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1、人教版高中课程实验教科书数学(必修三),第三章 第二节 古典概型,一.温故而知新,二.问题引入及古典概型,四.古典概率模型的计算问题,三.例题分析,五.巩固练习,六.本课小结及难点,数学系,赵凤爱,温故而知新,事件的关系及其运算,古 典 概 型,温故而知新:,1从事件发生与否的角度可将事件分为哪几类？2概率是怎样定义的？3、概率的性质：,必然事件、不可能事件、随机事件,0P（A）1；P()1，P()=0.,一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将事件A发生的频率 作为事件A发生的概率的近似值，,问题引入：,有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点
2、向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？,事件的构成,古 典 概 型,1、掷一枚质地均匀的硬币的试验，可能出现几种不同的结果？,2、掷一枚质地均匀的骰子的试验，可能出现几种不同的结果？,像上面的“正面朝上”、“正面朝下”；出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”这些随机事件叫做构成试验结果的基本事件。,事件的构成,基本事件的特点,（1）在同一试验中，任何两个基本事件是互斥的；,（2）任何事件都可以表示成几个基本事件的和。,古 典 概 型,由所有的基本事件构成一个试验的样本空间,例如：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间为：1,2，3,4，5,6 它有6
3、个基本事件,训练一,古 典 概 型,1、连续抛掷两枚硬币，写出所有的基本事件。,解,训练二,古 典 概 型,2、连续抛掷两枚骰子，共有多少个基本事件。,共有36个基本事件，每个事件发生的可能性相等，都是1/36,训练三,古 典 概 型,3、一个袋中装有红、黄、蓝三个大小形状完全相同的球，（1）从中一次性摸出两个球，其中可能出现不同色的两个球的结果。,红，黄，红，蓝，黄，蓝,（2）从中先后摸出两个球，其中可能出现不同色的两个球的结果。,（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝）,（黄，红），（蓝，红），（蓝，黄）,古典概率,我们会发现，以上三个试验有两个共同特征：,(1)有限性：在随机试验中，其可能出现
4、的结果有有 限个，即只有有限个不同的基本事件；,(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。,我们称这样的随机试验为古典概型。,1、古典概型,古 典 概 型,古典概率,一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n,随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用 来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P(A)，即有,我们把可以作古典概型计算的概率称为古典概率。,2、古典概率,古 典 概 型,例 题 分 析,1、掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率。,分析：先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间和掷得偶数点事件A,再确定样本空间元素的个数n，和事件A的元素个数m.最后利用公式即可。,
5、解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是=1,2，3,4，5，6,n=6,而掷得偶数点事件A=2,4，6,m=3,P(A)=,例 题 分 析,2、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。,分析：样本空间 事件A 它们的元素个数n,m 公式,解：每次取一个，取后不放回连续取两次，其样本空间是,=,(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),n=6,用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则,A=,(a,c),(b,c),(c,a),(c,b),m=4,P(A)=,例 题 分 析,3
6、、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率.,解：有放回的连取两次取得两件，其一切可能的结 果组成的样本空间是,=,(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c),n=9,用B表示“恰有一件次品”这一事件，则,B=,(a,c),(b,c),(c,a),(c,b),m=4,P(B)=,例 题 分 析,4、同时掷两颗均匀的骰子，求掷得两颗骰子向上的点数之和是5的概率。,解：掷两颗均匀的骰子，标记两颗骰子1号、2号便于区分。每一颗骰子共有6种结果，两颗骰子同时抛
7、共有66=36种结果,n=36,而掷得向上的点数之和是5的事件 A=（1，4），（2,3），（3，2），（4，1）,m=4,P(A)=,例1（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。,求摸出的两个球一红一黄的概率。,问共有多少个基本事件；,求摸出两个球都是红球的概率；,求摸出的两个球都是黄球的概率；,例题讲解：,例1（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。,问共有多少个基本事件；,解：分别对红球编号为1、2、3、4、5号，对黄球编号6、7、8号，从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下：,（1，2）、（1，3）、（1
8、，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）,（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）,（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）,（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）,（5，6）、（5，7）、（5，8）,（6，7）、（6，8）,（7，8）,7,6,5,4,3,2,1,共有28个等可能事件,28,例1（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。,求摸出两个球都是红球的概率；,设“摸出两个球都是红球”为事件A,则A中包含的基本事件有10个，,因此,例1（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球
9、和3个黄球，从中一次摸出两个球。,求摸出的两个球都是黄球的概率；,设“摸出的两个球都是黄球”为事件B，,故,则事件B中包含的基本事件有3个，,例1（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。,求摸出的两个球一红一黄的概率。,设“摸出的两个球一红一黄”为事件C，,故,则事件C包含的基本事件有15个，,摸出两个球都是红球的概率为,摸出的两个球都是黄球的概率为,摸出的两个球一红一黄的概率为,通过对摸球问题的探讨，你能总结出求古典概型概率的方法和步骤吗？,想一想？,古典概率模型的计算问题,例1.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出
10、后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。,解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，,=,则A=（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）=2/3,=,。,点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点（1）所有的基本事件必须是互斥的（2）m为事件A所包含的基本
11、事件数，求m值时，要做到不重不漏。,古典概率模型的计算问题,例2.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样。解析：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有101010=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有888=83种，因此，P(A)=0.512.,古典概率模型的计算问题,（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，
12、按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为1098=720种设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为876=336,所以P(B)=0.467,解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10986=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8766=56，因此P(B)=0.467,点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数
13、时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误。,巩 固 练 习,1、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中任取 2件，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。,解：试验的样本空间为,=ab,ac,bc,n=3,用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则,A=ac,bc,m=2,P(A)=,巩 固 练 习,2、从1，2,3，4,5五个数字中，任取两数，求两数 都是奇数的概率.,解：试验的样本空间是,=(12),(13),(14),(15),(23),(24),(25),(34),(35),(45),n=10,用
14、A来表示“两数都是奇数”这一事件，则,A=(13)，(15)，(3,5),m=3,P(A)=,巩 固 练 习,3、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算：(1)两枚硬币都出现正面的概率是(2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是,0.25,0.5,4、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是,0.25,巩 固 练 习,6、在掷一颗均匀骰子的实验中，则事件 Q=4，6的概率是,7、一次发行10000张社会福利奖券，其中有1张 特等奖，2张一等奖，10张二等奖，100张三 等奖，其余的不得奖
15、，则购买1张奖券能中奖 的概率,课后训练,1、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算：(1)两枚硬币都出现正面的概率是(2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是,0.25,0.5,2、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案 中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出 其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是,0.25,3、作投掷二颗骰子试验，用(x,y)表示结果，其中x表示第一 颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，求：(1)求事件“出现点数之和大于8”的概率(2)求事件“出现点数相等”的概率,古 典 概 型,求解古典概型的概率时要注意两点：（1）古典概型的适用条件：试验结果的有限性 和所有结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤；求出总的基本事件数；求出事件A所包含的基本事件数，然后利用 公式P（A）=,本课小结及难点,不重不漏,注：有序地写出所有基本事件及某一事件A中所包含的基本事件是解题的关键！,
