《信号处理中常用的数学变换.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号处理中常用的数学变换.ppt（70页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、机械信号处理与应用Mechanical Signal Processing(MSP),教师：郝旺身Tel:67781792,第2章信号处理中常用的数学变换,2.1傅里叶变换2.2拉普拉斯变换2.3Z变换2.4希尔伯特变换,2.1傅里叶变换,2.1.1傅里叶级数2.1.2傅里叶积分2.1.3傅里叶变换2.1.4卷积与相关函数,1.傅立叶级数,2.1.1傅里叶级数,傅立叶系数 是第 次谐波的系数，所以 在频率坐标轴上是离散的，间隔是。,2.傅立叶变换：,FT,FS：,若 是非周期信号，可以认为：,由,有,1.对应连续非周期 对应连续周期；2.连续 离散3.密度 强度,请深刻理解FS和FT的定义，及
2、它们的区别与联系！,FT存在的必要条件：,说法1：,说法2：,因为,因为,所以，如果 是绝对可积的，那么它一定是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，,是平方可积的，但不是绝对可积的。所以，取 更稳妥（即更严格）。,周期信号：可以实现傅里叶级数的分解，属于功率信号；非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号；,在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。,周期信号,FS,例：令 求其傅立叶变换。,因为：所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：,现利用 函数 将 作傅立叶变换：,线谱,2.1.2傅里叶积分,表达式是傅里叶积分存在的条件是x（t）分段连续，且
3、在区间内绝对可积。,2.1.3傅里叶变换,DTFT和Z变换的关系！,（一）定义,1.是离散的，所以变换需要求和；,2.是 的连续函数；,3.是 的周期函数，周期为；,4.存在的条件是 空间,（二）特点,可以看作是将 在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是；,5.DTFT,7.由 可以得到 的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频频分析；,6.是 在单位圆上取值时的 变换：,8.反变换,四种傅立叶变换:,时域,频域,1.连续非周期 连续非周期()FT2.连续周期 离散非周期()FS3.离散非周期 连续周期（）DTFT4.离散周期 离散周期 DFS,？,切实理解四种FT之间的对应关系,四种傅
4、立叶变换,1.线性,2.移位,3.奇偶、虚实性质,（三）性质,如果 是实信号，即,4.如果,则：,时域卷积定理 频域卷积定理！,2.1.4卷积与相关函数,互相关：,自相关：,自相关函数的 DTFT 始终是 的实函数！,2.2拉普拉斯变换,2.2.1拉普拉斯变换的概念2.2.2拉普拉斯变换的性质2.2.3拉普拉斯变换的应用,2.3Z变换,2.3.1离散时间序列与Z变换2.3.2Z变换的性质2.3.3Z逆变换,时域：,复频域：,2.3.1离散时间序列与Z变换,Laplace 变换,所以,Fourier 变换,频域：,所以，傅里叶变换是 仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。,因为,对离散信号，可否做拉普拉
5、斯变换,？,令：,则：,关系？,离散时间序列的傅里叶变换，DTFT,频率轴定标,例1：求序列 x(n)=an u(n)的Z变换。,解：,为保证收敛，则,收敛域,Z平面,若 a=1,则,例2：,ROC:,注意：,Z变换的定义,例3：求序列 x(n)=(1/3)|n|的Z变换。,解：,|z|1/3时，第二项收敛于，对应于右边序列。,|z|3时，第一项收敛于，对应于左边序列。,1.,ROC：,右边有限长序列,3.,4.,5.,ROC:,右边无限长序列,ROC：,左边无限长序列,ROC:,双边无限长序列,思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？,Z变换的收敛域,Z变换的收敛域,对于任意给定的序列，
6、使其Z变换收敛的所有z值的集合称为 的收敛域。,其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：,根据级数收敛的阿贝尔定理,对于不同的序列，可求得相应的收敛域。,Z变换的收敛域,收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大，Z变换不收敛。有限长序列的收敛域为整个Z平面,可能除开z=0,z=。右边有限长序列：X(z)=x(1)z-1+x(2)z2+|z|0左边有限长序列：X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+|z|也位于收敛域内。,如果是左边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么，0|z|的全部 z 值也位于收敛域内。,所以，收敛域在圆内。,如果是双边序列，收敛域由圆环组成。,Z变换的收敛域,逆
7、Z变换,当 时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为：,当n0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1，因此有:,线性性,2.3.2Z变换的性质,序列的移位,序列乘指数序列（尺度性）,返回,返回,Z变换的性质与定理,序列的反褶,序列的共轭,Z域微分性,返回,Z变换的性质与定理,卷积定理,返回,Z变换的性质与定理,序列相乘（复卷积定理）,Parseval定理,返回,Z变换的性质与定理,逆Z变换,2.3.3Z逆变换,从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各
8、项的系数。,逆Z变换的三种基本方法 围线积分法 部分分式展开法 长除法（幂级数展开法）,围线积分法,式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。,逆Z变换,是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点,逆Z变换,在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题得以简化。例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。,如果 为单阶极点，按留数定理:,如果 为 阶极点，则其留数为:,解:,例1:,逆Z变换,逆Z变换,例2：,解：,|z|=|
9、a|,围线C,所给收敛域 为环域 原序列 必为双边序列,|z|=|1/a|,在收敛域内作包围原定的围线C,部分分式展开法,逆Z变换,1、单极点,若序列为因果序列，且NM，当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：,则其逆Z变换为：,逆Z变换,说明：1、X(z)较简单时可按算术展开求各系数Ak(k=0,1,N)。2、X(z)较复杂时可按留数定理求各系数Ak(k=0,1,N)，此时为了方便通常利用X(z)/z的形式求取：,逆Z变换,2、高阶极点,当上述有理分式中的MN且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式修改为：,式中Bk(k=0,1,N)
10、为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为：,逆Z变换,例：已知，求X(z)的原序列。,解：,由求系数Ak的公式求得,因为X(z)的收敛域为，为因果序列，从而求得,将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式,逆Z变换,长除法（幂级数展开法）,若把X(z)展开成z-1的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列 x(n)的值。,典型例题,由收敛域知，这是一右边序列。用长除法将其展开成z的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列。,例:,解：,即：,逆Z变换,逆Z变换,例:,收敛域 为环域，x(n)必为双边序列。,解：,对右边序列,右边序列为:,对左边序列,左边序列为:,综上可得:,逆Z变换,例:,求 的逆Z变换。,由收敛域 知原序列应为因果序列。,的幂级数展开式为,解：,2.4希尔伯特变换,2.4.1希尔伯特变换的定义2.4.2希尔伯特变换的性质2.4.3希尔伯特变换表,2.4.1希尔伯特变换的定义,90度移相器。,2.4.2希尔伯特变换的性质,1.线性性质2.移位性质3.两重希尔伯特变换4.希尔伯特逆变换5.奇偶特性6.相似性质7.能量守恒8.正交性质9.调制性质10.卷积性质,2.4.3希尔伯特变换表,
