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1、第5章 离散时间信号处理基础,5.1 线性时不变离散系统时域模型差分方程,5.1.1 线性时不变离散系统的数学模型和基本运算单元,5.1.2 差分方程的建立,5.1.3 差分方程的时域经典解法,5.1.4 用z变换求解差分方程,5.2 卷积和,5.2.1 零输入响应和零状态响应,5.2.2 离散系统的单位脉冲响应,5.2.3 卷积和,5.2.4 用卷积和计算系统的零状态响应,5.3 离散系统的系统函数,5.3.1 系统函数的定义,5.3.2 系统的稳定性和因果性,5.3.3 系统的频率特性,5.1 线性时不变离散系统时域模型差分方程,连续时间信号处理是用连续时间系统来完成的，而离散信号的处理是
2、用离散时间系统完成的。离散时间系统的作用是将输入序列转变为输出序列，即系统的功能是完成输入x(n)转变为输出y(n)的运算，记为：,y(n)=Tx(n),5.1.1 线性时不变离散系统的数学模型和基本运算单元,离散时间系统的输入与输出是离散的时间序列，它们的关系常用差分方程来描述。对于在输入序列x(n)激励下的输出响应y(n)系统，其数学模型是下面的差分方程。,描述离散系统的差分方程是由延迟、倍乘、相加三种基本运算单元组合而成的。常用的基本运算单元如图5-1所示。,图5-1 离散时间系统基本运算单元：延迟，倍乘，相加,5.1.2 差分方程的建立,例5-1 系统方框如图5-2所示，写出其差分方程
3、。,解：根据系统框图 输出y(n)由输入x(n)与y(n)一个延迟相加得出的,y(n)=ay(n-1)+x(n),等式左边由未知序列y(n)及其移位序列y(n-1)构成，因为仅差一个移位序列，所以是一阶差分方程。,y(n)-ay(n-1)=x(n),例5-2 已知一个离散LTI系统如图5-3，写出系统的差分方程。,解：围绕加法器，利用延迟算子D滞后作用，可方便的写出系统的差分方程为,y(n)-y(n-1)+0.5 y(n-2)=x(n),因为y(n)最高与最低值之差相差二个移位序列，所以是二阶差分方程,如果系统的激励为x(n)，响应为y(n)，则描述线性时不变离散系统的N阶差分方程的一般形式为
4、,上式可写成,其中,为实常数，N称为方程的阶数。,如果式中a00，且已知x(n)和初始条件y(1)，y(2)，y(N-1)，则可以计算出n0时的所有输出y(n)。,这种方法概念清楚，也比较简单，适合计算机编程求解，但不能给出解答的解析表达式。求解差分方程的方法还有时域经典法，Z变换法等。,5.1.3 差分方程的时域经典解法,与微分方程的经典解相类似，形如式（5-3）差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。,1齐次解,当一般差分方程(5-3)中的x(n)及其移位项的系数bk均为零时，那么该差分方程就成为齐次方程，其形式为,它的解称为齐次解。,式中y(1)，y(2)，y(N-1)为初始条件。,对于N
5、阶齐次差分方程,（1）特征根均为单根,如果N个特征根,都互不相同，则差分方程的齐次解为,先求出其所对应的特征方程的特征根,式中常数Ci(i=1,2,N)由初始条件确定。,例5-3 已知差分方程和系统的初始条件,，试求齐次解。,解：该齐次差分方程的特征方程为,，可求得其解为,它们都是单根，由式（5-9）得该方程的齐次解应为,代入初始条件,所以：,于是方程的齐次解为,（2）特征根有重根,如果1是特征方程的r重根，则差分方程的齐次解为,式中常数Ci由初始条件确定。,例5-4 已知差分方程,和初始条件,，试求它的齐次解。,解：方程的特征方程为：,解得,由式（5-10）可得该方程的齐次解应为,代入初始条
6、件,可得,方程的齐次解为,如果1是特征方程的r根，即有1=2=r,N-r根，则差分方程的齐次解为,（3）特征方程有复根,与连续时间系统类似，对实系数的特征方程，若有复根必为共轭成对出现，形成振荡(增、减、等幅)序列。一般共轭复根既可当单根处理，最后整理成实序列，亦可看做整体因子。当特征方程有共轭复根时，齐次解的形式可以是增幅、等幅或衰减形式的正弦或余弦序列。,2非齐次方程的特解与常系数微分方程特解的求法相类似，差分方程特解的形式也与激励函数的形式有关。选定特解后，把它代入到原差分方程，求出其待定系数，就得出方程的特解。表5-1列出各种输入信号对应的特解，供大家参考。,3完全解求线性差分方程的完
