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1、1,4.6 一点的应力和应变,4.7 变形体静力学分析,4.1 变形固体的力学分析方法,4.2 基本假设,4.3 内力、截面法,4.4 杆件的基本变形,4.5 杆的轴向拉伸和压缩,第四章 变形体静力学基础,返回主目录,4.8 应力集中的概念,2,前一章，将物体视为刚体，讨论其平衡。事实上，总有变形发生，还可能破坏。本章讨论的研究对象是变形体。属于固体力学的范畴。不再接受刚体假设。,以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法,包括下述三个方面的研究：1)力和平衡条件的研究。2)变形几何协调条件的研究。3)力与变形之关系的研究。先以一个例子说明方法。,第四章 变形体静力学基础,4.1 变形固体的力学
2、分析方法,返回主目录,3,例1 长2L的木板由两个弹性常数为k、自由长度为h的拉压弹簧支承。若有一人从板中央向一端缓慢行走，试求板与地面刚刚接触时，人所走过的距离x。,解：设人重为W，板重不计讨论板与地面刚接触的临界状态，板受力如图。,1)力的平衡条件：由平衡方程有：Fy=FB-FA-W=0 MA(F)=2aFB-(x+a)W=0,2个平衡方程，3个未知量：x、FA、FB，不可解。需考虑变形。板可作刚体处理，只考虑弹簧的变形。,4,弹簧A、B的变形为 A=hA-h(受拉伸长)-(4)及 B=h-hB(受压缩短)-(5),2)变形几何协调条件：刚性板保持为直板，二弹簧变形后应满足的几何条件是：,
3、3)力与变形间的物理关系：对于弹簧，力与变形间的关系为：FA=kA-(6)及 FB=kB-(7),hB/hA=(L-a)/(L+a)(x0)-(3),5,综合考虑平衡条件、变形几何关系、物理关系后，得到7个方程，可求出FA、FB、A、B、hA、hB、x 等全部未知量。,将x代入平衡方程，即可求得FA、FB。,6,各有关参数的影响：弹簧自由长度h越大、弹簧刚度k越大、人的体重W越小，可以走过的距离x越大。x之值与a2成正比，与板长L成反比。,结果讨论与分析一：,正确性条件：x0 否则变形几何条件(3)不适用 hW/2k,特例：当L=(2hk/W-1)a 时，x=a，即在某特定板长下，人走到B处板
4、即触地。,7,-（b）,结果讨论与分析二：,xa时，A0，弹簧A变形如图，是伸长。,B0。弹簧B变形与假设一致，受压。且x，B。,xa时，A0，弹簧A受压；FA指向与图中相反。,特例：x=a时，A=0，FA=0，人重由弹簧B承担。,研究性思维：问题和结果的物理意义、几何意义、正确性条件、各因素对结果的影响趋势等。,8,研究重点是变形体的内力、变形及力与变形之关系。,研究变形体力学问题的主线是：,力的平衡,返回主目录,9,固体力学的研究对象是可变形固体。变形与材料有关。为研究方便，采用下述假设：,4.2 基本假设,返回主目录,10,3)小变形假设,相对于其原有尺寸而言，变形后尺寸改变的影响可以忽
5、略不计。在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算而不引入大的误差。,上述假设，建立了一个最简单的可变形固体的理想化模型。随着研究的深入，再逐步放松上述假设的限制。如在后续课程中逐步讨论各向异性问题，大变形问题，含缺陷或裂隙等不连续介质的问题等等。,返回主目录,11,物体内部某一部分与 相邻部分间的相互作用力。必须截开物体，内力才能显示。,内力分布在截面上。向截面形心简化，内力一般可表示为6个，由平衡方程确定。,处于平衡状态的物体，其任一部分也必然处于平衡状态。,1.内力:,沿C截面将物体截开，A部分在外力作用下能保持平衡，是因为受到B部分的约束。B限制了A部分物体在空间中相对于 B的任何运动(截面
6、有3个反力、3个反力偶)。,B,A,4.3 内力、截面法,返回主目录,12,若外力在同一平面内，截面内力只有3个分量，即:,轴力 FN 作用于截面法向。剪力 FS 作用于截面切向。弯矩 M 使物体发生弯曲。,若外力在轴线上,内力只有轴力。,13,2.截面法,无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同的截面内力。因为，两部分上作用的内力互为作用力与反作用力。适当的符号规定可保证其一致性。,用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截面上内力的方法。截面法求解内力的步骤为：,求约束反力,注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前，力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。,14,例2 求图中1、
