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1、欢迎光临!,工程力学,工程力学,第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计,背 景 材 料,背 景 材 料,掌握导出圆轴扭转时横截面上切应力公式的方法。,掌握圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律，并能熟练地进行圆轴扭转的强度和刚度的计算。,本 章 基 本 要 求,圆轴扭转的应力与变形,传动轴的外力偶矩,传动轴传递的功率,传动轴传递的转矩,注意 式中 Pk 和 n 的单位是固定的。,圆轴扭转的平截面假设,圆轴横截面在扭转时始终保持是平面。,圆轴横截面上的半径在扭转时始终保持是直线。,圆轴扭转时横截面上的应力,推导思路,几何关系(平截面假设),物理关系(Hooke 定律),力学关系(切应力对
2、轴的合力矩即截面上的扭矩),切应变与相对转角之间的关系,切应力与相对转角之间的关系,相对转角表达式及切应力表达式,切应力公式推导,几何关系(平截面假设),在外表面处的切应变,在离轴心 r 处的切应变,物理关系(Hooke 定律),是外表面沿轴线方向上的切应变。,d 是前后两个端面的相对转角。,切应力公式推导,力学关系,(切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩),分析与讨论 圆轴扭转时横截面上切应力方向为什么总是垂直于半径的？,切应力在横截面上分布规律,圆轴扭转的变形,圆轴扭转的刚度用两端面的相对转角来表示。,注意 式中 的单位是弧度。,GIp：抗扭刚度(torsion stiffness),单位长度
3、相对转角,圆轴扭转的强度与刚度计算,强度条件,重要数据,刚度条件,例 如图的轴的许用切应力为 60 MPa，校核强度。若将实心圆轴改为内外径之比为 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。,轴安全。,扭矩图：,强度相等时两种轴 Wp 相等。,实心轴,空心轴,两者重量比,取 D1 为 66 mm。,分析与讨论,从轴的扭转强度考虑，哪一种布置最合理？（单位：kNm）,例 若密圈螺旋弹簧的平均半径 R 远大于簧丝直径 d，且簧丝倾角小于 5，当轴向压力为 F 时，求簧丝中的最大切应力。,忽略簧丝曲率和倾角 的影响，簧丝中的扭矩,剪力所引起的切应力可认为是平均分布在断
4、面上,又，,例 若=70 MPa，求许用转矩。若端面 AB 的相对转角与端面 BC 相对转角相等，求 L1。,许用转矩。,故。,例 如图的空心圆轴两截面间的相对转角为 0.4，弹性模量 E 为 210 GPa，求材料的泊松比。,由公式,可得,又有,故有,该区域是如何平衡的？,分析与讨论,前端面上应力是如何分布的？,顶面上有应力吗？,顶面上应力是如何分布的？,顶面上的应力合力是怎样的？,前后端面上的应力合力是怎样的？,试对上述各部份合力进行定量计算。,例 设圆轴横截面上的扭矩为 T，试求其 1/4 截面上内力系的合力的大小、方向及作用点。,水平方向和竖直方向分量为,水平方向合力为,垂直方向合力为,对 O 点取矩,总合力为,力学家与材料力学史,圆轴扭转的切应力公式是由 Coulomb 于 1784 年首先建立的。,Coulomb 是法国物理学家、力学家。他在摩擦学、电磁学、粘性流体等方面有重要贡献。,Charles-Augustin de Coulomb(1736-1806),本章内容结束,谢谢大家,
