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1、第一章测试,一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设函数y=f(x)在(a,b)上可导,则f(x)在(a,b)上为增函数是f(x)0的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,解析:y=f(x)在(a,b)上f(x)0y=f(x)在(a,b)上是增函数,反之,y=f(x)在(a,b)上是增函数f(x)0f(x)0.答案:A,2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程是2x+y-1=0,则()A.f(x0)0 B.f(x0)0C.f(x0)=0 D.f(x0)不存在解析:曲线
2、y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率为f(x0)=-20.答案:B,3.曲线y=x3-2在点 处切线的倾斜角为()A.30 B.45C.135 D.150,解析:y=x2,k=tan=y|x=-1=(-1)2=1,=45.,答案:B,4.曲线f(x)=x3+x-2的一条切线平行于直线y=4x-1,则切点P0的坐标为()A.(0,-1)或(1,0)B.(1,0)或(-1,-4)C.(-1,-4)或(0,-2)D.(1,0)或(2,8),答案:B,5.下列函数中,在(0,+)上为增函数的是()A.y=sin2x B.y=x3-xC.y=xex D.y=-x+ln(1+x)解析:对于C,
3、有y=(xex)=ex+xex=ex(x+1)0.答案:C,答案:D,7.函数f(x)在其定义域内可导,y=f(x)的图象如右图所示,则导函数y=f(x)的图象为(),解析:由y=f(x)的图象知,有两个极值点,则y=f(x)的图象与x轴应有两个交点,又由增减性知,应选D.答案:D,8.已知函数f(x)=x3-3x2-9x,x(-2,2),则f(x)有()A.极大值5,极小值为-27B.极大值5,极小值为-11C.极大值5,无极小值D.极小值-27,无极大值,答案:C,解析:f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).当x0,当-1x3时,f(x)0.x=-1是f(x)的极大值点.且极
4、大值为f(-1)=5,在(-2,2)内无极小值.,9.函数y=2x3+x2的单调递增区间是()A.(-,-)(0,+)B.(-,+)C.(-,-)和(0,+)D.(-,-),答案:C,解析:y=6x2+2x=2x(3x+1),令y0,得x0.函数y=2x3+x2的单调增区间为(-,-)和(0,+).,10.由抛物线y=x2-x,直线x=-1及x轴围成的图形的面积为(),答案:B,11.函数f(x)=ax3+bx2+cx在 处有极值,则ac+2b的值为()A.-3 B.0C.1 D.3,答案:A,12.(2009宁夏海南高考)曲线y=ex在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为(),
5、答案:D,解析:f(x)=ex,曲线在点(4,e2)处的切线的斜率为k=f(4)=e2,切线方程为y-e2=e2(x-4).切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(2,0),B(0,-e2),则切线与坐标轴所围成的三角形OAB的面积为S=2e2=e2.,二填空题(本大题共4小题,每小题dx5分,共20分.把答案填在题中的横线上),13.函数f(x)在R上可导,且f(0)=2.x,yR,若函数f(x+y)=f(x)f(y)成立,则f(0)=_.,1,解析:令y=0,则有f(x)=f(x)f(0)f(0)=2,f(x)不恒为0,f(0)=1.,117,15.若函数f(x)=x3-f(1)x2+2x+5
6、,则f(2)=_.,2,解析:f(x)=x2-2f(1)x+2,f(1)=1-2f(1)+2f(1)=1,f(x)=x2-2x+2,f(2)=22-22+2=2.,16.一物体以初速度v=9.8t+6.5米/秒的速度自由落下,且下落后第二个4 s内经过的路程是_.,261.2米,=4.964+6.58-4.916-6.54=313.6+52-78.4-26=261.2,三解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤),解:f(x)=x2-4=(x+2)(x-2).令f(x)=0得,x=-2或x=2.故f(x)的增区间(-,-2)和(2,+)减区间为(-2,2).,1
7、8.(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米,那么高为多少时容器的容器最大?并求出它的最大容积.,解:设容器底面宽为x m,则长为(x+0.5)m,高为(3.2-2x)m.,设容器的容积为y m3,则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,y=-6x2+4.4x+1.6,令y=0,即-6x2+4.4x+1.6=0,在定义域(0,1.6)内只有一个点x=1使y=0,且x=1是极大值点.当x=1时,y取得最大值为1.8.此时容器的高为3.2-2=1.2 m.因此,容器高为1.2 m时容器的容积最大,最大容积为
8、1.8 m3.,19.(12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax(aR).(1)当a=1时,求证:f(x)为R上的单调递增函数;(2)当x1,3时,若f(x)的最小值为4,求实数a的值.解:(1)证明:当a=1时,f(x)=2x3-6x2+6x,则f(x)=6x2-12x+6=6(x-1)20,f(x)为R上的单调增函数.,(2)f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)当a1时,f(x)在区间1,3上是单调增函数,此时在1,3上的最小值为f(1)=3a-1,当1a3时,f(x)在(1,a)上是减函数,在区间(a,3)上是增函数,故在1,3上的最小值为f(a
9、)=2a3-3(a+1)a2+6a2=4.化简得(a+1)(a-2)2=0,a=-11(舍去)或a=2;当a3时,f(x)在区间(1,a)上是减函数,故f(3)为最小值,54-27(a+1)+18a=4,20.(12分)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实数根,且f(x)=2x+2.(1)求y=f(x)的表达式;(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)=2ax+b.又f(x)=2x+2,a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c.又方程f(x)=0有两个相等的实数根,=4-4c=0,c=1.故f(x)=x
10、2+2x+1.,21.(12分)已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数a,b的值;(2)若函数f(x)在区间m,m+1上单调递增,求m的取值范围.解:(1)f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4).a+b=4.又f(x)=3ax2+2bx,则f(1)=3a+2b,由条件f(1)(-)=-1,得3a+2b=9由解得a=1,b=3.,(2)f(x)=x3+3x2,f(x)=3x2+6x,令f(x)=3x2+6x0得x0或x-2,若函数f(x)在区间m,m+1上单调递增,则m,m+1(-,-20,+),m0或m+1-2,即m0或m-3.m的取值范围是(-,-30,+).,22.(2010全国)(12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.(1)若xf(x)x2+ax+1,求a的取值范围;(2)证明:(x-1)f(x)0.,(2)由(1)知,g(x)g(1)=-1,即g(x)+10,即lnx-x+10,当0 x1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+(lnx-x+1)0;,
