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1、(3)物质波,讨论微观粒子的波动性,各种波的本质不同,但其基本传播规律有许多相同之处。,(1)机械波(机械振动的传播),(2)电磁波（交变电场、磁场的传播）,第15章 机械波,波动,振动在空间的传播过程,（一定运动形态的传播过程）,1,按波面形状,按复杂程度,按持续时间,按波形是否 传播,2,波动,一定的扰动的传播,（一定运动形态的传播过程）,行 波,扰动的传播（行走）,行波,一次扰动（脉冲）的传播,脉冲波,例：抖动绳子,O点:,P点:,脉冲波波函数,3,15.1 弹性体 弹性形变,弹性体若物体在外力的作用下发生形变，而外力撤消后又能恢复原来的大小和形状，则这种变形体就称为弹性体。,正应力：,
2、切应力：,4,15.1.1 线应变与杨氏模量,线应变,胡克定律：实验表明在线形变限度内，正应力和线应变成正比，比例系数称为杨氏模量。,15.1.3 剪切应变与切变模量,15.1.2 体应变与体积模量,体应变,5,切应变,微小形变时，,此时，剪切应变可直接用来表示。,实验表明：在线形变限度内，切应力与切应变成正比：,1、机械波产生的条件,1）波源,2）弹性介质或者弹性媒质,2、横波：,纵波：,共性：波动性,15.2 机械波的产生和传播,6,7,常用的概念：,周期：,波速：,相速：,波面：空间同相位点的集合 波前,球面波：,平面波：,波线：波的传播方向 各向同性介质，波 线与波面垂直,(时间)频率
3、：,波长：,空间频率：,3.波的描述,波数：,8,15.3 一维平面简谐波的波函数,-波函数,设一维平面简谐波以相速 u 沿 x 轴正向传播,t时刻波形如图,O 点的振动位移为,P 点的振动位移为,(op=x),或,15.3.1 表达式,9,定义波数,定义 波矢,例：,“+”会聚球面波,“-”发散球面波,沿负方向传播的波的方程,同一振动状态X处比0处超前t=x/u,10,波函数的物理意义,1、当 x 一定时,例:x=x0=常数,令常数,-x0处简谐振动运动方程,反映了振动的时间周期性,t每增加T，y不变,11,2、当 t=t0=常数,令,t0时刻的波形,-t0 时刻各点振动相 位不同,x每增加
4、，y不变,反映了波的空间周期性,12,当 0=0,1）t0=0,3）,2）,-t=0 时各质点的位移,t0=T,波形恢复原样 而在一个 T 内波形向右移动了,T 这个物理量从时间上反映了波的周期性,13,3、x,t 都变,表示波射线上不同质点在不同时刻的位移-行波,波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况，某时刻波形，初位相及比原点落后的相位，还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播。,由,看出t或x每增加T或,相位重复出现，反映了时间和空间的周期 性。,14,例：,已知：图示为波源（x=0处）振动曲线,且波速u=4m/s,方向沿x轴正向.,求：t=3s时波形曲线（大致画出）,解：,4,
5、8,12,15,16,例2,正向波在t=0时的波形图,波速u=1200m/s,A/2,A,A,0,y,0=/3,M=-/2,t=0 x=0,t=0,M处,求：波函数和波长,解：,由图,如何确定 0?,由初始条件：y0=A/2 v00,0=/3,如何确定?,由M点状态 yM=0 vM0,M=-/2,16,例：沿x轴正向传播的平面简谐波，振幅为A=1.0m，周期T=2.0s，波长=2.0m。t=0时刻，坐标原点处的质点恰好从平衡位置 向y轴正向运动，求:(1)波函数；(2)t=1.0 s时刻的波形图；(3)x=0.5 m 处质点的振动曲线；,解：,(1),波函数,(3),(2),17,例：沿x轴正
6、向传播的平面简谐波，波速 u=20 m/s，已知 A点的振动方程为，(1)以A为坐标原点，写出波方程；(2)以B为原点写出波方程；(3)写出C、D点的振动方程,解：,(1),(2),以B点为原点,(3),与坐标原点的选择无关,18,例.一平面简谐波沿着x轴正向传播，速度为u，已知t时刻的波形曲线如图所示，x1处质元位移为0。试求：,（1）原点O处质元的振动方程；（2）该简谐波的波函数。,解：（1）由图可知t时刻原点处质元振动的相位为-/2，则有：,则振动的初相为：,所以振动方程可以写出：,19,（2）在x轴上任意选取一点P，坐标为x，如图所示，P点振动落后于原点O，,法二,P点振动相位落后于原