7、全解的一般步骤如下：(1)写出与该方程相对应的特征方程；求出特征根，并写出其齐次解通式;(2)根据原方程的激励函数的形式，写出其特解的通式；(3)将特解通式代入原方程求出待定系数，确定特解形式；(4)写出原方程的通解的一般形式(即齐次解+特解)；(5)把初始条件代入，求出齐次解的待定系数值。,例5-5 解差分方程,，其中,解：先求方程,的齐次解，特征方程为,，,。,可解特征根,因此,根据表5-1得出其特解形式：,带入原方程：,解出,特解为,差分方程的全解为,将已知的初始条件带入上式，有,由上例可以分析，差分方程的齐次解也称为系统的自由响应，此时系统没有输入信号，完全由系统的初始状态所决定。特解
8、也称为强迫响应，由输入信号决定，而此时不考虑系统的初始状态。其完全解称为全响应。,5.1.3 用Z变换求解差分方程,线性时不变离散系统差分方程的一般形式为,设x(n)为因果信号，对上式两边取Z变换，并利用移位性质，得,解出Y(z)后再取逆变换可得输出序列y(n)。,例5-6 已知差分方程,，,，求响应y(n)。,解 对方程两边分别取Z变换，并利用移位性质，有,用部分分式法得,取逆变换，得,5.2 卷积和,5.2.1 零输入响应和零状态响应,线性时不变离散系统的完全响应还可以分为零输入响应和零状态响应。,（1）零输入响应,若其特征根均为单根，则其零输入响应,式中Czi为待定系数，用初始状态确定。
9、,（2）零状态响应,所谓零输入响应是指激励为零时仅由初始状态所引起的响应。,零状态响应是指初始状态为零时仅由输入信号所引起的响应。,若其特征根为单根，则零状态响应,式中Czs为待定系数。,y(n)与各种响应之间的关系是,式中,（3）全响应,线性时不变系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和，即,例5-7 用Z变换求例5-6的零输入响应、零状态响应和全响应。,解 输入为零时，差分方程右端为零，初始值,。对方程两边取Z变换后有,显然，零输入响应为,对零状态响应，初始状态为零，。对方程两边取Z变换后有,把它用部分分式展开，得,则零状态响应为,将零输入响应与零状态响应相加，全响应为,5.2.2 离散系
10、统的单位脉冲响应,由(n)产生的系统零状态响应定义为单位脉冲响应（也可以称为单位样值响应），记为h(n)。,h(n)=T(n),h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。,意义：由于任意序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和表示，根据线性系统的可加性，只要求得系统的单位脉冲响应，则多个单位脉冲序列作用于线性系统所引起的响应等于各个单位脉冲序列所引起的响应（单位脉冲响应）的线性组合。,由差分方程计算系统的单位脉冲响应的方法：递推法、经典法、z变换法,例5-8 已知某系统的差分方程,，分别用递推法、经典法和z变换法求单位脉冲响应h(n)。,解：,1、递推法,递推公式为,
11、2、经典法,先用递推公式求得,显然，差分方程的特征根,则n1时的单位脉冲响应为,根据h(0)=1可确定出C=1，故,3、Z变换法,两边取Z变换，得,取Z逆变换得,5.2.3 卷积和,由于任一离散时间信号可以表示为移位单位样值序列的加权和，即,线性时不变系统输入与输出之间的关系,系统的输出为,由系统的线性性质可得,可加性,齐次性,由系统的时不变性质得,上式表示线性时不变系统对任意输入信号的响应可表示为系统的单位脉冲响应与输入信号的“卷积和”（线性卷积），可以用运算符号“*”表示成下式:,卷积符合交换律、分配律和结合律，即,任一信号x(n)与延迟n0时间的单位样值信号(n-n0)的卷积为,5.2.
