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1、学案6 二项分布及其应用,返回目录,1.条件概率 一般地,设A，B为两个事件，且P（A）0，称P（B|A）=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.P（B|A）读作.条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(B|A)1.,A发生的条件下B发生的概率,考点分析,返回目录,如果B和C是两个互斥事件，则 P（BC|A）=.2.事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立.如果事件A与B相互独立，那么A与，A与，A与 也都相互独立.,P（B|A）+P（C|A）,B,3.独立重复试验 一般地,在相同条件下重复做的n次试验
2、称为n次独立重复试验.4.二项分布 一般地,在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 P（X=k）=,k=0,1,2,n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X，并称p为.,返回目录,成功概率,B（n,p）,返回目录,考点一 条件概率,有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率.,【分析】解决好概率问题的关键是分清属于哪种类型的概率，该例中的幼苗成活率是在出芽后这一条件下的概率，属于条件概率.,题型分析,返回目录,【解析】设种子发芽为事
3、件A，种子成长为幼苗为事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为:P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.根据条件,概率公式 P(AB)=P(B|A)P(A)=0.90.8=0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.,【评析】在解决条件概率问题时，要灵活掌握P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之间的关系，即P(B|A)=,P(A|B)=,P(AB)=P(A|B)P(B)+P(B|A)P(A).,对应演练,某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，求(1)P(A|B);(2)P(B|A).,返回目录,返
4、回目录,根据题意知P(A)=,P(B)=,P(AB)=.(1)P(A|B)=(2)P(B|A)=,返回目录,考点二 事件的相互独立性,甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品 的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有 一个一等品的概率.,返回目录,【分析】(1)将三种事件设出,列方程,解方程即可求出.(2)用间接法解比较省时,方便.,【解析】(1)设
5、A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.P(AB)=P(BC)=P(AC)=,P(A)1-P(B)=P(B)1-P(C)=P(A)P(C)=,由题设条件有,即,由得P(B)=1-P(C),代入得 27P(C)2-51P(C)+22=0.解得P(C)=或(舍去).将P(C)=分别代入可得P(A)=,P(B)=.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是,.,返回目录,(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件.则P(D)=1-P(D)=1-1-P(A)1-P(B)1-P(C)=1-=.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有
6、一个一等品的概率为.,返回目录,【评析】(1)对照互斥事件、对立事件的定义进行判断，哪些是互斥事件，哪些是对立事件，是解好题目的关键.“正难则反”，一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少，则用公式P（A）=1-P（A）计算.(2)审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”等.(3)复杂问题可考虑拆分为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的概率求法进行求解.(4)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:利用相互独立事件的概率乘法公式;正面计算较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算.,返回目录,返回目录,对应演练,甲、
7、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8,计算:(1)两人都击中目标的概率;(2)其中恰有一人击中目标的概率;(3)至少有一人击中目标的概率.,返回目录,记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是AB或AB；“至少有1人击中目标”是AB或AB或AB.(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立，P(AB)=P(A)P(B)=0.80.8=0.64.(2)“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中（即AB）,另一种是甲未击中乙击中（即AB
8、），根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件AB与AB是互斥的，所以所求概率为：,P=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法一：“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.64+0.32=0.96.解法二：“两人都未击中目标”的概率是P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.8)=0.20.2=0.04.至少有一人击中目标的概率为P=1-P(AB)=1-0.04=0.96.,返回目录,返回目录,考点三 独立重复试验与
9、二项分布,某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立).(1)求至少3人同时上网的概率;(2)至少几人同时上网的概率小于0.3?,【分析】因为6个员工上网都是相互独立的，所以该题可归结为n次独立重复试验与二项分布问题.,返回目录,【解析】（1）解法一：记“有r人同时上网”为事件Ar,则“至少3人同时上网”即为事件A3+A4+A5+A6，因为A3,A4,A5,A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“至少3人同时上网”的概率为 P=P(A3+A4+A5+A6)=P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)=()=(20+15+6+1)=.,解法二：“至少3人
