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1、离散型随机变量及其分布列,引例：（1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？（2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？（3）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一 种情况吗？,1，2，3，4，5，6,0分，1分，2分,正面向上，反面向上,能否把掷硬币的结果也用数字来表示呢？,分析：不行，虽然我们能够事先知道随机试验可能出现的所有结果，但在一般情况下，试验的结果是随机出现的。,在前面的例子中，我们把随机试验的每一个结果都用一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是这些数字的变化。若把这些数字当做某个变量的取值，则这个变量就叫做随机变量，
2、常用X、Y、x、h 来表示。,一、随机变量的概念：,按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么，随机变量与函数有类似的地方吗？,思考,随机变量是试验结果与实数的一种对应关系，而函数是实数与实数的一种对应关系，它们都是一种映射,在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值结果相当于函数的值域。所以我们也把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。,例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个，则其中所含白球的个数x 就是一个随机变量，求x 的取值范围，并说明x 的不同取值所表示的事件。,解：x 的取值范围是0，1，2，3，其中
3、x=0表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”；x=1表示的事件是“取出1个白球，2个黑球”；x=2表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”；x=3表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”；,变题：x 3在这里又表示什么事件呢？,“取出的3个球中，白球不超过2个”,写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自所表示的随机试验的结果：,练一练,（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数x；（2）抛掷两个骰子，所得点数之和Y；（3）某城市1天之中发生的火警次数X；（4）某品牌的电灯泡的寿命X；（5）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场 任意一棵树木的高度x,（
4、x=1、2、3、10）,（Y=2、3、12）,（X=0、1、2、3、）,0，+),0.5，30,思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？,二、随机变量的分类：,1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一 列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。（如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等）2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的 随机变量叫做连续型随机变量。（如灯泡的寿命，树木的高度等等）,注意：（1）随机变量不止两种，我们只研究离散型随机变量（2）变量离散与否与变量的选取有关；比如：对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量,下列试验的结果能否用离散型随机变量表示？（1）
5、已知在从汕头到广州的铁道线上，每隔50米有一个 电线铁站，这些电线铁站的编号；（2）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量 与规定量之差；（3）某城市1天之内的温度；（4）某车站1小时内旅客流动的人数；（5）连续不断地投篮，第一次投中需要的投篮次数.（6）在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，某同学可能取得的等级。,练一练,若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数，请把X取不同值的概率填入下表，并求判断下列事件发生的概率是多少？（1）X是偶数；（2）X3；,探究,解：P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6),P(X3)=P(X=1)+P(X=2),三、离散型随
6、机变量的分布列：,一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为：x1，x2，xi，xnX取每一个xi(i=1，2，n)的概率P(X=xi)=Pi，则称表：,为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了表达简单，也用等式 P(X=xi)=Pi i=1，2，n来表示X的分布列,离散型随机变量的分布列应注意问题：,1、分布列的构成：,（1）列出了离散型随机变量X的所有取值；（2）求出了X的每一个取值的概率；,2、分布列的性质:,例2、在掷一枚图钉的随机试验中，令,如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列。,解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是(1-p),于是，随机变量X的分布
7、列是,像上面这样的分布列称为两点分布列。,如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。,例2.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.,解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.,从100件产品中任取3件结果数为,从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果为,从100件产品中任取3件,其中恰有k件次品的概率为,例2.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.,所以随机变量X的分布列是,(2)P(X1)=P
8、(X=1)+P(X=2)+P(X=3)0.14400;,或P(X1)=1-P(X=0)=1-0.14400;,4.超几何分布.,一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件X=k发生的概率为,称分布列,为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.,例3、袋子中有3个红球，2个白球，1个黑球，这些球除颜色外完全相同，现要从中摸一个球出来，若摸到黑球得1分，摸到白球得0分，摸到红球倒扣1分，试写出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列.,解：因为只取1球，所以X的取值只能是1，0，-1,从袋子中随机取出一球 所得分数X的分布列为：
