信号与系统离散时间系统与z变换分析法.ppt

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1、1,信号与系统(Signal&system)教师：徐昌彪,2004-12-26,电路基础教学部,2,5.9 离散时间系统的Z变换分析法5.9.1 零输入响应5.9.2 零状态响应5.9.3 全响应,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,zi,3,5.9.1 零输入响应(1)n阶系统,n ai yi=0,(k+i)=0,对上式作Z变换，整理后得,Yzi(z)=,ni=0,i 1ai yzi(k)z i kk=0n ai z ii=0,对Yzi(z)作Z反变换，可得yzi(k),电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,2z 2 7 z 3z z,Yzi(z)=2=,y,4,5

2、.9.1 零输入响应(2)例：求离散时间系统的零输入响应 yzi(k)y(k+2)5 y(k+1)+6 y(k)=0已知yzi(0)=2，zi(1)=3解：作Z变换z 2 Yzi(z)yzi(0)yzi(1)z 1 5zYzi(z)yzi(0)+6Yzi(z)=0代入已知条件，有z 5z+6 z 2 z 3因此,yzi(k)=3 2k 3k,k 0,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,5,5.9.2 零状态响应(1)yzs(k)=x(k)*h(k),Yzs(z)=X(z)H(z)n阶系统n m ai y(k+i)=b j x(k+j)i=0 j=0,H(z)=,mj=0ni=0,

3、b j z jai z i,Yzs(z)=,mj=0ni=0,b j z jai z i,X(z)=H(z)X(z)电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,2,1 k+1,k,6,5.9.2 零状态响应(2)例：求离散时间系统的单位函数响应 h(k)和零状态响应 yzs(k)y(k+2)5 y(k+1)+6 y(k)=x(k+2)3 x(k)已知 x(k)=U(k),解：H(z)=,z 2 3z 2 5z+6,Yzs(z)=X(z)H(z)=,z z 2 3z 1 z 5z+6,作Z反变换得h(k)=(k)+(2 3k 2k 1)U(k 1)yzs(k)=(1 2+3)U(k)2,电

4、路基础教学部,2004年12月26日7时51分,i,7,5.9.3 全响应(1),n阶系统,n m ai y(k+i)=b j x(k+j)，作Z变换i=0 j=0,Y(z)=,m b j z jj=0n ai zi=0,X(z)+,ni=0,i 1 m j 1ai y(k)z i k b j x(k)z j kk=0 j=0 k=0n ai z ii=0,Y(z)=Yzs(z)+Yzi(z)y(k)=yzs(k)+yzi(k),电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,=,8,5.9.3 全响应(2),系统函数,H(z)=,bm z m+bm 1 z m 1+L+b1 z+b0an

5、z n+an 1 z n 1+L+a1 z+a0,零状态响应零输入响应,Yzs=X(z)H(z),Yzi(z)=,ni=0,i 1ai yzi(k)z i kk=0n ai z ii=0,ni=0,i 1 m j 1ai y(k)z i k b j x(k)z j kk=0 j=0 k=0n ai z ii=0,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,y y,（,9,5.9.3 全响应(3)例:对如下离散时间系统y(k+2)0.7 y(k+1)+0.1 y(k)=7 x(k+2)2 x(k+1)已知 x(k)=U(k)，(0)=9，(1)=13.9。（1）求全响应（2）求零输入响应，

6、零状态响应，并由此求全响应解：1）求全响应将差分方程两端作ZTz 2 Y(z)y(0)y(1)z 1 0.7 zY(z)y(0)+0.1Y(z)=7 z 2 X(z)x(0)x(1)z 1 2z X(z)x(0)代入已知，整理后得,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,Y(z)=2,10,5.9.3 全响应(4)9z 3+4.27 z 2 8.27 z(z 0.7 z+0.1)(z 1)作Z反变换得,y(k)=12.5+7 0.5k 10.5 0.2k,k 0,（2）求零输入响应响应，零状态响应，全响应将差分方程两端作ZTz 2 Y(z)y(0)y(1)z 1 0.7 zY(z)y

