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1、3.相对变换,如上所述，一个齐次坐标可分解为平移及旋转变换，根据这些平移和旋转是相对什么坐标系去实现的，就导出了不同相对变换的概念，前面只提及相对于参考系的变换，实际上还可相对于变换过程中当前坐标系来实现变换。,(1)坐标系的相对变换,相对于参考系的相对变换始终相对于一 个相同的参考系的变换,2)相对于当前系的相对变换每个平移、旋转 变换始终相对于当前坐标系（每个当前坐标系 均不同）。,(2)坐标系前乘变换或后乘变换的相对变换,设C是以齐次坐标矩阵表示的坐标系，T是由若干平移、旋转变换因子按一定顺序组成的变换。显然TC及CT将得到完全不同的变换结果，原因是坐标系C所作的相对变换不同。1)坐标系
2、C前乘（左乘）变换时，得到的TC是C始终相对于同一参考系的变换，变换的动作顺序由T的最后（最右）因子开始，以最前（最左）的因子结束其变换。2)坐标系C后乘（右乘）变换时，得到的CT是C相对于不同当前坐标系的变换，变换的动作顺序由T的最前（最左）因子开始，以最后（最右）的因子结束其变换。TC与CT导致不同变换的结果与矩阵乘法不服从交换律的性质是一致的。,【例2.4】给定一坐标系,及一变换,T=,试确定C相对于参考系的变换,X=TC及C相对于当前系的变换Y=CT。,解：相对于参考系的相对变换为：X=TC,其变换的动作顺序为先旋转后平移。相对于当前系的相对变换为：Y=CT,其变换的动作顺序为先平移后
3、旋转。,4.逆变换,将被变换坐标系变回到原来的坐标系时，可以用变换T的逆,来实现。,例如X=TC使C变换为X，若用X求C则为,给定变换T为,则T的逆阵为,(2-14),式中 p、n、o、a表示T的各列矢量；”表示二矢量的数量积。,5.一般旋转变换,所谓一般旋转变换，即其旋转轴线不与参考系任何轴线重合，而是参考系中某一矢量，这一矢量的方向用其上的单位矢量。,表示。,为了导出一般旋转变,的计算公式，设,是一个坐标系C中轴,的单位矢量，一般坐标系为,C=,(2-15),其中轴,的单位矢量为,这样，绕矢量,旋转就等于绕坐标系C的,轴旋转，即,(2-16),图2-12 一般旋转变换,如图2-12所示，被
4、旋转的坐标系为,该系以坐标系,为参考系记为Y,以坐标系C为参考,系时记为X(注意：X、Y均为,坐标系,)。Y与X,的关系为,或,(2-17),绕,旋转Y等效于绕坐标系的C的,轴旋转X，即,(2-18),式中的,表示将,变换到与左端,相同的参考系中去，否则(2-18)的等式不成立。,将(2-17)式代入(2-18)式，得,因此,现将此式展开，并利用C矩阵的正交性对展开式进行整理，得到一般旋转变换的计算公式为,(2-19),式中,一般轴的单位矢量的3个方向的分量，,即(2-15)式中的,；,V,的缩写，通常为正矢；,S,的简写；,C,的简写；,由(2-19)式可见，一般旋转变换在,角不变时，,它仅
5、仅是矢量,的函数，,绕坐标轴的,旋转变换仅是一般旋转变换的特例。例如绕坐标轴的,旋转变换,，其,，将这些值,代入(2-19)式，得,它与(2-13)式完全一致。,6.等效旋转轴及等效旋转角,对于一个任意给定的旋转变换，可以利用(2-19)式求出绕等效旋转轴,、等效旋转角为,的等效变换。,设给定的旋转变换R为,R=,使R式与(2-19)式相等，得,(2-20),(2-20)式两端矩阵的对角线元素分别相加，仍然相等，故有,(2-21),利用,及,，得,(2-22),由此解出等效旋转角,的余弦为,(2-23),(2-20)式两端矩阵非对角线上对称元素相等，得,(2-24),由此解出等效旋转角,的正弦为,(2-25),规定,在,中选取，故上式取正值，因而等效,旋转角,唯一地按下式确定：,(2-26),等效旋转轴矢量,的分量可用(2-24)式确定：,(2-27),利用(2-27)式解矢量,，当,很小可能导致单位矢量,的模大于1，这时需要对,进行标准化：,当,接近于,时，(2-27)式的计算精度变得越来,越差。实践表明，当,时需另求计算公式：,仍然利用(2-20)式，可得,(2-28),式中,符号函数，当括弧内差值为正时取正号，,否则取负号。,