9、,求离散型随机变量分布列的基本步骤：,（1）确定随机变量的所有可能的值xi,（2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi,（3）列出表格,课堂练习：,0.3,0.16,P,3,2,1,0,-1,2、若随机变量的分布列如下表所示，则常数a=_,C,课堂练习：,0.88,思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的号码，求X的分布列。,解：因为同时取出3个球，故X的取值只能是1，2，3当X=1时，其他两球可在剩余的4个球中任选 故其概率为当X=2时，其他两球的编号在3，4，5中选，故其概率为当X=3时，只可能是3，4，5这种情况，概率为,随
10、机变量X的分布列为,思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的号码，求X的分布列。,小结：,一、随机变量的定义：二、随机变量的分类：三、随机变量的分布列：,1、分布列的性质:,2、求分布列的步骤:,例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率.,解:设摸出红球的个数为X,则X的所有可能值为0、1、2、3、4、5,且X服从超几何分布.,一次从中摸出5个球,摸到k(k=0,1,2,3,4,5)个红球的概率为,于是中奖的
11、概率,P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5),例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率.,思考？如果要将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？,分析:这是一个开放性问题,它要求根据中奖概率设计中奖规则,所以问题的答案不唯一.比如用摸球的方法设计游戏,应包括每种颜色的球各是多少,从中取几个球,摸到几个红球才中奖等.也就是说M,N,n,X=k中的k都需要自已给出.,因此,我们可以先固定N=30,M=10,n=5.,通过调整k达到目的.,例
12、3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率.,思考？如果要将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？,我们可以先固定N=30,M=10,n=5.,通过调整k达到目的.,从中摸5个球,至少摸到2个红球的概率为,P(X2)=P(X=2)+P(X3),游戏规则定为至少摸到2个红球就中奖,中奖的概率大约为55.1%.,练1.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取 3件,若表示取到次品的个数,求分布列 解析 的取值为0,1,2,3,则,练2.(2009上
13、海理，7)某学校要从5名男生和2名女生 中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数,求分布列解析 的可能取值为0,1,2,5.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从 中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的 球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量为此时已 摸球的次数,(1)随机变量的概率分布列；(2)随机变量的数学期望与方差.,解(1)随机变量可取的值为2,3,4,所以随机变量的概率分布列为：,根据射手射击所得环数 的分布列,有,例1.某一射手射击所得环数 的分布列如下:,求此射手“射击一次命中环数7”的概率.,分析:“射击一次命中环数7”是指互斥
14、事件“=7”,“=8”,“=9”,“=10”的和.,解:,P(=7）0.09，,P(=8）0.28，,P(=9）0.29，,P(=10）0.22，,所求的概率为,P(7）0.09+0.28+0.29+0.22=0.88,【典型例题】,例2、随机变量X的分布列为,解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有,（1）求常数a;（2）求P(1X4),(2)P(1X4)=P(X=2)+P(X=3)=0.12+0.3=0.42,解得：,（舍）或,课堂练习：,1、下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量 的分布列的是（）,A,B,C,D,B,例3、一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时
15、取出3只,以X表示取出的3个球中的最小号码,试写出X的分布列.,解:随机变量X的可取值为 1,2,3.,当X=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故有P(X=1)=3/5;,同理可得 P(X=2)=3/10;P(X=3)=1/10.,因此,X 的分布列如下表所示,练习：将一枚骰子掷2次,求随机变量两次掷出的最大点数X的概率分布.,注:在写出X的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1,例4 一盒中放有大小相同的红,绿,黄色三种小球，红球数是绿球数的两倍，黄球数是绿球数的一半，现从中随机取出一球，若取出红球得1分,取出绿 球得0分,取
16、出黄球得-1分,试写出从该盒内随机取出一球所得分数的分布列.,P(=1)=，,P(=-1)=.,所以从该盒中随机取出一球所得分数的分布列为：,解：随机变量X的可取值为 1,0,-1.设黄球的个数为，则绿球的个数为2,P(=0)=，,红球的个数为4,盒中球的个数为7,所以,1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题；,会求离散型随机变量的概率分布列：,(1)找出随机变量的所有可能的取值,(2)求出各取值的概率,(3)列成表格。,明确随机变量的具体取值所对应的概率事件,例2、一盒中放有大小相同
17、的4个红球、1个绿球、2个黄球，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列。,例如：抛掷两枚骰子，点数之和为，则可能取的值有：2，3，4，12.的概率分布为：,课堂练习：,3、设随机变量的分布列如下：,求常数K。,4、袋中有7个球，其中3个黑球，4个红球，从袋中任取个3球，求取出的红球数 的分布列。,练习1.随机变量的分布列为,解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有,练习2,已知随机变量的分布列如下：,2,1,3,2,1,0,分别求出随机变量,；,的分布列,（1）求常数a;（2）求P(14),(2)P(14)=P
18、(=2)+P(=3)=0.12+0.3=0.42,且相应取值的概率没有变化,练习2:已知随机变量的分布列如下：,2,1,3,2,1,0,分别求出随机变量,；,的分布列,练习2:已知随机变量的分布列如下：,2,1,3,2,1,0,分别求出随机变量,；,的分布列,思考1.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以表示取出的3个球中的最小号码,试写出的分布列.,思考2.将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布.(1)两次掷出的最大点数;(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差.,例3：将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布.(1)两次掷出的最大点数;(2)两次掷出的最小点数;(3)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差.,解:(1)=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另一个小于k点,故P(=k)=,k=1,2,3,4,5,6.,(3)的取值范围是-5,-4,，4，5.=-5,即第一次是1点，第二次是6点；，从而可得的分布列是：,(2)=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另一个大于k点,故P(=k)=,k=1,2,3,4,5,6.,