7、(0)+0.1Y(z)=7 z 2 X(z)x(0)x(1)z 1 2z X(z)x(0)代入已知，整理后得,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,Yzi(z)=2,7 z 2 2z z,Yzs(z)=2,11,5.9.3 全响应(5)2z 2+8.27 zz 0.7 z+0.1z 0.7 z+0.1 z 1作Z反变换得,yzi(k)=12 0.5k 10 0.2kyzs(k)=(12.5 5 0.5k 0.5 0.2k)U(k)y(k)=yzi(k)+yzs(k)=12.5+7 0.5k 10.5 0.2k电路基础教学部,k 0k 02004年12月26日7时51分,12,5.1

8、0 离散系统函数，系统稳定性判别5.10.1 离散系统函数5.10.2 系统稳定性判别,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,k,2,z(z+3),k 3,13,5.10.1 离散系统函数(1)系统函数与单位函数响应是Z变换对h(k)H(z),x(k)=(k)yzs(k)=h(k)X(z)=1 Yzs(z)=X(z)H(z)=H(z),h(k)H(z),例：h(k)=2 U(k),H(z)=?,zz 2,H(z)=2,h(k)=?2(3)U(k 3),电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,=,14,5.10.1 离散系统函数(2)系统函数与差分方程an y(k+n)+a

9、n 1 y(k+n 1)+L+a1 y(k+1)+a0 y(k)=bm x(k+m)+bm 1 x(k+m 1)+L+b1 x(k+1)+b0 x(k)在零状态下对上式两边作Z变换后，得,H(z)=,Yzs(z)bm z m+bm 1 z m 1+L+b1 z+b0X(z)an z n+an 1 z n 1+L+a1 z+a0,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,2z+1 2z+1,解：H(z)=2=,+,15,5.10.1 离散系统函数(3)例：求系统 y(k+2)+3 y(k+1)+2 y(k)=2 x(k+1)+x(k)的单位冲激响应h(k)。z+3z+2(z+1)(z+2

10、),=,1 3z+1 z+2,得 h(k)=(1)k 1+3(2)k 1 U(k 1),电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,3 2,=2,16,5.10.1 离散系统函数(4)例:试列写出描述离散时间系统的差分方程已知 h(k)=2(k)+(3k 2k)U(k 1),解：H(z)=2+,z 3 z 2,2z 2 9z+12z 5z+6,因此y(k+2)5 y(k+1)+6 y(k)=2 x(k+2)9 x(k+1)+12 x(k),电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,0,t,t,0,t,17,5.10.1 离散系统函数(5)H(z)的极点分布与h(k)的响应模式j,

11、系统不稳定0,系统临界稳定不稳定(单极点重极点),系统不稳定,0,t 0,0,t,t系统稳定00,t,0,0,t,t,系统不稳定,系统不稳定,零点对响应模式无影响，只影响响应的幅度与相位,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,18,5.10.2 系统稳定性判别(1)稳定系统的含义对于有界的激励产生有界的响应的系统称为稳定系统。系统稳定性稳定系统：H(z)的极点全部位于z平面单位圆内。不稳定系统：H(z)的极点至少有一个位于z平面单位圆外，或在单位圆上有重极点。临界稳定系统：H(z)的极点位单位圆上，且为单极点。系统稳定的充要条件H(z)的极点全部位于z平面单位圆内,电路基础教学部,

12、2004年12月26日7时51分,D,19,5.10.2 系统稳定性判别(2),稳定系统性判别 H(z)=裘利判别法,N(z)D(z),若系统的特征方程为：(z)=an z n+an 1 z n 1+L+a1 z+a0=0则特征方程的根全部位于z平面单位圆内的充要条件是D(1)0(-1)nD(-1)0裘利表（裘利阵列）中奇数行的第一个元素大于最后一个元素的绝对值。对于二阶系统，系统稳定的充要条件：a2|a0|、D(1)0、D(-1)0,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,20,5.10.2 系统稳定性判别(3)裘利表（裘利阵列）D(z)=an z n+an 1 z n 1+L+a