12、4 用卷积和计算系统的零状态响应,线性时不变系统的零状态响应,卷积和的运算有很多方法，基本上可分为解析法、列表法、图解法、竖式法和变换域法等。本节将举例对卷积和的运算进行说明，重点介绍解析法、图解法和竖式法和z域法。,一、解析法,根据式（5-28）的卷积定义，利用离散序列的卷积性质，通过级数求和公式，可以方便地求出结果。,例5-10 已知激励信号序列,，单位脉冲响应,，求零状态响应,。,解 由卷积和定义，考虑单位阶跃序列(n)特性，有,为了计算方便，将常用序列卷积和结果列于表5-2，供大家参考。,由无穷等比级数求和公式，可得,二、图解法：与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积和运算也包括信号的
13、反转、移位、相乘、求和等四个基本步骤。,例5-11 已知离散信号和单位脉冲响应,求卷积和,三、竖式法,对于复杂的序列图解法和解析法均难以应用，用计算机来实现很简单。也有人研究一些简便计算方法，例如：“对位相乘求和”法计算卷积和就是其中一种，非常简便。,“对位相乘求和”法计算卷积和的方法为：将两序列样值以各自n的最高值按右端对齐，然后把逐个样值对应相乘但不要进位，最后把同一列上的乘积值按对位求和即可得到y(n),例5-12 在例题5-11中将两序列样值以各自n的最低位按左端对齐，如下排列：,4 3 2 1,1 3 2,4 3 2 1 12 9 6 3+8 6 4 2,4 15 19 13 7 2
14、,四、z域法,利用Z变换的时域卷积性质，即,可以把在时域的卷积问题转化为z域的相乘问题。,例5-14 系统的单位脉冲响应为,，求系统在激励,解：单位脉冲响应的Z变换为,作用下的零状态响应。,激励信号的Z变换为,利用卷积定理得,取逆变换,5.3 离散系统的系统函数,5.3.1 系统函数的定义,1、系统函数的引出,卷积,卷积运算量比较大，不过由于卷积运算在z域变为相乘关系，则有,把上式中的H(z)定义为系统函数，它是单位脉冲响应h(n)的z变换，或是z域零状态响应与激励的比值，即,当系统的差分方程给出时，设为,在零状态条件下，对上式两边取Z变换，系统函数为,2、线性时不变离散系统的三种描述方式,可
15、以用以下三种方式描述线性时不变离散系统：差分方程，脉冲响应，系统函数，它们之间可以相互转换。,例5-15 已知,，求系统函数和差分方程。,解 对h(n)取Z变换，传递函数为,给分子和分母同乘以,，上式又可写成,交叉相乘得,则差分方程为,三、系统的z域框图,在实际应用中，往往根据系统的技术指标要求，首先确定出系统函数H(z)，再选用一种框图实现H(z)，最后，根据框图编写数据处理的算法和程序。z域框图与时域框图只在延迟环节的表示上有区别，如图5-6所示。为了便于比较，把图5-1重画在图5-6中。,例5-16 已知系统函数,试给出实现H(z)的框图及数据处理算法。,解 根据给定的系统函数，Y(z)
16、可表示为,与该式对应的一种系统的z域框图如图5-7所示。,设两个延迟单元的输出分别为v(n)和w(n)，则有,在编写数据处理程序时，对每一给定的输入x(n)，按以下算法重复计算：,5.3.2 系统的稳定性和因果性,1、系统稳定性的时域判别法,如果对任一有界输入x(n)只能产生有界输出y(n)，则称系统是稳定的。,证明：根据卷积公式,当,时（其中M为实常数），若有,则系统稳定。,因此，系统稳定的充分条件（也可证明是必要条件）为,即离散时间系统稳定的充分必要条件是脉冲响应h(n)绝对可和。,对因果系统，上式求和从n=0开始，即,2、系统稳定性的z域判别法,根据Z变换的定义,如果系统是稳定的，上式为
