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1、复变函数与积分变换,任课教师金彩云,课件作业答疑考试,第一章 复数与复变函数,1.1 复数及其代数运算,1.2 复数的几何表示,1.3 复数的乘幂与方根,1.4 区域,1.5 复变函数,1.6 复变函数的极限和连续性,复变函数与积分变换及应用背景,(古今数学思想(MathematicalThought from Ancient to Modern Times)的作者,美国数学史家)指出:从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的
2、理论之一.,的概念,从而建立了复变函数理论.,为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数,复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分.,说:实域中两个真理之间的,最短路程是通过复域.,(3)复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.,函数理论证明了,应用复变,(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.,(5)应用于计算渗流问题.例如：大坝、钻井的浸润曲线.,(6)应用于平面热传导问题、电(磁)场强度.例如：热炉中温度的计算.,最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,从而研究机翼的造型问题.,(8)复变函数理论也是积分变换的重要基础.,积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通
3、信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域,Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系.它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要,主 要 内 容,本章首先引入复数的概念及其运算、平面点集的概念.然后讨论复变函数的连续性.,一 复数的概念,由于解代数方程的需要,人们引进了复数.例如，简单的代数方程,在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍理论，引入等式,由该等式所定义的数称为,复 数
4、：由虚数单位和实数复合而成的数z=x+iy 或 z=x+yi，其中x和y是任意两个实数，i为虚数单位。,纯虚数：实 数：,二 复数的代数运算,注 意：复数不能比较大小.,相 等：设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数,如果x1=x2,y1=y2,则称z1和z2相等,记为z1=z2.,设复数z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，则,(1)复数的和与差,(2)复数的积,(3)复数的商,显然,z=x+yi 是 x-yi 的共轭复数,即,共轭复数,复数 x-yi 称为复数 z=x+yi 的共轭复数(其中x,y均为实数),并记做.,复数代数运算的性质,1.交换律,2.结合律,3.分配律,共
5、轭复数的性质,例 3 设 为两个任意复数，证明,补 例 对 求。,1.2 复数的几何表示,一,复数的几何表示,这时把xOy平面称为复平面.有时简称为z平面.称x轴为实轴,y轴为虚轴.,复数z=x+yi与二元有序数组（x,y）一一对应。,二元有序数组（x,y）与直角坐标平面上的点P（x,y）一一对应。,因此 复数z=x+yi与直角坐标平面上的点P(x,y)一一对应。,P,复数z=x+yi还与从原点指向点P(x,y)的平面向量一一对应，因此复数z也可用向量 来表示(如图).,把向量 的长度r 称为复数z的 或称为z的绝对值,并记做|z|.,显然,如果点P不是原点(即),那么把以 x 轴的正向为始边，以表示z的向量 为终边的角的弧度数q 称为复数 z 的辐角,记做Argz=.,对每个,都有无穷多个辐角,如果用q1表示复数z的一个辐角时,就是z的辐角的一般表达式.,辐 角,的辐角；但当z=0时,|z|=0.,满足 的复数z的 称为主辐角,(或称辐角的主值),记做argz,则,当z=0时,Argz没有意义,即零向量没有确定,辐 角 主 值,当 时,有,辐角主值的求法,例：求下列复数的模与辐角主值,