10、同时上网”的对立事件是“至多2人同时上网”，即事件A0+A1+A2.因为A0,A1,A2是彼此互斥的事件，所以“至少3人同时上网”的概率为 P=1-P(A0+A1+A2)=1-P(A0)+P(A1)+P(A2)=1-()=1-(1+6+15)=,返回目录,解法三：至少3人同时上网，这件事包括3人，4人，5人或6人同时上网，则记至少3人同时上网的事件为A,X为上网人数,则 P(A)=P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6),返回目录,（2）解法一：记“至少r人同时上网”为事件Br,则Br的概率P(Br)随r的增加而减少.依题意是求满足P(Br)0.3的整数r的最小值.因
11、为 P(B6)=P(A6)=0.3,P(B5)=P(A5+A6)=P(A5)+P(A6)=()=0.3,P(B4)=P(A4+A5+A6)=P(A4)+P(A5)+P(A6)=()=(15+6+1)=0.3,所以至少4人同时上网的概率大于0.3,至少5人同时上网的概率小于0.3.,返回目录,解法二：由(1)知至少3人同时上网的概率大于0.3,至少4人同时上网的概率为 P（X4）=0.3,至少5人同时上网的概率为 P(X5)=0.3,所以至少5人同时上网的概率小于0.3.,返回目录,【评析】（1）独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两
12、种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.(2)在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=(1-p)k，k=0,1,2,n.此时称随机变量X服从二项分布，在利用该公式时，一定要搞清是多少次试验中发生k次的事件，如本题中“有3人上网”可理解为6次独立重复试验恰有3次发生，即n=6，k=3.,返回目录,返回目录,对应演练,甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和,假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响,每次射击是否击中目标,相互之间也没有影响.(1)
13、求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目 标3次的概率;(3)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击,问乙恰好射 击5次后,被中止射击的概率是多少?,返回目录,(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事 件A1,由题意,射击4次,相当于作4次独立重复试验,故 P(A1)=1-P(A1)=1-()4=.甲连续射击4次至少有1次未击中目标的概率为.(2)记“甲射击4次,恰有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰有3次击中目标”为事件B2,则 P(A2)=(1-)4-2=.P(B2)=(1-)4-3=.由于甲、乙射击相互独立,故 P
14、(A2B2)=P(A2)P(B2)=.,两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di(i=1,2,3,4,5),则A3=D5D4D3(D2D1),且P(D4)=.由于各事件相互独立,故 P(A3)=P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1)=(1-)=.乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.,返回目录,返回目录,考点四 二项分布的随机变量的分布列,一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯
15、的次数，求X的分布 列;(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的 分布列;(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.,返回目录,【分析】本题主要考查独立重复试验的概率和二项分布等知识.,【解析】（1）将通过每个交通岗看作一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的,故XB(6,)，以此为基础求X的分布列.由XB(6,)，所以X的分布列为 P(X=k)=，k=0,1,2,3,4,5,6.（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5.,其中:Y=k(k=0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没 有遇上 红灯，但在第k
16、+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立 事件同时发生计算.P(Y=k)=()k(k=0,1,2,3,4,5),而Y=6表示一路没有遇上红灯,故其概率为P(Y=6)=.因此Y的分布列为:,返回目录,(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为（X1）=X=1或X=2或或X=6,所以其概率为P(X1)=P(X=k)=1-P(X=0)=1-()6=0.912.,返回目录,【评析】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布.像本例中随机变量X表示遇到红灯次数，而每次遇到红灯是相互独立的，因此这是一个独立重复事件，符合二项分布，即XB(n,
17、p).分布列能完整地刻画随机变量X与相应概率的变化情况，在分布列中第一行表示X的所有可能取值，第二行对应的各个值（概率值）必须都是非负实数且满足其和为1.,返回目录,对应演练,某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列.,返回目录,由题意知XB(3,).P(X=k)=,k=0,1,2,3.分布列为:,返回目录,返回目录,1.“互斥事件”与“相互独立事件”的区别.它们是两个不同的概念，相同点都是对两个事件而言的，不同点是：“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否与另一个事件发生的概率没有影响.这两个概念一定要搞清楚，区分开.2.条件概率是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，解决此类问题一定要分清事件A及事件B是什么，分清事件AB及事件A发生的概率是多少.,高考专家助教,祝同学们学习上天天有进步！,