7、2、3截面内力。,解：1）求约束反力：由整体有 FBx=F/2；FAy=F；FAx=-F/2,截面2：FN2=FACcos45=F；FS2=FACsin45=F M2=FACcos45x=Fx,截面3：FN3=0；FS3=-FBx-FCD=F/2；M3=-FBx(a+y)-FCDy=F(y-a)/2,15,例3 作图示拉压杆的内力图。,2）求各截面内力(轴力)。截面法、平衡方程,3）画内力图。,解：1）求约束反力。FA=8+2-5=5 kN,16,例4 截面积为A的等直杆，密度为，求 杆在自重作用下的内力。,解：考虑任一距O点为x的横截面 上的内力，受力如图。重力为W=gAx,由平衡方程得：F
8、N=W=gAx Ax,绘出轴力图，可见：A截面处内力F N(=gAx AL)最大。,17,2.柱截面内力？,1.截面1 内力？,3.作内力图。,问 题 讨 论,返回主目录,18,杆件：某一方向尺寸远大于其它 方向尺寸的构件。直杆：杆件的轴线为直线。,最一般情况：,截面内力有6个分量。,轴向拉压内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。扭转 内力为扭矩。如各种传动轴等。(轴)弯曲 内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁),基本变形,4.4 杆件的基本变形,返回主目录,19,A3A1=A2；L1L2=L3；,得到最简单的物理关系胡克定律：=E注意：-关系与试件几何（L、A）无关。,先考查杆承受轴向拉
9、伸时力与变形之关系。,4.5 杆的轴向拉伸和压缩,返回主目录,20,是材料的一种应力应变关系模型，称为线性弹性应力应变（物理）关系模型。,轴向拉压杆的应力、应变和变形L可表达为：,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,=E,21,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,FN、L、E、A改变，则须分段计算。,轴向拉压杆变形分析汇总：,求轴力FN？,22,2)求各段应力：AB=FNAB/A1=40103N/(32010-6)m2=125106Pa=125MPaBC=FNBC/A2=40103/(80010-6)=50MPa；CD=FNCD/A2=48103/(80010-6)=60M
10、Pa,解：1)求内力(轴力)，,例4.7 杆AB段为钢制，横截面积A1=320mm2，BD段 为铜，A2=800mm2，E钢=210GPa；E铜=100GPa；l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸长量AD。,画轴力图。,23,4)杆的总伸长为：lAD=lAB+lBC+lCD=0.68mm,2)求各段应变：eAB=sAB/E钢=125/(210103)0.610-3,3)求各段伸长：注意:l=el=sl/E=FNl/AE lAB=eABlAB=0.610-3400mm=0.24mm,lBC=eBClBC=0.2mm；lCD=eCDlCD=0.24mm,eBC=sBC/E铜=50/(1001
11、03)=0.510-3eCD=sCD/E铜=0.610-3,24,讨论：杆 受力如图。BC段截面积为A，AB段截面积为2A，材料弹性模量为E。欲使截面D位移为零，F2应为多大？,解：画轴力图。,有：D=lAD=lAB+lBD=FNABl/E(2A)+FNBDl/EA,注意：固定端A处位移为零。,25,请认真思考、讨论思考题。习题:4-1(a)、(d)、(f)4-2(b);4-5;4-7。,返回主目录,26,前节回顾：,研究变形体力学问题的主线是：,求约束反力,返回主目录,27,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,FN、L、E、A改变，则须分段计算。,28,一、应力 内力连续分布在截面
12、上，截面法确定的是内力的合力。,T是矢量，法向分量 称正应力；切向分量 称切应力。,29,注意：一般情况下，内力非均匀分布，截面各点应力不同。,2)轴向拉压杆横截面上的应力：,截面上只有轴力，故应力为正应力。变形沿轴向是均匀的，故在横截面上均匀分布，,因为 s=const.故有：,30,3)一点的应力状态：,单向拉压杆横截面上只有正应力。故 A点的应力状态可用由横截面、水平面截取的微小单元体上的应力描述。是单向应力状态。,一点的应力状态用围绕该点截取的微小单元体上的应力来描述。单元体尺寸微小，各面上的应力可认为是均匀的。,由定义有：故可知，一点的应力与过该点之截面的取向有关。,31,设s已知，
