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1、6.3 惯性定理和二次型的规范形,定理 任一秩为r的二次型,均可经过适当的可逆线性替换 化为,其中，。,推论 任一秩为r的对称矩阵均合同于一个下列形式的对角矩阵,其中。,设 是 n元二次型，且 秩(A)=r：,1f 是复二次型,存在可逆复线性替换 把 f 化为,其中。,再令,则 f 被进一步变为,称上式为复二次型的规范形。,定理 任意复二次型均可经过适当的可逆复线性替换化为规范形且规范形唯一。,推论 对任意一个秩为r的n阶复对称矩阵A，必存在n阶可逆复矩阵C，使得,例 设A、B均为n阶复对称矩阵，则 A与B在复数域上合同的充分必要条件是,2f 是实二次型,存在可逆实线性替换 把 f 化为,其中
2、。,再令,则 f 被进一步变为,称上式为实二次型的规范形。,定理（惯性定理）任意实二次型均可经过适当的 可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。,推论 对任意一个秩为r的n阶实对称矩阵A，一定存在n阶可逆实矩阵C，使得,其中p由A唯一确定。,定义 在秩为r的实二次型f的规范形中，系数是1(或-1)的平方项个数 p(或 r-p)称为 f 的正(或负)惯性指数，称 2p-r为 f 的符号差。,注 实二次型的任一标准形中，系数大于(小于)零的平方项个数即为正(负)惯性指数。,例 已知实对称矩阵,与下述三个对角矩阵,之一合同，试确定之。,解 考虑二次型,对其作可逆线性替换,则,由此得 f 的正、负惯性指数均为1。,而二次型,中，只有 的正、负惯性指数均为1。所以，f 只能通过非退化线性变换为，即 A只能与 合同。,例 设 A是n阶实对称矩阵且n为奇数。证明：若，则存在n维非零列向量，使,证明 考虑 n元二次型,用正交替换 把其化为标准型,则,因，且 n为奇数，所以 均不为零且至少有一个大于零。不妨设。,取 n维列向量，则,令。因 可逆，故 且,
