若物体均质，则二者重合为一。,考虑均质等厚薄板，其形心即为重心坐标，,形心坐标,（形心）,用静矩表示：,（重心）,平面重心坐标可由合力矩定理给出：,附录,2023/11/9,5,三.性质：,1.若物体有对称点、线、面，,（合之静矩静矩之和）,形心坐标,图形对 z 轴的静矩为零,2.z轴过形心,3.静矩可分割组合,则其形心即在该点、线、面上,附录,2023/11/9,6,试确定下图形心,解：按组合图形解,1.正面积法，图形分割为三,图(a),例,（y为对称轴）,附录,mm,2023/11/9,7,图(b),2.负面积法，
3、图形分割如图(b),mm,2023/11/9,8,y,例,三根10号槽钢焊成一体，求整个截面的形心,y为对称轴，形心在y 轴上,各种规格品种的型钢，几何尺寸、参数可查型钢表 P 370,解：,附录,2023/11/9,9,一.定义,z,y,极惯性矩：,惯性积,2 惯性矩 惯性积 极惯性矩,(面积与到两轴“距离”之积),惯性矩：,(面积与其到轴“距离”平方之积),(面积对极点的二次矩),Moment of Inertia Product of Inertia Polar Inertia Moment,2023/11/9,10,二.性质：,1.,说明：两侧对称的面积微分,显然该情况对全部图形都如此
4、,2.I 可分割组合,3.若 y、z之一 是对称轴,则 Iyz=0,y 坐标同值同号，,z 坐标同值反号，,积分中相互抵消：,附录,2023/11/9,11,例,求惯性矩,（对称轴）,y,z,h/2,h/2,b/2,b/2,解：,附录,2023/11/9,12,例,求惯性矩,（对称轴）,y,z,h/2,h/2,H/2,H/2,B/2,B/2,b/2,b/2,惯性积,解：,因二轴为对称轴,附录,2023/11/9,13,例,求图形惯性矩，,10,10,70,70,60,60,20,附录,两腰负面积,图形分割为三：,图形仍分割为三：,2023/11/9,14,一.平行移轴公式：,3 平行移轴 转轴
5、公式,移轴公式,二坐标轴，相互平行，,其一（）原点在形心,Parallel Axis Rotation of Axis,2023/11/9,15,Note:,必须过形心,思考：公式中，与 是否可调换位置？,移轴公式,附录,2023/11/9,16,20,100,20,100,例,求图形对其形心轴的惯性矩,分割为二,直接套用矩形公式,附录,2023/11/9,17,20,100,但 zc 不过二者形心平行移轴,图形分割为二：,2023/11/9,18,解：,例,两 16a 型槽钢组合截面，欲使,（加缀条,螺钉或焊、铆接，成一整体承载）,x,y,查P370:,令,附录,2023/11/9,19,例
6、2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。,解：此题求解两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理,B,建立形心坐标,求图形对形心轴 的惯性矩。,A,d,附录,2023/11/9,20,y1 z1绕原点逆时针旋转 角,转轴公式,两坐标系 原点在同一点，,二.转轴公式,2023/11/9,21,转轴公式,附录,2023/11/9,22,4 主轴 形心主轴,主轴过形心，则称为形心主轴,定存在特殊角度的一对轴：图形对该对轴 的惯性积等于零,.主惯性轴（简称主轴）,图形对对主轴的惯性矩主惯性矩（简称主矩）,以任一点为原点，都有一对主轴,随角 变化，是 的连续函数，,据定义可知 可正可负亦可为零,Prin
7、cipal Axis of Inertia Centroid Principle Axis of Inertia,2023/11/9,23,图形另一形心主轴与其垂直且过形心.,图形的对称轴必是形心主轴.,（1.对称轴必过形心;,(一对称轴),(二对称轴),2.图形关于对称轴的惯性积=0）,附录,2023/11/9,24,本章结束,Thanks!,2023/11/9,25,以任一点为原点，都有一对主轴。图形对对主轴的惯性矩主惯性矩（简称主矩）,一.主轴和主矩,5 主惯性轴和主惯性矩,证明：,由上式可知：随角 变化，是 的连续函数，又据惯性积定义可知 可正可负亦可为零，,定存在特殊角度的一对轴：图
8、形对该对轴的惯性积等于零。这对轴主惯性轴（简称主轴）,可证明：在图形对同一原点（不同角度）所有轴的惯性矩中，主矩定为极大（极小）,2023/11/9,26,二.主轴和主矩的确定：,图形对该对轴的惯性积等于零,(由于 以 为周期,公式可得二,相差,说明二主轴成对出现,互相 垂直),再代入转轴公式:,附录,2023/11/9,27,求形心主惯性矩方法,求形心位置，过形心任选坐标系 求出，,求形心主轴方向 0,求形心主惯性矩,平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩,三.形心主轴和形心主惯性矩：,C,形心,主轴过形心时，称为形心主轴。,2023/11/9,28,一些特殊情况，图形的主轴和形心主轴
9、，可不计算而直接判断出：,(一对称轴),(二对称轴),C,C,C,图形有一对称轴，该轴必是形心主轴.另一与其垂直且过形心.,图形的对称轴必是形心主轴.,（因：1.对称轴必过形心;2.图形关于对称轴的惯性积=0）,附录,2023/11/9,29,例3 矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴(b=1.5d),解：建立坐标系如图。,求形心位置。,建立形心坐标系；求：IyC，IxC，I xCy,d,b,2d,2023/11/9,30,d,b,2d,2023/11/9,31,y,120,40,40,附录,2023/11/9,32,1 试确定下图的形心,解：组合图形，用正负面积法解,1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a),120,图(a),C2,C1,例,2023/11/9,33,2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图,图(b),C1（0,0）C2（5,5）,C1,负面积,120,附录,