13、A点在法向与轴线夹角之截面上应力为、，,斜截面上的应力：,Fx=(dx/sin)1cos,注意式中各项是力的投影分量。,由单位厚度微元力的平衡条件可得：,+(dx/sin)1sin-(dx/tan)1=0,Fy=(dx/sin)1sin-(dx/sin)1cos=0,cosa,32,=0时，=，=0，横截面上正应力最大；,求得A点在与轴线夹角为之截面上的应力为:=(1+cos2)/2；=sin2/2,如：铸铁试样受压时，=45斜截面上的应力和为：=-/2;=-/2 铸铁抗压能力远大于抗剪或抗拉能力，故实验时先发生与轴线大约成45，剪切破坏。,可见：拉压杆斜截面上有正应力和切应力。,=45时，=
14、/2，=/2，45斜截面上切应力最大，且max=/2。,33,对于单向拉、压杆，任一点 A的应力状态为：,只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力，即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力。,结论：1)应力是矢量。2)一点的应力与过该点的截面取向有关。3)可以用微小单元体各面上的应力描述一 点的应力状态。,34,变形：物体受力后几何形状或尺寸的改变。用应变表示，如拉压杆（应变=l/l0），与几何尺寸无关。,一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而定义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变。,线应变、切应变 分别与s、t 的作用相对应。,二、应变,返回主目录,35,再论利用力的平衡、变形几何协调及
15、力与变形间的关系，分析变形体静力学问题的基本方法。,例4.9 图中BD杆直径d=25mm，CD杆为3080mm矩 形截面，弹性模量E=200GPa，求D点的位移。,4.7 变形体静力学分析,返回主目录,36,由力与变形间的物理关系知各杆变形为：lBD=FNBDlBD/E(d2/4)=1.34410-3 m lCD=FNCDlCD/EACD=-0.137510-3 m,故变形后D点的位移为：水平位移：u=DD2=lCD=0.137 mm()垂直位移：v=D2H+HD=DD1/cosa+DD2=lBD+lCD=2.038 mm(),3)变形几何协调条件：(求位移),变形后D点应移至以B、C为圆心，
16、以杆变形后的长度为半径的二圆弧交点D处。变形量与原尺寸相比很小，用切线代替圆弧。几何关系如放大图。,37,静定问题,2个物体，6个平衡方程3处铰链，6个约束力问题是静定的。,变形体力学静定问题的求解方法为：,38,求出内力后，应力、变形和位移显然不难求得。,39,静不定结构可减小构件内力，增加刚度，减小变形。,若去掉杆1，成为静定结构，则：F2=3F/2；FAy=-F/2。,3个物体，9个平衡方程；5处铰链，10个约束反力问题是一次静不定的。,静不定问题，反力、内力、应力均与材料有关。,40,解：温度升高时，杆BC要伸长。两 端约束限制伸长，引起约束反力。约束反力作用的结果是使杆在轴向受压缩短
17、，故两端约束力如图。,无外力作用时，温度变化在静不定构件内引起的应力。,轴力FN=F，故杆的缩短为：LR=FL/EA,温度应力,41,约束使杆长不变，必有：LT=LR,3)变形几何协调条件：,即：TL=FL/EA,故得到二端约束反力为：F=TEA 杆内的应力（压应力）为：=F/A=TE,42,由于尺寸误差而强迫装配时，在结构内 引入的应力。,解：强迫安装时，杆2受拉伸长，杆1、3受压缩短。,装配应力,43,3)力与变形的关系:,1=F1L/EA；2=F2L/EA 即有：F1L/EA+F2L/EA=注意 F2=2F1 解得：F1=EA/3L(压力)F2=2EA/3L(拉力),各杆应力为：1=F1
18、/A=E/3L=0.510-3200109/31=33.3106 Pa=33.3 MPa(压应力)2=FN2/A=2E/3L=66.7MPa(拉应力),44,静定和静不定问题解题方法的同异：,基本方程都是平衡方程、物理方程和几何方程。,返回主目录,45,沿aa上各点测得的应变如图。非均匀分布，孔边=max。由胡克定律,应力分布也非均匀，孔边最大应力为 max=Ktave。(max1,称为弹性应力集中因数。,4.8 应力集中的概念,返回主目录,46,应力集中：max=Ktave 构件几何形状改变的局部出现应力增大的现象。,应力集中发生在截面几何发生突然改变处，如孔、缺口、台阶等处。应力集中因数，可由应力集中手册或图表查得。,47,讨论1：图示结构中，AB为刚性梁，二杆E、A相同。变形后欲使AB保持水平，求F力作用位置x。,由(3)、(4)式得：F1=2F2-(5)代入(1)、(2)式得：F1=2F/3;F2=F/3;x=L/3.,解：,48,讨论2:截面积A=200 mm2的杆，距右端刚性支承有间隙=0.025mm，E=200GPa。求受力F=20kN后二端的支承反力。,2)力的平衡：FA+FB=F-(1),49,讨论3:求图中各杆内力。,变形协调条件,L1,L3,LAB,L1=L3=LABcos45,50,再 见,习题：4-12;4-13；4-14(b),返回主目录,