17、有限值，则H(z)在,即在单位圆上即处必收敛。,因此，离散线性时不变系统是稳定系统的充要条件是：系统函数的收敛域必须包含单位圆。对单边Z变换，H(z)的所有极点在收敛域的内圆以内，因而因果稳定系统时H(z)的所有极点必须位于单位圆内，如图5-6所示。,3、系统函数的零极点与时域响应的关系,如果从系统函数的极点与时域响应之间的对应关系考虑，对单极点p，其z域和时域响应分量分别为,如果极点p是二阶的，则有,当|p|1时，式（5-35）和式（5-36）响应分量的总趋势随n增大而衰减，,满足绝对可和条件。,当|p|1时，响应分量的总趋势随n增大而增大，,，不满足绝对可和条件。,当|p|=1时，也不满足
18、绝对可和条件。,例5-16 系统的差分方程为,（2）分析此因果系统H(z)的稳定性；,（1）求系统函数H(z)；,（3）求单位脉冲响应h(n)。,解（1）对差分方程两边取Z变换，得,（2）H(z)的两个极点都在单位圆内，因此系统是稳定的。,（3）将H(z)/z展成部分分式，得,取逆变换，得单位脉冲响应,4、系统函数的收敛域与系统的因果性,对于线性时不变系统，如果它是因果系统，则要求它的单位脉冲响应满足条件,系统函数的所有极点都必须在单位圆内，这样的系统才能同时满足稳定性与因果性的要求。,这实际上是要求系统的单位脉冲响应h(n)为因果信号。由于系统函数H(z)是h(n)的Z变换，所以，根据Z变换
19、的性质，h(n)是否为因果信号，与H(z)收敛域的情况有直接的关系，即离散线性时不变系统是因果系统的充要条件是：系统函数的ROC是某个圆外部的区域，且包括无穷远点。,5.3.3 系统的频率特性,1、离散系统的频率响应,离散时间系统在指数序列,输入下的响应。,设系统是因果的，单位脉冲响应为h(n)，根据卷积公式，响应,上式中括号中的项为H(z)在z=z0处的值，设H(z0)存在，于是,其中,该式说明，系统在指数序列输入条件下，响应也为指数序列，其权值为,它一般为复数，可用幅度和相位表示为,则,令z=ej，即当z在单位圆02上变化时，可得,其中,一般为复函数，H(ej)随频率的变化称为离散时间系统
20、的频率响应，它给出了系统的频域描述。由式（5-44）可知，H(ej)正好是该系统单位样值响应的离散时间傅里叶变换，同时它又是该系统的系统函数取z在单位圆上变化的结果。,|H(ej)|称为幅频特性，而()称为相频特性。,2、系统幅频特性与选频滤波器,由于在z域，Y(z)=X(z)H(z)，当z=ej时，可以得到系统在不同频率信号作用下响应的幅度为,当|H(ej)|在某些频率范围内幅值较大时，这个频率范围的输入信号就会被传递到输出，这样的频率范围就叫做频率通带；当|H(ej)|在某些频率范围内幅值很小时，这个频率范围的输入信号就不能被传递到输出，即|Y(ej)|=0，这样的频率范围就叫做频率阻带。
21、所以离散系统像连续系统一样，也具有对不同频率的选择能力。我们常把这种离散系统称作选频数字滤波器，简称为数字滤波器。根据数字滤波器通带与阻带在频率轴上占据的相对位置，它也分为低通、高通、带通、全通等不同类型。关于数字滤波器的详细内容将在第7章介绍。,例5-17 描述某一离散时间系统的系统函数为：,，求系统的频率响性。,解：频率响应函数为,其幅度函数为：,其相位函数为：,用MATLAB绘制的频率特性如图5-9所示。从图中的幅频特性可以看出，当输入信号为低频时，频率响应的幅度很小，系统阻止了低频信号的通过。所以此系统是一高通滤波器。,例5-18 若系统函数为,解：频率响应函数为,幅度函数和相位函数分别为,，求频率特性。,用MATLAB绘制的频率特性如图5-10所示。从图中的幅频特性可以看出，当输入信号为高频时，频率响应的幅度很小，系统阻止了高频信号的通过。所以此系统是一低通滤波器。,