13、1 z+a0=0,第1行 an第2行 a0第3行 bn 1第4行 b0第5行 cn 2第6行 c0M直到2n-3行,an 1 L a2a1 L an 2bn 2 L b1b1 L bn 2cn 3 L c0c1 L cn 2M M,a1an 1b0bn 1,a0an,bn1=bn 2=Mcn 2=cn 3=,ana0ana0bn1b0bn1b0,a0ana1an1b0bn1b1bn 2,M,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,s+1,|z|1,z=,s 1,s=,z 1,21,5.10.2 系统稳定性判别(4)双线性变换判别法D(z)=an z n+an 1 z n 1+L+a1

14、 z+a0=0令 z=，则|z|1 Re(s)0s 1,D(z)=0从而反之亦然，即,D(z)|s+1=0 Re(s)0,D(s)=0Re(s)0,D(s)|z+1=0|z|1,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,1+z 1,2z 4,2z+2z 1,z 2,6z 2z+2,2,(2),22,5.10.2 系统稳定性判别(5)例：离散系统函数如下，试确定系统是否稳定,(1)H(z)=1 2z 1+z 2(3)H(z)=2,(2)H(z)=2,解：(1),D(z)=z 2 2z+1=0z=1（重极点）系统不稳定D(z)=6z 2z+2=0a2=6|a0|=2,D(1)=6 0D(

15、1)=10 0系统稳定(3)D(z)=2z 2+2z 1=0D(1)=1 0系统不稳定,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,23,5.10.2 系统稳定性判别(6)例：离散系统的特征方程如下，试确定系统是否稳定D(z)=2z 5+2z 4+3z 3+4z 2+4z+1=0解：D(1)=2+2+3+4+4+1 0(1)n D(1)=(1)n(2+2 3+4 4+1)0,系统不稳定,第1行第2行第3行第4行,2136,2405,3422,4350,4 12 263,第5行,27 30 6,15,第6行,15,6 30 27,M电路基础教学部,M,M,2004年12月26日7时51分,

16、24,5.10.2 系统稳定性判别(7)例：离散系统的特征方程如下D(z)=z 2+z+(2 K 1)=0试确定为使系统稳定的常数K的取值范围。解：为使系统稳定，必须a2=1|a0|=|2 K 1|D(1)=1+1+2 K 1 0D(1)=1 1+2 K 1 0即 0 0.5K 0.5因此 0.5 K 1,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,)+,25,5.10.2 系统稳定性判别(8)或者，令 z=s+1，有s 1,D(z)z=s+1s 1,=(,s+1 2 s+1s 1 s 1,+(2 K 1)=0,即(2 K+1)s 2+(4 4 K)s+(2 K 1)=0为使系统稳定，必

19、,yzs(k)=H(a)a k,条件2：a在H(z)的收敛域内,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,e jT 1,解：H(e jT)=jT=,28,5.11 离散系统的频率响应特性(3)H(e jT)基本特性因 e jT 是的周期函数，故 H(e jT)也是的周期函数,|H(e jT)|(),为的周期函数，且为偶函数为的周期函数，且为奇函数,例：一阶系统 H(z)=,zz a1,0 a1 1,e a1(1 a1 cos T)+ja1 sin T=|H(e jT)|e j(),电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,2,2,a1 sin T,v,e,N,e a1

20、M,jT N,v v,2,2,29,5.11 离散系统的频率响应特性(4),|H(e,jT,)|=,1(1 a1 cosT)+(a1 sinT),11 a1,|H(e jT)|,()=arctg1 a1 cos T另外，频率特性可用几何作图法得到,11+a1,0,2T,对上例jTH(e jT)=jT=v|H(e)|=M()=单位圆,Im(z)N M 0 a1,Re(z),arctg arctg,a11 a1a1 01 a1,(),2T,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,30,5.11 离散系统的频率响应特性(5)小结(1)位于z=0处的零点或极点不会影响幅频特性，只会影响相频特性；(2)若有极点靠近单位圆，则当变化经过此极点附近时，幅频特性出现峰值；若有零点靠近单位圆，则当变化经过此零点时附近时，幅频特性出现谷值。,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,

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