7、点O，,20,(a),例 平面简谐波以波速u=0.5m/s沿着x轴负方向传播。在t=2s时的波形如图（a）所示。求原点处质点的振动方程。,分析：由图可得到的信息有振幅，波长，从而可以确定振动方程三要素中的两个。确定t=0时刻原点的振动初相位是关键。,解：由图可知：,振幅：,波长：,所以，可以得到角频率：,图（a）是t=2s时的波形曲线，波沿着x轴负向传播，所以可以采用波形移动法推知t=0s时的曲线，如图（b）。,由图可知，t=0时刻，原点处的质点正位于平衡位置，而且向y轴负向运动，所以，由旋转矢量法可知：,所以原点处质点的振动方程为：,例 一平面简谐波其波长为12m，沿x轴负向传播，如图所示的
8、是x=1.0m处质点的振动曲线。求此波的波函数。,分析：如何根据图中的信息写出x=1.0m处质点的振动方程是关键。如何确定三要素。,解：由图可知：质点的振动振幅（1）A=0.4m。,（2）t=0时刻位于x=1.0m处的质点位移为A/2，并且向oy轴正向运动，由旋转矢量法，可知：,（3）由图还可知，t=5.0s时，质点第一次回到平衡位置。,所以，可以得到：,由此可以写出x=1.0m处的质点的振动方程为：,波长已知，由此可以得到波速为：,波函数的一般形式为：,当x=1.0m时，得到1.0m处质点的振动方程：,当x=1.0m时，得到1.0m处质点的振动方程：,与刚求得的x=1.0m处质点的振动方程,
9、作比较，可得：,所以，此波的波函数为：,15.3.2 平面波波动方程,求一阶偏导数得振动速度函数,再求一次偏导数，得波函数对时间的二阶偏导数，即振动加速度函数,由平面简谐波波函数,波函数对位置x的一阶偏导数为：,该式是平面简谐波（或一维简谐波）的波动方程，而平面简谐波（或一维简谐波）的波函数是该方程的一个特解。,而一维简谐行波函数对x的二阶偏导数为,比较上两式得,15.4 波动方程与波速,取小质元 a b=d x 体积为 d V=s d x 质量为 d m=s d x,设质元被拉伸形变：,受弹性力,利用胡克定律有：,为应力：,或协强,Y为杨氏模量,受弹性力,(应力与应变成正比）,因此,可以看出
10、倔强系数,横波波速,纵波波速,G为剪切模量,三维情况：,式中,称为 拉普拉斯算子,Y为杨氏模量,由波函数,对比上式,可得,建立弦微小振动的波动微分方程,对比,得,15.5 能流密度,设在棒中传播的一维简谐波的表达式,x 处点质元,的动能:,弹性势能,弹性势能,以绳波为例,能量密度,平均能流,平均能流密度-波的强度,球面波波函数的简单推导：,若各处的振动情况不随时间变化，介质无吸收，则由能量守恒定律，单位时间内通过不同波面的能量应相等。,设面积为S1的波面处波的强度为I1，面积为S2的波面处波的强度为I2，则由能量守恒定律，即,对于平面波，,所以,即平面波的振幅,对于球面波，,则由能量守恒定律，
11、即,所以球面波的振幅与传播距离成反比，即,则球面波波函数为,波的吸收,15.6 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射,一、惠更斯原理,惠更斯原理：（1）用来确定波的传播方向，能解释机械波的传播规律；,（2）解释了光（电磁波）的反射、光的折射和光的衍射等现象。成功地说明了光在单轴晶体中的双折射现象；,不足之处：它不能说明和确定衍射强度分布问题，后来由菲涅耳（A.J.Fresnel，1788-1827）加以补充完善而成为惠更斯-菲涅耳原理。,用惠更斯原理确定新的波阵面,波的反射,波的折射,一、波的干涉,相干波,频率相同,振动方向相同,有恒定相位差,s1,s2,p,r1,r2,波源 s1 和 s2 振动
