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1、平方根和立方根,情境与新知,学校要举行美术作品比赛，晓鸥很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块画布的边长应取多少？,5,画布的边长是5dm,算一算、想一想,练习1:计算:(1)42(2)0.92(3)(-5)2(4)(5)(6)0 2,练习2:(1).()2=16(2)()2=0.81(3)()2=25(4)()2=(5)()2=0.,归纳概念,如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.数学语言表示:若x2=a(a0),则x叫a(a0)的平方根.求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方运算。,到目前为止，我们共学习了哪几种运算？,尝试应用
2、、提高表达能力,4的平方等于16,16的平方根是4.另外的说法：4是16的平方根。,归纳平方根的性质,求x并尝试表达：x2=81;x2=0.x2=-4.x2=0.36x2=-49 x2=121.想一想：1、通过什么运算求一个正数的平方根？2、我们所学过的数都有平方根吗？有几个?,平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身.负数没有平方根.,小结,今天获得的新知；获得的新方法；和以前学过的五种运算不同，开平方运算不是总可以进行；运算结果不唯一.,温故知新,1、什么叫平方根？数学语言呢？2、求下列各数的平方根：81;0.-4.0.36 49 121.,解：因为9
3、2=81，（-9）2=81,所以81的平方根是9和-9，也可以说成81的平方根是9。,=9,平方根的符号表示,一般的，a(a0)的平方根记作:,正数的平方根有两个，互为相反数。,二次根号,被开方数，a0,用符号表示下列各数的平方根：,81，16，0.25，0，625,说出下列符号的意义,什么叫算术平方根？,归纳总结及符号表示,1、正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。2、规定：0的算术平方根是0。,正数a的算术平方根,正数a的平方根,正数a的负的平方根（算术平方根的相反数）,动手实践,例1：（1）求49的正的平方根；（2）求 的负的平方根；（3）求169的算术平方根；（4）求121的平方根；
4、（5）求(-5)2的平方根；（6）求m的平方根；,根据定义，你能得出 的取值范围吗？,平方根和算术平方根有什么区别和联系？,下列各数有平方根吗？如果有，写出它的平方根和算术平方根，如果没有说明理由。625 0-9(-2)2-5 2 10-2,综合应用,判断下列结论是否正确-4的平方是 16.25的平方根是 5 2是4的平方根.4的平方根是2.的算术平方根是16.,小结,获得的知识；到目前为止，我们共学习了哪几个结果非负的数量？,类比探究、获得新知,(1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(0)的平方根?(2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0平方根是什么?(3
5、)当a0时，下列各式的意义各是什么?,想一想（一）,1、你能类比比平方根得到立方根定义吗？2、你能类比开平方的定义得到开立方的定义吗？3、你能类比平方根的表示方法得到立方根的表示法吗？,想一想（二）：,1、你能类比平方根的求法求一个数的立方根吗？2、你能类比平方根的性质说出立方根的性质吗？,议一议：,1、一个正数有两个平方根，那么一个正数有几个立方根？2、负数没有平方根，那么负数有立方根吗？强调：立方根的个数的性质可以概括为立方根的唯一性.即一个数的立方根是唯一的.,先说式子的意义再计算,整理旧知识,我们都学过了哪些数？这些数可以怎样分类？,整数和分数统称为有理数。,结合数轴认识新数,独立思考
6、,把两个薄厚相同，面积是1的正方形铁片融化，制成与原来薄厚相同的正方形铁片，现在这个铁片的边长是多少？,2,合作、动手完成：,把两个边长为1个单位长度的正方形纸片，剪一剪，拼一拼，得到一个面积为2的正方形。,合作探究,利用手上的刻度尺、计算器探究：（1）大概是多少？（2）你知道它的精确取值吗？,集体交流,(1)利用计算器（2）1.414 213 5622=_,试一试:,你有什么发现？,1.414 213 562,1.999 999 999,实际上：,无限不循环小数,联系对比、独立完成,（1）使用计算器计算：把有理数写成小数的形式后，观察它们的小数部分有什么特点？,有限小数,无限循环小数,有理数
7、,（2）判断 是不是有理数？如果不是，那它是什么样的数？,有理数,应用概念,判断：1、形如 都是无理数，这个说法对吗？2、如果两个数相除，不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是个无理数；自己举出几个无理数。,开方开不尽的数,1.010010001,观察运动、数形结合,（1）一个单位圆沿数轴从原点开始滚动一周，此时起点所对应的数为？,（2）你能在数轴上找到表示 的点吗？,小结、巩固练习,1、无限小数都是无理数；2、无理数都是无限小数；3、带根号的数都是无理数；4、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；5、所有的实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所
