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1、学案3 二项式定理,返回目录,1.二项式定理的内容(a+b)n=.右边的多项式叫做(a+b)n的，其中的系数(r=0,1,n)叫做展开式的，式中的第r+1项 an-rbr叫做二项展开式的，记作Tr+1=(其中0rn,rN,nN*).,二项展开式,二项式系数,通项,考点分析,2.二项式系数的性质（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.（2）增减性与最大值由 知，当k 时，二项式系数是逐渐的，由对称性知它的后半部分是逐渐的，且在中间取最大值.当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和为2n，即=2n.（4）奇数项的
2、二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即,返回目录,增大,减小,（1）的展开式中x5的系数为.（2）若在(1+ax)5的展开式中x3的系数为-80,则a=.,返回目录,考点一 求二次展开式的特定项,【分析】由通项公式列方程可得.,题型分析,【解析】（1）二项展开式的通项为 令8-=5,则r=2,T3=(-1)2 x5=28x5,x5的系数为28.（2）在二项展开式中通项公式Tr+1=(ax)r=arxr,令r=3,得x3的系数:a3=-80,a3=-8,a=-2.,返回目录,【评析】（1）二项展开式的通项公式反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特
3、定项、特定项的系数或指数.（2）求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得，考查计算能力.,返回目录,若(x+)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为()A.10 B.20 C.30 D.120,B(由展开式的二项式系数之和为64,得2n=64,得n=6,则展开式中的第r+1项Tr+1=x6-r(x-1)r=x6-2r,令6-2r=0,得r=3.则展开式中的常数项为T4=20.故应选B.),返回目录,对应演练,B,（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.,【分析】根据条件可求出n；再根据n的奇偶性，确定二项式系数最大的
4、项；系数最大的项则由不等式组确定.,返回目录,考点二 增减性与最值问题,【解析】T6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有 25=26 n=8.(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1 120 x4,设第r+1项系数最大,则有 2r 2r-1 2r 2r+1,返回目录,2(8-r+1)r r6 r+12(8-r)r5 又rN，r=5或r=6,系数最大的项为T6=1 792x5，T7=1 792x6.,返回目录,5r6.,【评析】求二项式系数最大的项，要根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大.求展开式中系数最大项与求
5、二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法.,返回目录,在(3x-2y)20的展开式中,求:(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项.,返回目录,对应演练,(1)二项式系数最大的项是第11项,T11=310(-2)10 x10y10=610 x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项,320-r2r 319-r2r+1 320-r2r 321-r2r-1,3(r+1)2(20-r)2(21-r)3r,解得 r.所以r=8.即T9=31228x12y8是系数绝对值最大的项.,返回目录,于是,化简得,(3)
6、由于系数为正的项为奇数项,故可设第2r-1项系数最大,于是 322-2r22r-2 324-2r22r-4 322-2r22r-2 320-2r22r,10r2+143r-1 0770 10r2+163r-9240.解之得r=5,即25-1=9项系数最大.T9=31228x12y8.,返回目录,化简得,设（2-x）100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，求下列各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+a100;（3）a1+a3+a5+a99;（4）（a0+a2+a100）2-(a1+a3+a99)2.,返回目录,考点三 利用赋值法求二项式系数和的有关问题,【分析】利用二项式系数的性质
7、.,【解析】（1）由(2-x)100展开式中的常数项为 2100，即a0=2100,或令x=0，则展开式可化为a0=2100.（2）令x=1，可得 a0+a1+a2+a100=(2-)100，a1+a2+a100=(2-)100-2100.,返回目录,（3）令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+)100，与x=1所得到的联立相减可得a1+a3+a99=.（4）原式=(a0+a2+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1
8、.,返回目录,【评析】（1）求关于展开式中系数和的问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1,-1,0,.（2）一般地，对于多项式 g(x)=(a+bx)n=a0+a1x+anxn.g(x)的各项的系数和为g(1),g(x)的奇数项的系数和为 g(1)+g(-1),g(x)的偶数项的系数和为 g(1)-g(-1).,返回目录,设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=（）A.29 B.49 C.39 D.59,B(由通项公式可知，(1-3x)9的展开式中含x的奇次幂的项的符号均为“-”，即a1,a3,a9均小于零.|a
9、0|+|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a9.因而在(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9中令x=-1，便可求出其值.即|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=1-3(-1)9=49.故应选B.),返回目录,对应演练,求值：（1）2n+2n-13+2n-232+23n-1+3n;（2）2+2+2.,返回目录,考点四 有关二项式的应用,【分析】构造二项式，通过赋值法求值.,【评析】与组合数有关的求值问题，解答过程大体上用两个知识点:二项展开式的逆用（从右往左用）；赋值法.,【解析】（1）在二项展开式(a+b)n=an+an-1 b+bn中，令a=2,b=3,得 2n+2n
10、-13+2n-232+23n-1+3n=(2+3)n=5n.（2）原式=()+()=(1+1)2n+(1+1)2n=22n+22n-1=22n-1(2+1)=322n-1.,返回目录,证明：2(1+)n3,其中nN*.,证明：当n=1时，(1+)1=2.当n1时，(1+)n=1+=1+1+2.当n=1时等号成立.(1+)n2成立.,返回目录,对应演练,(1+)n=1+1+1+2+=2+=2+1-()n-1=3-()n-13.2(1+)n3成立.,返回目录,1.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr+1.有时还需先求n，再求r，才能求出Tr+1.2.有些三项展开式问题可以通过变形成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.,返回目录,高考专家助教,祝同学们学习上天天有进步！,
