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1、多 元函数微分,2,求,在区域,上的最大值和最小值。,例18,此题是不等式约束问题，求解分两步进行:,得唯一驻点（0，0）。,提示,先求区域内部的可疑极值点，再求边界上的可疑极值点，然后比较它们的函数值。,3,在边界,上，构造拉格郎日函数,解方程组,求出函数值,4,设f(u,v)具有连续偏导数，且满足,求,所满足的一阶微分方程，并求其通解.,因此，所求的一阶微分方程为,解得,(C为任意常数).,例21,【解】,5,例22,【解】,其中 具有一阶连续偏导,且,求,设,6,设,，其中,是由,确定，其中,具有连续的一阶偏导数，求,两端对,求导有,两端对,求导有,代入,化简,例23,【解】,在,7,上
2、各点的法线总垂直于常向量，并指出此曲面的特征.,证明:设,可微,试证,其法向量为:,所以,例24,8,证法二 任取曲面上一点,则直线 L：,在曲面上，,而L的对称式方程为 L：,可见过曲面上任意一点的直线均平行于a，b，c，,即曲面是母线平行于a，b，c的柱面。,9,设,可微,试证,上任一点处的切平面都通过定点.,则该处的切平面为:,+,-,+,=0,三个数a,b,c出现在方程中,我们首先猜想,就是所求的点.,代入满足方程,故点,在此切平面上.,例25,证法一任取曲面上一点,10,证法二分析曲面的几何性质要比机械地代公式好,任取曲面上一点,则连接,的直线方程L为:,将直线方程代入曲面方程有,这
3、说明L上的点都在曲面上,即曲面是以,为顶点的锥面,而曲面上任意一点的切平面都经过其顶点.,设点,11,解 对方程 两边求全微分，得,令，得,例26,12,代入原方程 得：,得驻点,又,13,所以函数没有极值点。,所以对于 点，,点不是极值点。,对于 点，,点不是极值点。,这是隐函数极值问题，计算方法与显函数相同，所不同的是计算可疑极值点要利用隐函数求导法。,14,已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆,圆周上求一点C,使ABC 面积,解：设C点坐标为(x,y),则,设拉格朗日函数,解方程组,例27,最大.,15,得驻点,对应面积,而,比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.,16,求,在,点的两个二阶混合偏导数。,类似:,例28,17,当,时，,显然,第六部分考研试题欣赏,设,其中,具有连续二阶偏导数,求,利用复合函数求偏导的方法直接计算.,提示,设z=z(x,y)是由,确定的函数，求,的极值点和极值.,因为,所以,提示,得,令,故,将上式代入,可得,由于,所以,故,又,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.,类似地，由,可知,从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9,-3)=-3.,
