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1、复变函数与积分变换A（闭卷）考试时间：2011年1月13日14：0016：00电子信息1，2班：教三101电子信息3，4班：教三103,考试题型：填空题8题（共32分），解答题7题（共68分），满分100分,其中：积分变换不考填空题，只考 大题（占20分），复变函数（占80分）,复变函数考查内容：,复数(一般表示，三角表示，指数表示，实部，虚部，模)复数的四则运算，幂与方根，单连通域的概念。复变函数：主要考察把曲线从xy平面映到uv平面的象的求法。,第一章：,第二章：,解析函数：主要考察定义和P41页的定理一和二(CR方程)几个重要的初等函数的表达式(指数函数，对数函数，乘幂 函数与幂函数，三
2、角函数与双曲函数),第三章：重点是计算积分,复变函数积分的概念(理解，掌握积分路径与积分值的关系)灵活应用柯西古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式解题理解原函数与不定积分的概念及其计算。掌握解析函数与调和函数的关系(已知解析函数的实部会求虚部，已知虚部会求实部),第四章：重点是展开级数，求收敛域，求和函数,理解复数列级数的概念，理解泰勒，罗朗级数的定义掌握幂级数求法，求收敛半径(比值和根值判别法)使用已知级数(识记五种简单级数展开式)和间接法展开泰勒级数和罗朗级数(P117定理四)，注意在不同点展开后是不一样的。收敛域的求法。,第五章：判别孤立奇点类型，计算留数以及三种特殊类
3、型的积分,判别孤立奇点类型(掌握三种孤立起点的定义，灵活运用)，理解无穷远点的性态。灵活运用留数定理和几种计算规则来计算留数。理解无穷远点的留数转化为原点的留数的方法。三种特殊类型的积分的计算，掌握使用条件以及如何转化为留数来计算的方法。,积分变换考查内容：,第一章：重点求函数的傅立叶变换，解微分和积分方程,理解傅立叶积分和傅立叶变换的概念灵活应用傅里叶变换的性质(4条)和卷积定理来求傅里叶变换掌握微分和积分方程的傅立叶解法熟记若干简单的函数的傅立叶变换(傅立叶逆变换),第二章：重点求函数的拉普拉斯变换，解微分和积分方程,理解拉普拉斯变换的概念灵活应用拉普拉斯变换的性质(4条)和卷积定理来求拉
4、普拉斯变换，以及理解用留数定理求拉普拉斯逆变换的方法掌握微分和积分方程的拉普拉斯解法熟记若干简单的函数的拉普拉斯变换(拉普拉斯逆变换),例1 计算,例2 求复数,的实部，虚部和模。,函数,将,平面上的曲线,变成,平面上的曲线,例3,是_.,例4 若,试求n的值,例5 设,试证,例6 求,例7 求p，m，n的值使得函数,为解析函数。,例8 设f(z)=,(1)求f(z)解析区域；(2)求,例9设C是正向圆周,则,=（）,例10设C是正向圆周,，则,=（）,例11设C为从-i到i的左半单位圆周，则,(),例12 设,。求,，使得,。其中,（D为复平面内的区域）。,为解析函数，且满足,例13.f(z
5、)=,在圆环域0|z|1内的罗朗展开式为.,例14求,处的泰勒展开式，并指出收敛圆域.,例15 若,_。,将函数,在点z=1处展开为泰勒级数.,例16,公共邮箱：密码：123456,例17 z=1是函数f(z)=,的_.（填孤立奇点的类型）,例18 设f(z)=,，则Resf(z),0=_,Res,=.,例19,z=i是f(z)=,的_,例20,（填孤立奇点的类型(若是极点说明其级数)）,例21 设函数,则Resf(z),-i=_,例22（1）求,在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分,.,例23（1）求,在上半平面的所有孤立奇点；（2）求
6、f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分,26,第一章 Fourier变换,1 重点和难点,2 内容提要,3 典型例题,一、重点与难点,重点：,难点：,1 求函数的Fourier变换(Laplace变换),求函数的Fourier(Laplace)变换,2 Fourier变换(Laplace变换)的简单应用,傅氏积分定理 若f(t)在(-,+)上满足条件:1).f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;2).f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,则有,1 Fourier积分定理,二、内容提要,若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有,(1)式叫做f(t)的
7、Fourier变换式,(2)式为F(w)的Fourier逆变换式,f(t)与F(w)可相互转换,可记为F(w)=f(t)和 f(t)=-1F(w),2 Fourier变换,称de(t)的弱极限为d-函数,记为d(t).即,3 单位脉冲函数及其傅氏变换,（2）,函数为偶函数,即,（3）,其中,称为单位阶跃函数.反之,有,d-函数有性质:,(1),两个常用的积分：,一般地，有,(1).线性性质 设F1(w)=f1(t),F2(w)=f2(t),a,b是常数,则 af1(t)+bf2(t)=aF1(w)+bF2(w),同样,傅氏逆变换亦具有类似的线性性质,即-1aF1(w)+bF2(w)=af1(t
8、)+bf2(t),4 Fourier变换的性质,(2).微分性质 如果f(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点,且当|t|+时,f(t)0,则 f(t)=j w f(t).,同样,我们还能得到象函数的导数公式,设,为实常数,则,(3).位移性质:,2）象函数的位移性质,为实常数,则,1）象原函数的位移性质,(4).积分性质,实际上,只要记住下面几个常用的Fourier变换,则所有的Fourier变换都无须用公式直接计算而可由Fourier变换的性质导出.,卷积满足下列性质:,5 卷积和卷积定理,卷积定理 假定f1(t),f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件,如 f1(t)=F1(w),
9、f2(t)=F2(w),则 f1(t)*f2(t)=F1(w)F2(w)以及,同理可得,任给函数f(t),都有f(t)*d(t)=f(t),这是因为,单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.,首先取傅氏变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取逆变换得最后的解.如下图所示.,象原函数(微分方程的解),象函数,微分、积分方程,象函数的代数方程,6 微分、积分方程的Fourier解法,三、典型例题,例1 求函数,的傅氏变换，其中,例3,证明(f(t),(,例4 求积分方程,已知,例5,已知,(,试利用傅氏变换的性质，求下列函数的傅氏变换.,f(t),积分变换,（1）,（2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：,
