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1、,第二节 向量与向量组 的线性组合,二、向量组的线性组合,一、向量及其线性运算,三、小结、思考题,一、向量及其线性运算,n维向量:,称为列向量,定义3.1,1.向量的定义,写成一列的 n 维向量,称为列向量,也就是列矩阵,通常用a,b,等表示,如:,例 若,则1,2,3,4都是列向量.,若,则1T,2T 都是行向量.,1.行向量和列向量总被看作是不同的向量;2.行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算;3.当没有明确说明是行向量还是列向量时,都当作 列向量.,写成一行的 n 维向量,称为行向量,也就是行矩阵,通常用aT,bT,T,T 等表示.如，,零向量：,注：维数不同的零向量是不相同的。,负
2、向量：,向量相等：,2.向量的线性运算,定义3.2,即,（1）向量的加法,（2）向量的数乘,定义3.3,减法,向量的线性运算,向量加法及向量数乘两种运算，统称为向量的线性运算.,3.n维向量空间,定义3.4,所有,维实向量的集合记为,，即,，我们称,它是指在,是n维向量空间，,运算，并且,中定义了加法及数乘,并且这两种运算满足一下8条规律：,4.向量组,若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.,例 由,构成的向量组1,2,3,4为列向量组.,由,构成的向量组1T,2T为行向量组.,（1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成一个矩阵.,n个m维列向量所组成的列向量组
3、,构成一个 mn 矩阵,m个n维行向量所组成的向量组1T,2T,mT 构成一个mn矩阵,（2）任何一个矩阵都可以构成一个向量组.,例,一个mn矩阵A,其全体列向量构成一个含有n个m维列向量的向量组,称其为矩阵A的列向量组.,其全体行向量构成一个含有 m个n维行向量的向量组,称其为矩阵A的行向量组.,（3）线性方程组的向量表示.,因此线性方程组的矩阵形式,利用矩阵乘法，上述方程组可表示为,利用分块矩阵及其乘法，得,将上述矩阵进行相应分块，,以后要熟悉线性方程组的这两种表示形式：,从而得到线性方程组的向量表示为,矩阵表示,向量表示,设某市有三家肯得基店，各店出售的汉堡、炸薯条、可乐的价格为10、5
4、、2.5（元），且各店一天的销售量分别如下表，计算各店一天的总销售额（元）。,例,二、向量组的线性组合,定义3.5 给定向量组A:a1,a2,am和向量b,如果存在一组数1,2,m,使b=1a1+2a2+mam则称向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.,由定义可知：,若向量b能由向量组A线性表示，则,即线性方程组,有解,定理3.3 向量b能由向量组A:a1,a2,am线性表示 矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,am,b)的秩.,注：判定b是否能由 a1,a2,am线性表示的方法：,对B进行初等行变换，使其化成行阶梯形矩阵，若R(A)=R(B)，则
5、b可以由a1,a2,am线性表示，继续对B进行初等行变换使其化成行最简形，得到方程组Ax=b的解x=(1,2,m)T,则b用a1,a2,am的表示式为,验证,例1,解法一,则,利用矩阵的初等变换方法，求解线性方程组,解法二,例2,证明,即,例3,解,例4,解,例5,解,设,例6,证明,证明向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示，并求出表示式。,得表示式,说明：,此题中b用A线性表示的表示式不唯一.,问：什么情况下表示式唯一？,下节给出结论.,若向量组B中每一向量都能由向量组A线性表示，即,则称向量组B能由向量组A线性表示.,定义,向量组 A 能由向量组 B 线性表示,向量组 A 和 B 等价
6、,向量组 B 能由向量组 A 线性表示,定义3.6,向量组等价的性质,2.对称性,1.自反性,3.传递性,如何判定一个向量组能否被另一个向量组表示？,如何判定两个向量组等价？,向量的表示方法：行向量与列向量,维向量的概念及运算,三、小结,3一个向量可由向量组线性表示的判定,向量b 能由向量组 A线性表示,线性方程组 Ax=b 有解,5两个向量组等价,4一个向量组可由另一向量组线性表示,向量组 B 能由向量组 A线性表示,矩阵方程AX=B 有解,向量组 A 与向量组 B等价,有关 n维向量空间,叫做 维向量空间,叫做 维向量空间 中的 维超平面,时，维向量没有直观的几何形象,确定飞机的状态，需要以下6个参数：,飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用6维向量,维向量的实际意义,向量,空间,向量在生产实践与科学研究中有广泛应用,思考题,若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用,如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加,答36维的,思考题解答,P159 3.(2)6.(1)(2)7.8.,作业,