12、方程,P 点振动方程,15.7 波的干涉 驻波,波的叠加原理（独立性原理）,式中,相位,加强,减弱,(n=0 1 2),相位差,二、驻波,两列相干波，振幅相同，传播方向相反（初位相为 0）叠加而成驻波,振幅,驻波方程,称为 波节,波腹位置,1）当,称为 波腹,2）当,讨论：1）相邻波腹（节）之间距离为/2 2）一波节两侧质元具有相反相位 3）两相邻波节间质元具有相同相位 4）驻波无能量传播,当,当,波节位置,三、半波损失,全波反射：波从波疏媒质反射回来，则在反射处，反射波的振动相位与入射波的相位相同,半波损失：波从波疏媒质到波密媒质，从波密媒质反射回来，在反射处发生了 的相位突变,四、弦振动系
13、统的简正模,例、等幅反向传播的两相干波，在x轴上传播，波长为8m，A、B两点相距20m，如图所示。若正向传播的波在A处为波峰时，反向传播的波在B处位相为-/2。试求A、B之间因干涉而静止的各点的位置。,解、如图所示，以A点为坐标原点，建立坐标系。,设正向传播的波的波动方程为：,则反向传播的波的波动方程为：,另设t=0时，正向传播的波在A点为波峰，反向传播的波在B点的位相为-/2，则有，当t=0，x=0时：,即：,所以：,当t=0，x=20m时，反向传播的位相为：,所以：,于是，正向传播的波的波动方程为：,反向传播的波的波动方程为：,合成波的方程为：,所以静止点的位置就是合成驻波的波节位置：,即
14、：,解得：,在AB=20m之间，则k的取值为：,例、A和B是两个相位相同的波源，相距d=0.10m，同时以30Hz的频率发出波动，波速为0.50m/s，P点位于与AB呈30度角，与A相距为4m 处，如图所示，求两波通过P点的相位差。,解：该波的波长为：,设A、B两个波源的相位分别为A(t)，B(t)。A波在P点的相位落后于A点，相位差为：,因而此波在P点的相位为：,同理，B波在P的相位为：,因此两波通过P点，在P点的相位差为：,根据题意，两个波源的相位相同，所以,则P点相位差为：,其中,所以，两波在P点的相位差为：,例、如图所示，地面上一波源S，与一高频率探测器D之间的距离为d，从S直接发出的
15、波与从S发出经高度为H的水平层反射后的波，在D处加强。当水平层逐渐升高h距离时，在D处没有测到讯号，如果不考虑大气对波能量吸收，试求波源S发出波的波长。,解：自S发出的波，经过高度为H的水平层反射后至D，全程设为d1，经高度为（H+h)的水平层至D，全程设为d2。直达波与经过高度为H的水平层反射的波在D处同相。,由于在B，C处反射的情况是相同的，所以两次测量不会由于反射引起不同的效果，所以可以假设在B、C处反射时都有半波损失，根据题意：,直达波与经过高度为（H+h）的水平层反射的波在D处反相，则,由（1）、（2）式可以得到：,由图中几何关系可以看出：,另外：,从（3）、（4）解出d1和d2，从
16、而可以得到波长的表达式：,15.8 多普勒效应,vs：以趋近于观察者为正,vR：以趋近于波源为正,假定波源和观测者相对于介质静止时，测得频率为,1.波源静止，观察者相对介质运动,单位时间通过观测者的完整波形：,多普勒效应:,s,观测者,2、观测者静止,波源相对于介质运动,s,观测者,3、波源观测者同时相对介质运动,1.波源静止，观察者相对介质运动,2、观测者静止,波源相对于介质运动,电磁波的多普勒效应：,接近：,远离：,例、火车以v1=20m/s的速度驶向一静止的观察者，机车鸣汽笛2s，问：观察者听到的笛声将持续多久？（空气中的声速u=340m/s）,解：由题意可知：,设机车鸣笛的频率为vs，
17、由于观察者静止，声源向观察者运动，则观察者接收到的声波频率为：,声源持续时间为2s，设观察者听到的笛声持续时间为t，由于声源的全部振动都要传播至观察者，则：,联立（1）（2）两式，可以得到：,*15.9 声学简介,（可闻）声波：,次声波：,超声波：,声强级：,单位：dB（分贝）,应用：,一、电磁波,真空中电磁场的波动方程变为：,真空中，介质性质方程,一、变化的电磁场在空间的传播就是电磁波,对 两边求旋度,利用矢量分析及,可得,比较 以上两式 得,同理对,由波动微分方程标准形式,波速,前面,两边求旋度，类似得到,真空中变化的电磁场是一种波动称为电磁波,介质中的波速,二、电磁波的性质：,1）电磁波是横波,（都与传播方向 垂直）,振幅比等于 v 或,4）电磁波的传播速度大小为,传播如图 所示,图 电磁波谱,电磁场的能量密度和能流密度（补充）,线性介质：,2.能流密度-坡印亭矢量,平面简谐波,式中 E0 和 H0 分别是 E H 的振幅,坡印亭矢量,
