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1、二进制M序列的原理及其应用 Principle and Application of binary M-sequences,内容概要,第一篇 M序列的应用及新应用开拓第二篇 M序列的基本属性和相关概念第三篇 M序列测量系统的理论基础第四篇 M序列探测系统特性的仿真实验,第一篇:M序列一些应用,目前,M序列主要应用在数字通信领域,这是因为M序列具有伪随机噪声特性,而且其自相关函数具有类冲激性质,如:(1)作为伪随机序列信号源(2)扩频通信中用于对码源信号的调制(3)以及数字电视中对码流信号进行能量扩散。(4)对数据序列的扰乱与解扰及其通信中的加密(5)多址通信中的信号辨识等等.然而,由于M序列具
2、有更多优良的特性,而且自然界可以构造更多优良属性的M序列,因此目前在国外M序列已经得到了更广泛的应用,本文要论述的是M序列在探测复杂多变的环境特性的原理,讲述在测量复杂环境其具有的卓越性能.,M序列的新应用,M序列作为一种激励信号，具有较高的信号功率和较低的尖峰因子。结合M序列对间卓越的互相关机制，用M序列在测量中可得到一较高的抗噪声性能。近来可以发现此M序列测量技术在很多领域得到了应用：如在野外探测,未知环境的系统识别,建筑声学领域、听力学领域、超声波领域、心理声学领域，水下声学领域以及在物理声学领域等等。这些高级M序列测量技术的理论基础就是一种专称为快速M序列变换（FMT）的快速算法,本文
3、要对此算法作出详细介绍M序列还可以在数字通信,信号处理,雷达,声纳,听力学,建筑声学等众多跨学科的应用中去开辟更多的用武之地。,一些新应用场景(1),一些新应用场景(2),一些新应用场景(3),第二篇:M序列的产生及其基本概念,M序列是最大长度线性移位寄存器序列的简称,将n个移位寄存器串接起来,在时钟控制下,寄存器的存储信号由上一级向下一级传递,将某些寄存器的输出信号反馈回来进行运算(如图所示),运算结果又馈回输入端,即可获得一寄存器输出的序列,适当设置其反馈连接,该序列周期可达到最大长度T=2n1,该序列就是M序列ai.将寄存器个数n称之为M序列的度,而反馈连接可用一本原多项式f(x)表示:
4、,M序列的基本概念,M序列的本原多项式表示为:(1)这里系数Cj表示反馈连接的通或断,C0=1,Cn=1xj仅指明其系数(1或0)代表Cj的值,即表示反馈连接的位置,本身的取值并无实际意义并不是所有的反馈连接都可以形成M序列,举例,以度n=4为例.假设从左到右的四个寄存器初始状态分别为1 0 0 1若c0 c1 c2 c3 c4=1 0 1 0 1,则产生的序列ai的一个周期为1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1,可见周期T=11不等于2n1,则没有达到最大长度,因此该序列不是M序列若c0 c1 c2 c3 c4=1 1 0 0 1,则产生的序列ai的一个周期为0 0 0 1 1 1 1
5、 0 1 0 1 1 0 0 1,可见周期T=2n1=15,达到了最大长度,因此该序列是M序列能够产生M序列的反馈连接是有限的,M序列的基本特性,M序列具有非常优良的数字理论特性,这是它能够得到广泛应用的根本原因.M序列的主要理论特性(1)序列中1和0个数具有均衡性,即2n1个序列 元素中,1的个数 和0的个数几乎各自占有一半的个数,其中1的个数恰好比 0的个数多1(2)移位相加性:将一个M序列和一延迟后的序列模2相加的结果仍为M序列,生成后的M序列可以看作原M序列的某一延时后的结果,M序列的基本特性,(3)抽值不变性(4)伪噪声特性 当度n增大,周期T增大,序列的1和0出现可看作是随机的,因
