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1、中考数学专题探究,-图形的认识专题,1.（08，南通）如图，DEBC交AB、AC于D、E两点，CF为BC的延长线，若ADE50，ACF110，则A 度.,2在题1的前提下，若增加一个条件：BE平分ABC,求ABE，DEB,BEC等,解这类题，由于考查的知识点比较多，有：平行线，补角，三角形的内角和，角平分线，外角和定理等等；在平时的学习时，要在“准”字上多下功夫，运用“比较”的思想方法，弄清它们的联系和区别.,3（08，宿迁）已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为 cm.,4如图，点P是等边ABC内的一点，连接PA,PB,PC,以BP为边作PBQ=60,且 BQ=BP，连接CQ.(1
2、)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.（2）若PA:PB:PC=3:4:5,连接PQ，试判断PQC的形状，并说明理由.,分析：（1）把ABP绕点B顺时针旋转60即可得到CBQ，利用等边三角形的性质证ABPCBQ，得到AP=CQ.,分析：（2）连接PQ，则PBQ是 等边三角形，PQ=PB,PA=CQ，故CQ:PQ:PC=PA:PB:PC=3:4:5，所以PQC是直角三角形.,5在下列说法中错误的是（）A在ABC中，C=AB,则 ABC 为直角三角形.B在ABC中，若A:B:C=5:2:3，则ABC为直角三角形.C在ABC中，若，则ABC为直角三角形.D在ABC中，若a:b:c=2
3、:3:4，则ABC为直角三角形.,分析：A、B 用角去判断，关键是确定最大角；C、D 借助勾股定理的逆定理判断,关键是确定最大边.,判定直角三角形的方法是：（1）当已知一个三角形的两内角度数或 三角度数比时，利用定义判定.（2）当已知三边长或三边长的比时，利 用勾股定理的逆定理来判定.,在三角形中作高，求边长或面积.,勾股定理在图形中的运用,在梯形中从上底两端点作下底的高，求边长或面积.,勾股定理在图形中的运用,勾股定理在图形中的运用,在菱形中两对角线互相垂直，利用勾股定理求对角线的长或面积.,勾股定理在图形中的运用,在圆中有重要的垂径定理.利用勾股定理求半径、弦心距或半弦长.,勾股定理还可以
4、和网格或平面直角坐标系联系起来.,6如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下 列要求作图：在正方形网格记得三条不同的实线上各 取一个格点，是其中任意两点不在同一实线上；连接 三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形 网格中作出了R t ABC。请你按照同样的要求，在另外 两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网 格中的直角三角形互不全等.,分析:此题的答案可以有很多种，关键是 抓住有一直角这个特征，可以根据勾股定理的逆定理“有两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形”构造出直角三角形.,如图，已知ADBC,ACBC于C,BD交AC于E，DE=2AB，求证：DB
5、C=ABC.,取DE的中点F，连接AF，ADBC,ACBC于C,在R t ADE 中，FA=DF=EF,DE=2AB,DF=AF,AF=AB,ADE=DAF,AFB=ABD,AFB=ADE+DAF=2ADE,即ABD=2ADE,又ADBC,ADE=DBC,ABC=ABD+DBC,DBC=ABC.,8已知：如图设AT是ABC的角平分线，M是BC中点，MEAT交AB、AC或其延长线于点 D、E，求证：BD=CE.,证明：延长EM到点F,使 FM=EM，连接BF,得BMF=CME M是BC中点 BM=MC EMCFMB 可得F=E BF=CE AT是ABC的角平分线，1=2 MEAT 1=3,2=E
6、,3=F BD=BF 又 EMCFMB 可得BF=CE BD=CE.,在寻求三角形全等的条件时：,证明三角形全等，倍长中线法，截长补短法，分解图形法等是比较常见的方法。,张大爷家承包了村里的鱼塘，今年获得了大丰收，他想把鱼塘 的面积扩大倍，对此，村长表示大力支持，同时又从地处旅 游景区考虑提出两点建议：（）原来鱼塘个角的棵树龄 达多年的老槐树不要移动.（）为了便于景点的美化，新鱼塘最好扩成平行四边形.张大爷在孙子小明的帮助下，设计 了如图的扩建方案，你能对这一方案进行解说吗？,解说：连接AC、BD,交于点O,过点A、C 作BD的平行线，过点B、D作AC的平行线，分别交于点E、F、G、H，得到了
7、四个平行四边形.由平行四边形的对角线将其分成 了两个全等的三角形，可知四边 形ABCD的面积扩大了1倍.,对角线是把四边形转化为三角形的桥梁和纽带，是研究四边形的常见的辅助线，它既可以把四边形转化为三角形，又可以充分体现四边形的所有特征.,10.（07,牡丹江）已知矩形ABCD中（ADAB），EF 经过对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，请你添加一个条 件：，使四边形EBFD是菱形.,EFBD,11如图，在半圆O中，四边形OABC,ODEF,OGHM,都是矩形，试说明AC，DF,MG 三条线段的大小关系。,分析：这是一道矩形在圆中的运用，由图形观察三条线段比较零散，通过平移不容易解决问
8、题，发现三个四边形都是矩形，想到矩形的性质，对角线相等。AC=OB,DF=OE,MG=OH,又因为OB,OE,OH都是圆的半径，所以AC=DF=MG.,12如图，4个小动物分别站在正方形场地的4个顶点，它们同时出发并以相同的速度沿场地边缘逆时针方向跑动，当它们同时停止时，依次连接4个动物所在地点，围成的图形是什么形状，为什么？,掌握特殊平行四边形这部分内容，首先要搞清平行四边形和矩形、菱形、正方形之间的包含关系，注重 把握特殊平行四边形与一般平行四边形的异、同点，才能准确地、灵活地运用，考查多以矩形为主，也可与相似、圆的知识综合运用,13如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC，BD 互相垂直，
