《概率论与统计原理》第3章.ppt
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1、第三章 随机变量的数字特征 3.1 随机变量的数学期望3.1.1 数学期望的定义 1、离散型随机变量的数学期望 设X为一个离散型随机变量,其概率分布为PX=xi=pi(i=1,2,),如果级数 绝对收敛,则称级数 为随机变量X的数学期望,记为EX,即,例1 设随机变量X的概率分布为求X的数学期望EX。2、连续型随机变量的数学期望 设X为一个连续型随机变量,其概率密度为f(x),如果积分 绝对收敛,则称积分 为随机变量X的数学期望,即,例2 设随机变量X在区间a,b上服从均匀分布,求数学期望EX。例3 设随机变量X服从柯西分布,其概率密度为求数学期望EX。3.1.2 随机变量函数的数学期望 设X
2、是一个随机变量,y=g(x)是一个连续函数,则Y=g(X)是随机变量X的函数。(1)如果X为离散型随机变量,其概率分布为PX=xi=pi(i=1,2,),且级数 绝对,收敛,则随机变量Y=g(X)的数学期望为 如果X为连续型随机变量,其概率密度为f(x),且积分 绝对收敛,则随机变量Y=g(X)的数学期望为,例4 设随机变量X的概率分布为 求E(-X+1),E(X2)。例5 对圆的直径进行测量,假设其测量值X在区间a,b上服从均匀分布,求圆的面积的数学期望。例6 设随机变量X在区间(0,)上服从均匀分布,求Y=sinX的数学期望。,例7 设某种商品每周的需求量X是服从区间10,30上均匀分布的
3、随机变量,而经销商店进货数量为区间10,30上的某一整数,商店每销售一个单位的商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理一单位的商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时一单位商品仅获利300元为使商店所获利润期望值不小于9280元,试确定最少进货量。,3.1.3 数学期望的性质1、设C为常数,则EC=C。2、设X是一个随机变量,C是常数,则E(CX)=CEX 3、设X,Y是两个随机变量,则E(X+Y)=EX+EY 这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况:设X1,X2,Xn是任意n个随机变量,则E(X1+X2+Xn)=EX1+EX2+EXn,4、设X和Y是两个相互独立的随
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