6、此M序列也称之伪随机序列,具有类似白噪声的特性,(5)优良的相关特性,优良的自相关特性,自相关特性 为了产生实际中的波形和利于数学处理，常常采用的是M序列的双极型形式，即mi-1，1，这里，mi 12ai。单极性M序列和双极性M序列的自相关函数曲线比较 规律:(1)M序列的单极性和双极性的自相关曲线都在t=0处都有一个尖峰,其它处的值都很小(2)双极性M序列的自相关曲线具有更为良好的特性,(3)由于自相关函数具有类冲激性质,则其功率谱具有很宽的值,类似于白噪声,优良的自相关特性,M序列自相关函数的理论数学表达 从该表达式可以看出,若取多个周期,则k=0时,自相关函数值为1,其它时刻值为1/T,
7、还不是严格到0.不加以修正,会在系统输出产生一个直流量.以N=3为例,取多个周期M序列作自相关,并求取其频谱.如下:修正办法 将幅度对称的M序列mk（mk-1，1）转化成为幅度不对称的M序列，转化的方法就是把M序列的所有的-1值转化成为q值 进行转化后变为-q,1的序列,图中-1/7的部分变为0 返回,鲜为人知的互相关特性,对一M序列进行某一移相(通过延时某个时刻来实现)而得到另一个M序列,对这两个M序列进行互相关运算,其互相关函数的值非常小.随着度的增大,互相关函数的值变得越来越小而趋于0.例子:度为4的M序列如下:0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 延时3个时间单元
8、的M序列如下:1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 对这两个序列化为双极型形式,取互相关运算得到的值如下:-0.0667-0.1333-0.2000 0.8000-0.0667 0.0000 0.0667 0.0000 0.0667 0.1333-0.0667-0.0000-0.0667 0.0000 0.0667 所以,从上述数据中可以看出,通过延时得到的两个M序列的互相关函数具有非常小的值,随着度的增大,互相关的值变得越小.也就是说序列间几乎是正交的.,特征M序列(Characteristic M-sequence),一 特征M序列 例:令度n=3,周期T=7,其本原
9、多项式f(x)=1+x+x3,寄存器初始状态设为a-1=a-3=1，a-2=0。那么就可以产生一个M序列ai=0 0 1 1 1 0 1，0i6。采用相同的本原多项式，若将寄存器的初始状态设为a-1=a-2=0，a-3=1，就可以得到另一M序列di=1 1 1 0 1 0 0。观察得到的M序列di的下标,发现显然它具有性质:这里下标索引2i是要进行模除T的,我们把满足这种特征的M序列称为特征M序列(Characteristic M-sequence),对于每一个本原多项式f(x),只要恰当地设置移位寄存器的初始状态,就可以产生这种特征M序列.,互补M序列(reciprocal M-sequen
10、ce),若ai为由f(x)产生的一长为T2n1的M序列，对ai进行次序反转运算，可容易得到具有相同度的另一个序列bi,满足:bi=a-i bi可由一本原多项式 r(x)产生，它是由原ai的本原多项式 f(x)进行简单的反转后得到的,即:于是就将 r(x)专称为 f(x)的互补多项式。相应地,由r(x)产生的序列bi则称为序列ai的互补M序列。一对互补多项式总是各自与一对互补序列紧密相关。例:特征M序列ai=1 1 1 0 1 0 0,其本原多项式为f(x)=1+x+x3,经过次序反转后,就得到与其对应的互补M序列bi=1 0 0 1 0 1 1,则产生bi的本原多项式为:,经实验研究，互补M序
11、列对的互相关函数相比于一般的序列对具有更小的值。而且随着度的增大，互相关函数的值随之变小而具有趋于0的特性。度为n的互补M序列对的互相关函数值的上限为,显然,l(n)是随着n的增大而减小的。互补M序列对各自的自相关函数仍具有类冲激的性质.特征互补M序列对的这些优良的属性非常适合于对双端口网络的系统特性 的测量.,互补M序列对相关特性的实验曲线,向博士测试的互相关曲线,第三篇 M序列测量系统的理论基础,一 M序列测量系统特性的原理 据线性系统的相关理论,系统的输入mi和输出yi间的互相关函数my（k）与输入信号的自相关函数（k）的关系如下:而前面关于自相关函数特性的论述有:代入上式得:,M序列测
