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1、张量分析及连续介质力学,2.5 几种特殊的二阶张量,2.5.1 零二阶张量O,2.5.2 度量张量G,2.5.3 二阶张量的幂,2.5.3.1 二阶张量的正整数次幂,2.5.3.2 二阶张量的零次幂,2.5.3.3 二阶张量的负正整数次幂,2.5.4 正张量、非负张量及其方根、对数,定义 正张量N O满足uNu=N:uu0 对于任意u0 非负张量N O满足uNu=N:uu0 对于任意u0,正张量、非负张量都是对称二阶张量。,对称二阶张量必定可在一组正交标准化基中化为对角标准形,N 为正张量的必要且充分条件是 Ni 0,N 为非负张量的必要且充分条件是 Ni0,对于非负张量N O，存在唯一的非负
2、张量M O，使,定义M 为N 的方根，记作,可证：M与N具有相同的主方向。,且其主分量为,若N O，p为非负整数，则存在唯一的S=N 1/pO,正张量N O 的对数lnN:,可证：利用任意一个非对称二阶张量T 可构造两个非负张量,如果T 是正则的，则X，Y 是正张量：,一般来说，X，Y 是两个不同的张量。可证：它们具有相同的主分量，只是主轴方向不同而已。,2.5.5 二阶张量的值,满足范数公理的三个条件：非负性、对称性与三角不等式，可作为二阶张量空间的一种范数。,2.5.6 反对称二阶张量,2.5.6.1 定义,满足 T 的张量称为反对称张量。在任一笛卡儿坐标系中,2.5.6.2 反对称二阶张
3、量的主不变量,2.5.6.2 反对称二阶张量的标准形,的特征方程,特征方程的根,的轴或零向e3满足,设与l，对应的特征矢量（复数基）为g1，g2,在g1，g2，e3中，可化为对角型标准形,在垂直于e3的平面内，任选e1 e2。在e1，e2，e3 内，可化为实数形式的标准形：,2.5.6.4 反对称二阶张量的反偶矢量,定义 矢量 与 之间满足,则称 为反对称二阶张量 的反偶矢量。而称与 互为反偶。,易证：,（包含了 的全部信息）,2.5.6.5 反对称二阶张量所对应的线性变换,对于空间任一矢量 u u1e1+u2e2+u3e3，,当1时，代表了小转动，是小转动矢量。,2.5.7 正交张量,2.5
4、.7.1 定义,一个正则二阶张量，其逆与其转置张量相等，则称该正则二阶张量为正交张量，用Q 表示。即,在一般的斜坐标系中，正交张量的矩阵不是正交矩阵。只有在笛卡儿坐标系中，才有,2.5.7.2 正交变换的“保内积”性质,定理 任意矢量u，v 用同一个正交张量进行映射后，其内积不变，即,逆定理 若一个二阶张量对于任意两个矢量u，v 进行线性变换后，仍保持此二矢量的内积不变，则此二阶张量必定是正交张量Q。,几何意义：正交变换只能将空间一组基矢量进行刚性旋转（可能加镜面反射），不能改变它们的长度与夹角。,2.5.7.3 正交张量的并矢表达式,如果采用正交标准化基 ei，则,2.5.7.4 正交张量的标准形,R 使 gi 只产生整体的刚性转动，右手系的 gi 仍变为右手系；R 使 gi 不仅有刚性转动，还进行了一次镜面反射。,设Q 的特征方程的特征根分别为，其中必有一个模等于1的实根。于是可设,所对应的特征方向上的单位矢量e3，称为正交张量的轴。,一般可设,复数形式的标准形,实数形式的标准形,在垂直于e3的平面内任意一对正交标准化基，都可作为对应的特征矢量。在这组正交标准化基中,正交张量对其特征矢量所做的线性变换为,
