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1、多元统计分析,黄本春,石家庄经济学院经贸学院统计教研室,多元分析概述,多元方法的应用 1、数据缩减或简化 2、分类与分组 3、变量间依赖性的研究 4、预测 5、假设检验,多元分析概述,数据的组织阵列描述统计量样本协方差图解法,矩阵代数与随机向量,一、矩阵代数基础,（一）定义,若q=1，则称A为p维列向量，记作,若p=1，则称A为q维行向量，记作,若矩阵 的所有元素全为零，则称 为零矩阵。若，则称 为 阶方阵。,转置矩阵：将矩阵的行与列互换，记作,对角线元素,非对角线元素,上三角矩阵：方阵的对角线下方的元素全为。,下三角矩阵：方阵的对角线上方的元素全为。,则,对称矩阵：若A是方阵，且,斜对称矩阵
2、：若A是方阵，且,例：如果,（二）运算,1、和的运算（相同维数的两个矩阵可以相加）,2、积的运算 若c为一常数，则它 与A的积定义为若，则A与B的积定义为,注意：当A的列元素个数与B的行元素个数相同时，才能进行矩阵的乘积运算。,例 若,则,3、矩阵运算规律,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,正交矩阵：若方阵 满足。即矩阵的每一行均具有单位长度且行与行之间互相垂直（正交）。,如果存在矩阵，使得,则称 为 的逆矩阵，并记作。,（三）矩阵的逆,1、定义 如果，就存在一个倒数，能使，这个基本的数量关系在矩阵代数中有如下推广：,的 个列向量 线性无关。即的存在等价于 仅当 时。即 是非退化方阵。,
3、存在逆矩阵的条件是：,逆矩阵具有如下的基本性质：,(1),（2）,(3)若 和 均为 阶非退化方阵，则,（4）,(5)若 是正交矩阵，则,于是：,故 的逆矩阵为：,例：设,例：设,（1），当且仅当。,（2）若 为矩阵,且，则。,2、矩阵的秩的基本性质：,（四）矩阵的秩,1、定义：设 为 矩阵，如果 中不为零的子方阵最高阶数为，而任何 阶子方阵皆为零，则称 为矩阵 的秩，记作,（4）。,（5）。,（3）。,（7）阶方阵 是非退化的，当且仅当（称作 是满秩的）。,（8）。,（6）若 和 为非退化方阵，则,例：设，由于，所以 的秩是2。,一 定义 设 是 阶方阵，若对于一个数，存在一个 维非零向量，
4、使得，则称 为 的一个特征值或特征根，而称 为 的属于特征值 的一个特征向量。由该定义有，而，故必有。,特征值和特征向量,是 的 次多项式，称为特征多项式。上式有 个根（可能有重根），记作，它们可能为实数，也可能为复数。若 是 的一个根，则 为退化矩阵，故存在一个 维非零向量，使得 即 是 的一个特征值，而 是相应的特征向量，一般都取为单位向量，即满足,故 的特征值是 和，相应的单位特征向量为,例：设,于是,二 特征值和特征向量的基本性质：,（1）和 有相同的特征值。,(2)若 和 分别是 和 矩阵，则 和 有相同的非零特征值。,证明：因为,所以,又故有 和,关于 的方程 和 有着完全相同的非
5、零根（若有重根，则它们的重数也相同），故而 和 有相同的非零特征值。,（3）若 为实对称矩阵，则 的特征值全为实数，个特征值按大小依次表示为。若，则相应的特征向量 和 必正交，即。,证明（1）设 是 的任一特征值，是相应的特征向量，于是两边取共轭复数，并注意 为实数矩阵，得 两边左乘 得,又因此由于，从而，故而，即 为实数。,（2）因为 所以 而 故 由于，因而有,（4）若，则 为 的 个特征值，相应的特征向量分别为。,（5）若 为 阶对称矩阵，则存在正交矩阵 及对角矩阵，使得,上式两边右乘，得将 按列向量分块，并记作，于是有,故这表明 是 的 个特征值，而 为相应的特征向量。由于 是正交矩阵
6、，所以可以更确切地说，它们是正交单位特征向量。,上述矩阵 可作如下分解：称之为 的谱分解。,三 方阵的迹,（一）定义 设 为 阶方阵，则它的对角线元素之和称为 的迹，记作，即,（二）方阵的迹的性质：,（1）若 为 的特征值，则,（2）（3）（4）（5）（6）若 为投影矩阵，则,正定矩阵和非负定矩阵,一 定义,二、正定矩阵和非负定矩阵的性质：,（1）设 是对称矩阵，则 是正定（或非负定）矩阵，当且仅当 的所有特征值均为正（或非负）。,（2）若，则。,（3）设，则，当且仅当。,（4）对一切矩阵 成立。证明,（5）若（或），则存在（或），使得，称为 的平方根。,证明 因为 是对称矩阵，所以存在正交矩
7、阵 和对角矩阵，使得。由（或）可知，。令则有由于 的特征值，所以（或）,（6）设 是 阶秩为 的矩阵，则存在一个秩为 的 矩阵，使得。,证明 因为，所以存在正交矩阵 和对角矩阵，使得，且。又。令，,显然，是秩为 的 矩阵，因此,特征值的极值问题,若 是 阶对称矩阵，其特征值依次为 则,证明 由于 是对称矩阵，故存在正交矩阵 和对角矩阵，使得。令，于是，即，可得,故而,（2）若 是 阶对称矩阵，是 阶正定矩阵，是 的 个特征值，则,证明 存在，使得，令，于是 为对称矩阵。,因为,所以 的特征值与 的特征值相同，即为 故而,（3）（柯西许瓦兹不等式）若，则,附：,证明 只须对 和 都是非零向量情况进行证明。,