9、该梯形的高与中位线有怎样的大小关系？为什么？,第一种思路：分别过点E 作EFAD,EGBC,又因为等腰梯形ABCD的对角线互相垂直，所以在等腰直角三角形AED 和BEC中，EF=AD,EG=BC,从而FG=EG+EF=(AD+BC),即梯形的高等于该梯形中位线的长。,第二种思路：分别取AD、AB、BC、CD 各边的中点F、J、G、H，连接FJ、JG、GH、HF，,利用三角形中位线定理，可证得四边形FJGH是个正方形，EG=JH.而 FG 是梯形的高，JH 是梯形的中位线，即 梯形的高等于该梯形的中位线。,第三种思路：过点D作 DEAC 交BC的延长线于点E.可得四边形ACED是平行四边形，又由
10、于ACDB,可得DBE是等腰直角三角形，此时BE上的高就等于BE的一半，也就等于上底与下底和的一半，又因为梯形的中位线等于梯形上底与下底和的一半，所以该梯形的高就等于它的中位线的长。,回顾这三种思路,这三种思路提示我们：梯形问题往往通过添加辅助线转化为平行四边形和三角形问题来解决。,请你猜猜看：,1.（08，青岛）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm母线 OE(OF)长为10cm在母线 OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到 A 点则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm,圆锥侧面展开,解：将圆锥沿OE展开，可得如图所示，已
11、知,怎样选择呢?,2.(08,苏州）如图AB为O的直径，AC交O于E点，BC交O于D点，CD=BD，C=70 现给出以下四个结论：A=45；AC=AB：；CEAB=2BD2其中正确结论的序号是A BC D,BCE ABD,3.如图，在O中，ABC=55，则D=,AOC=.,若点 E 为 O 上任一点，则AEC的度数是多少？,如图，此时点E在 上，AEC=ABC=55,如图，当点E在 上时，AEC=D=125,4.某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小龙沿湖边选取A,B,C 三根木柱，使得 A、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC 长为 240 m，A到BC的
12、距离为 50 m，请你帮他们求出滴水湖的半径。,请你帮忙：,分析：将文字语言转化为图形语言，如图1所示，本题中A到 BC 的距离为50 m，即弓形BAC的高为 50 m，连结AO 交 BC 于 D,如图 2，可知高就是AD=50 m，而BC=240 m，可以在 R t BOD中解决求半径 OB 的长的问题。,解：如图3，连接BO，已知，BC=240m，AD=50m，AB=AC,AOBC.求BO.设：BO=AO=x，由垂径定理，BD=CD=120m,OD=AO-AD=x-50,答：滴水湖的半径为169m.,5.（08，南通）已知：如图，M是 的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设O的半径为4 c
13、m，MN=cm（1）求圆心O到弦MN的距离；（2）求ACM的度数,解：（1）连结OM 点M是的中点，OMAB 过点O作ODMN于点D,由垂径定理，,故圆心O 到弦 MN 的距离为 2 cm,（2）c o s OMD,OMD30，ACM=903060.,6.如图，O为ABC的内切圆，点 D、E 分别为 AB、AC上的点，且 DE 为 O 的切线，若ABC 的周长为21，BC的边长为6.则ADE的周长为多少？,9,F,G,H,J,7.已知R t ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm，以点C为圆心作圆，当半径R=cm时，AB与O相切.,此题关键是求出圆心 C 到直线AB的距离d，也就是求出R t
14、ABC斜边上的高，常用方法是面积相等法.,如图：,此时AB与O相切,直线和圆相切的常见的两种情况：(1)当直线和圆出现公共点时，连接圆心和这个公共点，证明这条半径和该直线垂直；(2)当直线和圆的公共点没有确切位置时，作出圆心到直线的距离，再证明该距离等于圆的半径.,8.如图，T在O上，延长O的直径 AB交TP于P,若PA=18,PT=12,PB=8,求证:PT 是O 的切线.,如图：连接OT PA=18,PT=12,PB=8,可得且P为公共角，则有PBTPTA，A=PTB,AB为直径，ATB=90，AO=OT,A=OTA,又A=PTB.OTA+OTB=PTB+OTB=90，即PTO=90 PT
15、OT,T 为O上一点，OT 为半径，PT为O的切线。,9.（08，北京）已知：如图，在 R t ABC中，C=90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且CBD=A（1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论；,请你来试试：,解：（1）直线BD与O相切证明：如图1，连结OD,直线BD与O相切,如图 1,（2）解法 1：如图2，连结DEAE是O的直径，,如图 2,解法 2：如图 3，过点O作OHAD于点H,10.如图，A为O 上的一个点，以A为圆心的 A 交 O 于B、C 两点，O 的弦 AD 交公共弦 BC 于E点.（1）求证：AD 平分BDC（2）求证
16、：AC2=AEAD,证明：(1)连结 AB,得 AB=AC,AB、AC 为 O的两条相等的弦，BDA=CDA,AD平分BDC.,11.已知：AB为O的直径，P为弧AB的中点（1）若O与O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交O于点C、D，连接CD，则PCD是 三角形；（2）若O与O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交O于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答：问题一：判断PEF的形状，并证明你的结论；问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论.我选择问题，结论:,证明：连接PA、PB AB是直径，AQBEQF90EF是O的直径，EPF90在APE和BPF中 PAPB，PBFPAEAPE=BPF=90+EPB，APEBPFPE=PF，PEF是等腰直角三角形.,(1)PCD 是等腰直角三角形.,(2)问题一：PEF 是等腰直角三角形.,问题二：AE=BF 且 AEBF AB是直径,AQB=90AE BF 又如问题一，可证APEBPFAE=BFAEBF且AE=BF,
