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1、注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。,x/=1/3x,y/=1/2y,x2-y2=1/9,二、极坐标系内一点的极坐标的规定,对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。,特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。,四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。,2给
2、定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,直角坐标系中的点与坐标之间有什么对应关系,如果限定0,02,那么除极点外,平面内的点和极坐标 就可以一一对应了.,我们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.,（1）在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以是任意的正角或负角,（2）当 0时，点M 位于极角终边的反向延长线上，且OM=。,r的扩充,（r，q）,（3）M 也可以表示为,（r，q）,3、负极径的规定,例3.设点A（2，/3），直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l,极点的对称点的极坐标（限定0.-),结论：(1)点（，）关于极轴的对称点
3、是（，-）.(2)关于直线 的对称点是（，-）.(3)关于极点O的对称点是（，+）。,对称性,极坐标与直角坐标的互化关系式（一）,设点M的直角坐标是(x,y)极坐标是(,),x=cos,y=sin,互化公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半 轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.,直角坐标系与极坐标系变换公式(二）,在直角坐标系中，以（x0,y0)为极点，以x轴正向为极轴方向建立极坐标系。则有：,x=x0+cos,y=y0+sin,或,2=（x-x0)2+(y-y0)2,tan=,y-y0,x-x0,二、极坐标系中点的对称性,1、,()=（-）图形
4、关于极轴对称,2、,()=（-）图形关于 射线=/2所在的直线对称,3、,()=（+）图形关于极点O对称。,（三）求直线的极坐标方程步骤,1、根据题意画出草图；,2、设点 是直线上任意一点；,3、连接MO；,4、根据几何条件建立关于 的方 程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。,负极径小结：极径变为负，极角增加。,答：（6，+）,或（6，+）,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 0。因为负极径只在极少数情况用。,1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,易得,思考：,2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。,例题2、求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极
5、坐标方程。,解：如图，设点,为直线L上除点A外的任意一点，连接OM,在 中有,即,可以验证，点A的坐标也满足上式。,练习：设点A的极坐标为，直线 过点A且与极轴所成的角为,求直线 的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线 上异于的点A,连接OM，,在 中有,即,显然A点也满足上方程。,例题3设点P的极坐标为，直线 过点P且与极轴所成的角为,求直线 的极坐标方程。,则 由点P的极坐标知,由正弦定理得,显然点P的坐标也是它的解。,小结：直线的几种极坐标方程,1、过极点=(R),2、过某个定点，且垂直于极轴 cos=a,4、过某个定点，且与极轴成一定的角度,3.过定点与极轴平行 sin=a,（二）曲线
6、的极坐标方程,定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系()曲线上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；()方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线上。则曲线的方程是f(,)=0。,求下列圆的极坐标方程()圆心在极点，半径为r；()圆心在(a,0)，半径为a；()圆心在(a,/2)，半径为a；()圆心在(a,)，半径为a,r,2acos,2asin,圆心的极径与圆的半径相等,设P是空间任意一点，,在oxy平面的射影为Q，,用(,)(0,02)表示点Q在平面oxy上的极坐标，,点P的位置可用有序数组(,z)表示.,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.,有序数组(,
7、Z)叫点P的柱坐标，记作(,Z).其中,0,0 2,-Z+,柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.,空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(,Z)之间的变换公式为,设P是空间任意一点，,连接OP，,记|OP|=r，,OP与OZ轴正向所夹的角为.,在oxy平面的射影为Q，,设P在oxy平面上的射影为Q，,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.,这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,)表示.,(r,),我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系).,有序数组(r,)叫做点P的球坐标，,其中,空间的点与有序数组(r,)之间建立
8、了一种对应关系.,空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,)之间的变换关系为,P(x,y,z),x,y,z,x,y,z,o,P(,Z),Q,x,y,z,o,P(r,),Q,r,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,2.、参数方程,注：x,y的范围由t确定,参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y)（
9、2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程,参数方程与普通方程的互化,1、准确把握曲线参数方程中的参数的意义及取值范围。,2、参数方程化普通方程的技巧：（1）代入消去发。（2)加减消去法。（3）恒等式法：cos2+sin2=1、1+tan2=sec2、1+cot2=csc2、等,3、普通方程化参数方程要恰当设参数。,步骤：1、消掉参数(代入消元，三角变形，配方消元)2、写出定义域（x的范围）,参数方程化为普通方程的步骤,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。,注意：,(1,-
10、1),x,练习4,与普通方程xy=1表示相同的参数方程（t为参数）的是（）,A,x=t 2,y=t-2,B,x=sin t,y=csc t,C,x=cost,y=sect,D,x=tan t,y=cot t,练习5,若曲线,x=1+cos2,y=sin2,(为参数），则,点（x,y)的轨迹是（）,A、直线x+2y-2=0 B.以（2,0）为端点的射线,C.圆（x-1)2+y2=1,D、以（2,0）和（0,1）为端点的线段,D,标准方程,一般方程,x=x0+l t,y=y0+mt,l 的方向向量 a=(l,m),(1)写出过点（2,1），倾斜角为2/3的直线的参数方程。,（2）写出过点（-1，3
11、），倾斜角为arctan2的直线的参数方程。,练 习,练 习,(3)直线,x=-2+tcos30,y=3-tsin60,(t为参数）的倾斜,角等于（）,A.30 B.60 C.-45 D.135,D,(4)把,x=5+3t,y=10-4t,化成标准方程的形式。,思考:,例1、已知直线 l 过点M0(1,5),倾斜角为/3，且交直线x-y-2=0于M点，则 MM0=,三、例题讲解,的应用,直线上两点间的距离,三、例题讲解,例2、已知直线 l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A,B两点。(1)求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.(2)求AB中点的坐标。,（4）AB的中点的参数
12、t和t1,t2 有什么关系？,直线 l 与曲线相交于M1,M2两点其对应的参数分别为t1,t2,则有,（1）曲线的弦长,（2）弦M1M2的中点M=,结论：,例1、直线过点A（1,3），且与向量（2，-4）共线。（1）写出直线的参数方程。（2）求点P（-2，-1）到此直线的距离。,x=1+2t,y=3-4t,思考与探索P38,四、课堂练习,它的焦距是多少？,(),B,(),B,二、圆锥曲线的参数方程,双曲线的参数方程,x,y,M(x,y),(),c,B,A,M,1.已知P（x,y）圆C：x2+y26x4y+12=0上的点。（1）求 的最小值与最大值（2）求xy的最大值与最小值,2.圆x2+y2=
13、1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是；,3.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_；,3.过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_；,4若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为；,5.参数法求轨迹1)一动点在圆x2y2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程2)已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,的平分线交PA于 Q点,求Q点的轨迹.,7、抛物线 的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。,8、抛物线 的顶点，引两互相垂直的两 条弦OA，OB，求顶点O在AB上射影H的轨迹方程。,10、P是双曲线（参数）上任一点，F1,F2 是该双曲线的焦点：求PF1F2的重心G的轨迹的普通方程。,