12、量系统特性的原理,容易证实有:代入(10),得:这里下标j+k是根据模除T而算出来的，式（12）可以用一个矩阵形式来写出来：该式中,H为冲激响应向量,M为双极性的M序列循环右移矩阵,T为M序列的周期,Y为输出响应向量,Y为常数向量,代表直流量,M序列测量系统特性的原理,这是由于输入双极性M序列的直流分量产生的,若将幅度对称的M序列mk（mk-1,+1）转化成为幅度不对称的M序列，转化的方法就是把M序列的所有的-1值转化成为q值 于是式(13)就变为:这就是M序列变换的表达式,该表达式表明:用已知的M序列去激励一未知系统,只要将M序列矩阵与系统输出端的响应向量作乘积,并乘以因子1/T+1,就可近
13、似得到反映系统特性的冲激响应,度n越大,T越长,该表达式就越接近于真实值.,关于M序列矩阵,M序列矩阵是作为激励信号M序列的循环右移形式,它的矩阵大小是TT,表示如下:Mij代表第i行和第j 列的元素。M矩阵第一行是所选的特征M序列，剩下的行由此M序列逐次循环右移而来。以度为3,周期为7的M序列为例:,二.借用哈达码变换来完成FMT,很明显，随着度的增大，式(15)的计算量是呈指数递增的，为减小计算量，我们必须寻求M序列变换的快速算法。众所周知，哈达码变换只有加减运算，且存在快速算法，但哈达码变换矩阵HA是2n2n的矩阵，矩阵每行一半元素为1，一半元素为-1。结合M矩阵，易发现M矩阵大小为(2
14、n-1)(2n-1)，根据M序列的元素 1和-1个数具有均衡性，M矩阵对应的二进制形式A每行-1的个数为2n-1，1的个数为2n-1-1，因此可把输入的特征M序列补一个1后，再循环右移并进行排序就可形成矩阵HA进行哈达码变换.变换后只需进行一次重排，从重排的序列2n个元素中取出2n-1个元素，最后乘以因子1/(T+1)后就得到了系统的冲激响应矩阵，这就是快速M序列变换的信号处理流程.,FMT(Fast M-sequence Transform)数据流图,三.FMT的分解,从FMT的数据流图,我们可以看出,M序列激励系统产生的响应y,经历了:(1)响应数据的排列,(2)哈达码变换 H(3)变化后
15、的数据重排,(4)乘以因子1/(T+1)的过程,最后得到的是自然排序的系统冲激响应.该过程可用一下分解公式得到:从该式中可以看出,哈达码矩阵是已知的矩阵,Y是系统输出端测出的数据,因此,只要确定排列矩阵P1和重排矩阵P2,就完成了FMT,四.两个排列矩阵的构造分解过程（1）,以度n=3为例来说明P1、P2的构造过程。n=3对应的哈达码矩阵HA秩为8，可把HA转化为二进制形式的Reed-Muller矩阵Rt，即:可将矩阵Rt 分解为:,其中因子Q可表示为十进制的下标索引形式:,两个排列矩阵的构造分解过程（2）,同理，把式(19)转化为二进制矩阵A后，有:A=P2 QQTP1=E2 E1(23)E
16、2=P2 Q,E1=(P1Q)T(24)我们将式(17)中的矩阵A进行矩阵分解如下:观察E1、E2,对它们每列或每行的二进制转化成十进制数后,就可形成下标索引形式:E1=(7,1,2,5,4,6,3)index E2=(7,3,6,4,5,2,1)index(26)所以,把第一个下标7搁置后,E1和E2的下标索引具有互为次序反向的关系.,两个排列矩阵的构造分解过程（3）,把算出的矩阵Q和E2、E1代入式(24)得:观察P1、P2,它们都是稀疏矩阵,这有利于减少计算量.另外,还可以发现:搁置第一行(或列,如图中的虚线所示)后,每列(或行)的P1(或P2)中元素1出现的位置恰好与因子矩阵E1(或E
17、2)的下标索引形式标识的位置相同.因而只用E1的一个下标索引,就可完成E1、E2、P1、P2四个矩阵的构造,这就是排列矩阵P1、P2的构造原理.该原理对任意度的特征M序列均适用.,五.互补M序列的排列矩阵的构造,如果以与mk互补的特征M序列去激励系统,根据互补特征M序列对的互为对偶的关系,该序列所激励的系统输出的FMT的排列矩阵Pr1和重排矩阵Pr2的下标索引分别与P1、P2互为对偶,即:式(28)表明:如果用原M序列相同的互补M序列去激励相同的系统,对所产生的响应进行快速M序列变换FMT,该FMT所需要的排列矩阵Pr1和重排矩阵Pr2不必再重新求.可根据索引下标形式互推.对原M序列的排列矩阵
