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1、一、问题的提出,二重积分的几何应用,定积分可以求得平面曲线之弧长,与此相当,二重积分可求空间曲面之面积.,设n 是光滑曲面(如图)：,1)方向余弦,二、曲面面积的积分公式,立得（夹角余弦公式）：,1.复习和预备,2)面积投影定理,在曲面上点 处取切平面,小块dA,以代替曲面上相应的面积微,(称为面积元素),元dS,使其与dA,在D上有共同投影d,取切平面A与D之交线L为x轴,如,故得,x,y,下图(矩形).,当 为锐角时,由于,2.曲面面积的定义与公式,记 是与 有相同投影,当 充分小时,显然有:,从而取,则有:,定义 将S任意分为不重叠的小曲面之和(如上),而,的面积记为,的切平面小块,借用
2、定积分基本思想：,若曲面方程为：,则曲面面积为：,若曲面方程为：,则曲面面积为：,评注 1)同理可得,存在,则称其为曲面S的面积.记为：,解 曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A.,3.公式应用,上述公式的应用步骤如下：,1)由题设确定曲面方程及其投影区域 D;,2)给出D的合适表述,代入公式化为二次积分.,解,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 平面上的投影域为,1.直角坐标下的曲面面积公式及应用,2.参数方程下的曲面面积公式及应用,3.课堂练习 书P130:习题2；,三、小结与练习,书P130:习题1；,四、作业,一、重积分计算的基本方法,1.选择合适的坐标系,使积分域多为坐标
3、面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2.选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙.,图示法,解方程组求交点,3.确定积分限的方法,累次积分法,二重积分计算法习作与练习,例1 求下列积分,解 先y后x,直接求.,解 作图,取x-型为简.,解法一 用直角坐标直接求；解法二 用对称性及奇函数直接求；,所围成.,例2 计算二重积分,其中D 为圆周,所围闭区域.,提示:利用极坐标,原式,例3 计算二重积分,其中:,(1)D为圆域,(2)D由直线,解:(1)利用对称性.,围成.,(2)积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性,得,例5 计算二重积分,在第一象限部分.,解:(1),两部分,则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,(2)提示:,两部分,说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,例6,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解,
