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1、,这类问题是根据给出的具有某种规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过观察、分析，探究所蕴含的本质规律和共同特征，或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论.考查学生的归纳、概括、类比能力.解决这类问题的一般方法是：“从特殊情形入手探索发现规律猜想结论验证.”,一、数列规律 这类问题通常是先给出一组数，通过观察、归纳这组数的共性规律，写出一个一般性的结论.解决这类题目的关键是找出题目中的规律，分清不变量和变化量，寻求变化部分与序号间的关系.,【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的
2、个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可.,【解答】前（n-1）行的数据的个数为2+4+6+2（n-1）=n（n-1），所以，第n（n是整数，且n3）行从左到右数第n-2个数的被开方数是n（n-1）+n-2=n2-2，所以，第n（n是整数，且n3）行从左到右数第n-2个数是【答案】,【点评】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键.,1.（2015广东东莞）观察下列一组数：根据这组数的排列规律，可推出第10个数是_.,2.（2015甘肃武威）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫作三角形数，其中1是第1个三角形数，3是
3、第2个三角形数，6是第3个三角形数，依此类推，那么第9个三角形数是_，2 016是第_个三角形数.,45,63,3.（2015江苏淮安）将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a行，第b列，则a+b=_.,147,二、数式规律 这类问题一般是先给出一组数式，通过观察、分析，归纳出这组数式的共性，写出一个具有一般性的表达式.解答这类问题，要认真分析所给数式的共同点，根据共同点归纳出具有这些共同点的一般式，再代入已知数式验证其正确性.,（2014安徽）观察下列关于自然数的等式：32-412=5 52-422=9 72-432=13 根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92-4(
4、)2=()；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.,【分析】由三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可.,【解答】（1）32-412=5 52-422=9 72-432=13 所以第四个等式：92-442=17.,（2）第n个等式为：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1，左边=（2n+1）2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1，右边=2（2n+1）-1=4n+2-1=4n+1.左边=右边.（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1.【点评】此题考查数字的
5、变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.,102016,-2520,三、图形规律 这类题目通常是给出一组图形的排列（或通过操作得到一系列的图形），探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系.解决此类问题时应先观察图形的变化趋势，是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值.,（2015贵州安顺）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为_（用含n的式子表示）.,
6、【解答】观察图形可知，第1个图案共有基础图形31+1=4个；第2个图案共有基础图形32+1=7个；第3个图案共有基础图形33+1=10个；则第n个图案共有基础图形3n+1=3n+1个.【答案】3n+1,【点评】此题考查了图形的规律性.解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.,（2015浙江湖州）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示
7、），以此类推，若A1C1=2，且点A，D2，D3，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是_.,【分析】设AD10与A1C1的交点为M，构造相似三角形AD1MD2A1M，从而求得 然后利用A1MD2A2D2D3，从而求得A2C2的长，以此类推，求得A9C9的长.,【解答】设AD10与A1C1的交点为M.四边形都是正方形，AD1A1D2，AD1MD2A1M，又A1D1=A1C1-AB=2-1=1，,同理：A1MD2A2D2D3，设A2C2=x，则解得x=3.同理可求由此规律可得 即正方形A9C9C10D10的边长是【答案】,6.（2014湖北武汉）观察下列一组图形中点的个数，其
8、中第1个图中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形共有19个点，按此规律第5个图形中共有点的个数()A.31 B.46 C.51 D.66,2n+1,四、点的坐标变化规律 这类问题一般与直角坐标系相联系，结合函数、图形的变化，进而引起点的坐标变化.解答这类问题，一般要从题目中或图形运动中寻找变化规律，用变化规律表示点的变化，进而推导要求的点的坐标.,如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3An，.将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：抛物线的顶点M1，M2，M3，Mn，都在直线L：y=x上；抛
9、物线依次经过点A1，A2，A3An，.,则顶点M2 016的坐标为（_，_）.,【分析】根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x-an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案.,【解答】M1（a1，a1）是抛物线y1=（x-a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x-a1）2+a1相交于A1，得x2=（x-a1）2+a1，即x为整数点，a1=1，M1（1，1）.,M2（a2，a2）是抛物线y2=（x-a2）2+a2=x2-2a2x+a22+a2顶点，抛物线y=x2与y2相交于A2，,M3（a3，a3）是抛物线抛物线y=x2与y3相交于A3，x为整数点，a3=5，M3（5，5
10、），由此规律可得an=n2-1=2n-1.a2 016=2 0162-1=4 031.【答案】（4 031,4 031）,8.（2014湖北孝感）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图的方式放置，点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是_.,（63，32）,9.（2014泰安）如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在x轴上，以此进行下去.若点A（，0），B（0，4），则点B2 016的横坐标为_.,10 080,