8、有点都表示实数。,自我小结,你今天认识了哪些数？数轴在学习的过程中起了什么作用？,客观世界中长度为正无数的线段本身不能被刻度尺度量，但只要借助于数轴和一些几何知识，就能够被直观的表示出来。,有时候，数轴也被称为实数轴。,可以用数学知识来证明 不是有理数。,6,10,1/2,X+2,什 么 是 二 次 根 式,语言叙述：一般地，式子（a0)叫做二次根式,a,注意：（1）被开方数一定是非负数，即正数或零：（2）在实数范围内，负数没有平方根，所以式子（a0）无意义,a,求实下列各式有意义的 x的取值范围,例1,（1）,(2),解：（1）若 有意义，则 0，x-3/2，当x-3/2时，有意义,（2）若
9、 有意义，则 x+5 0 x-5 1-5x 0 x1/5-5 x 1/5当-5 x 1/5时，有意义,二 次 根 式,及 性 质,a,-a,|a|,0,2,2,3,3,当a0时，=；当a0时，=。,=,牛 刀 小 试,（1）化简（x),(2)化简,解：a-b0 ab b-a0=a-b+a-b=2a-2b,=|4x|,x0,4x0,原式=-4x,举 一 反 三,已知|x-3|+z2-10z+25=0，求x2-xy+z2 的值,4-y,解：|x-3|+z2-10z+25=0，|x+3|+(z-5)2=0，x-3=0，x=3 4-y=0，y=4 z-5=0，z=5 当x=3，y=4，z=5时，原式=
10、22,4-y,4-y,易 错 题 型,(1)计算（x0,y0)解：=6xy,36x2y2,36x2y2,(6xy)2,正解：x0，y0 xy0=|6xy|=-6xy,36x2y2,(6xy)2,(2)计算解：=-3/4,2,正解：=|-3/4|=3/4,2,2.二次根式的性质及它们的应用:,一般地，式子（a0）叫做二次根式,a,1.二次根式：,练习1、实数x在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？,综合练习、探究性质,1.若 0，求x，y的值。,2、当x是怎样的实数时，式子 在实数范围内有意义,二次根式的双非负性,做一做,二次根式的性质,语言表述：非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数。,
11、语言表述：一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。,计算.,例2,计算.,例3,计算.,例3,1、下列等式是否成立？为什么？,大家练一练吧！,练一练,2、计算,练一练,X-2,-p-3,X-5,逆用公式=a（a0）可以将一个非负数写成一个数的平方的形式，进而可以把多项式在实数范围内因式分解。,挑战自我,a2-7,b4-7,x4-4x2+4,4y4-20y2+25,练习：若+=0，求a、b的值。,练一练已知（x+2）2+=0，求x+y的值,二次根式的乘除法,求这个长方形的面积,这个长方形的长是 cm,宽是 cm,求这个长方形的面积。,6,6,认真算一算：,公式的逆用,一定成立吗？,（a 0,b
12、 0）,练习：当x取何值时，此等式成立？,挑战自我,因数分解要有目的性：分解出完全平方数,化简：明确变形目的和依据,计算并化简,你能用简便方法计算吗？,乘法公式中的字母a,b扩充到实数集后依然适用。,先化简、再计算,认真算一算：,公式的逆用,一定成立吗？,（a 0,b 0）,练习：当x取何值时，此等式成立？,挑出下面的最简二次根式,Aa1Ba3且a1Ca1Da3,a,b同号，且b 0,a 0,b 0,a0,b 0,D,公式的逆用,将乘法法则看成公式，公式一般可逆用。,应用于两个二次根式求积。,经常应用于二次根式化简。,返回,例2.化简下列二次根式,一定要注意隐含条件！,返回,例3.计算,注意：
13、被开方数不含有能开得尽方的因数！,做一做,二次根式的除法,类比得出法则分母有理化是一种最简二次根式的化简方式,二次根式的加减法,引 入,（1）,在不取近似值的情况下，如何计算？,同类项,同类项,（）,例 题,有一块长7.5dm、宽5dm的木板，采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别为8dm2和18dm2的正方形木板，则这两个正方形的边长之和是多少？,把 化为最简二次根式分别得，这两个根式的被开方数相同，我们称他们为同类二次根式。,一般的，几个二次根式分别为最简二次根式以后，如果被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。,引出新的概念,（1）（2）,为同类二次根式,找出同类二次根式
14、,为同类二次根式,为同类二次根式,同类二次根式概念应用,1.若最简二次根式 与 是同类二次根式，求a,b的值。2.最简二次根式 和 是同类二次根式，则a=_。,小结,我们应该注意什么？,一定化简到最简二次根式,一定要动笔算,计 算,（1）（2）,二次根式的加减运算实际上就是先把每个二次根式化成最简二次根式，再合并同类项。,例 题,（1）（3）（2）,和多项式加减法类似,例 题,（1）,乘法运算法则在这里还适用吗？,运用了什么法则？,例 题,（2）,和多项式乘法类似,你准备怎样做？,练 习,（1）（2）,既然乘法的运算法则适用于二次根式的计算，那么我们在上个学期学习多项式乘法时，所学的乘法公式是
15、否也适用？,猜想,例 题,（1）2 2,运用了什么乘法公式？,你准备用什么方法解这道题？,例 题,（2）2 2 2,运用了什么乘法公式？,还应该注意什么？,你准备用什么方法解这道题？,小 结,从以上的几道例题可以看出，以前学习的乘法运算律、乘法公式等在无理数范围均可以应用。下面我们来实践几道题。,练习,（1）（2）（3）2（4）分母有理化（5）计算,总结,通过今天的学习，我们已经基本上掌握了二次根式加减法的运算。从曾经的合并同类项开始引入了一个新的概念同类二次根式，之后我们又通过例题发现二次根式的加减和多项式的加减法类似。我们又引入了乘法，发现曾经学过的运算定律以及乘法公式在无理数范围依然适用。希望大家通过今天的学习能更好地应用二次根式的加减法！,课本和讲义上的题目,谢谢！,