18、P1取对偶索引 互补M序列的排列矩阵Pr1 对互补M序列的排列矩阵Pr1取反序 互补M序列的重排矩阵Pr2所以,P1和Pr2,P2和Pr1,具有相同 的索引形式.可如下图表示:,互补M序列的排列矩阵的构造(2),因而从图中可以看出,若用互补M序列对取激励一双端口系统,对两个输出响应进行FMT.则采用一个索引形式可以构造出四个排列矩阵,计算复杂度会大幅度降低.,六.对多端口输入输出复杂系统特性的测量(1),利用互补M序列对互相关函数性质,和相互排列矩阵求取的互推性,可以方便地求取出复杂的多输入输出系统的特性,它的优势在于抗噪声能力非常强,而且计算复杂度较低.方法:用多个M序列对去激励复杂系统,对
19、多个输出分别进行FMT即可.,对多端口输入输出复杂系统特性的测量(2),七.对双耳缩比模型的测量,我们研究特殊的多输入输出系统模型,即双输入输出系统,该模型是现实中很多系统的概括,如在声学测量中,为测出封闭室内的声波传输特性,采用两个激励源(如音箱),两个接收端(耳朵).因此可形象地称该模型为双耳缩比模型.在建筑声学领域,这种模型有多种表现形式.,模型实例,双耳缩比模型的测量数据流程,第四篇 本人完成的一些仿真实验,一对单输入单输出系统的测量 1.系统的构造,任意构造一无限冲激响应IIR系统,该系统的传函为:2.理想方法,用单位冲激响应(理想化周围环境中不存在噪声干扰)去激励该系统,得到的冲激
20、响应为真实的冲激响应,单输入输出系统的测量(2),3.传统方法(用功率大的冲激抵御噪声)从实验曲线可以看出,加入较微量的噪声,冲激响应法测出的系统特性曲线已经与真实值大相径庭,为了较真实测量系统特性,必须增大冲激的功率,单输入输出系统的测量(3),4.M序列不加噪法,和M序列加噪法 实验中,用的是度数为6的(较低)的特征M序列,所加的噪声功率是传统方法的两倍.从实验曲线可以看出,(1)M序列法在干扰噪声强一倍的情况下,仍能很接近地测出系统响应(2)M序列在加噪和不加噪情况下测量结果几乎一样,因而具有非常优秀的抗噪声性能.,单输入输出系统的测量(4),5.误差存在原因:选用的M序列不是绝对大,相
21、关特性和理想特性仍有差距.,II.双输入输出系统的测量(1),一.系统的构造,1.构造全相位滤波器的系统.结构如下:为了证实FMT的正确性，实验分别采用了度为8到12的互补特征M序列测试一双端口64阶全相位FIR滤波器(All Phase Fourier Filter，简称APFF)，令全相位滤波器1(图示为一APFF1)具有低通性质，而APFF2具有高通性质，对两个滤波器的输出进行取和和取差就形成了系统的输出.,为什么要取和取差？,双输入输出系统的测量(2),传统的用单位取样脉冲并叠加高斯白噪声激励双端口系统，并在输出端接收得到的冲激响应波形如下 从传统方法可以看出,用单位取样脉冲加噪后,完
22、全看不到一丝真实响应波形,要加以改善,只有极大幅度地增大取样脉冲的功率才行.,双输入输出系统的测量(3),用M序列(度为9)加噪和不加噪法得到的输出端口的波形,双输入输出系统的测量(4),M序列激励系统输出再作变换后的冲激响应(左不加噪,右为加噪,M序列的度取为9),双输入输出系统的测量(5),换为度为11的M序列的测试结果比较度为9和度为11可以发现:(1)度为11的测试结果更加接近理想真实值.所以度越大,效果越好.(2)两种情况加噪后,测试结果并不受影响,所以M序列测试法具有很好的抗噪声性能.,数据分析,用度为8到11的M序列分别测试该系统,并对所有的测量数据结果取方差,方差(1)表明测试结果的稳定情况(2)表明与真实理想情况的偏离程度.上面分析表明:度越大,数据越稳定,与真实值更加接近.在工程实践中,要求用到度大于15的M序列,这需要借助硬件来实现算法.,表1 各种测量法的测出的冲激响应值的方差数据,
