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1、重点：对数学期望、方差、相关系数等数 字特征概念的理解与计算.难点：对不相关与相互独立间关系的理解.,4 多维随机变量的特征数,多维随机变量函数的数学期望,定理 1 设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则,E(Z)=Eg(X,Y)=,例1:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,试求XY的数学期望.,解:,例2:设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为,求:E(XY),解:,g(X,Y)=XY,X和Y相互独立.,数学期望与方差的运算性质,1.E(X+Y)=E(X)+E(Y),2.当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y),讨论 X+Y 的方差,1.Var(XY)=Var(X)+V
2、ar(Y)2EXE(X)YE(Y),3.当X与Y独立时，EXE(X)YE(Y)=0.,4.当X与Y独立时，Var(X Y)=Var(X)+Var(Y).,2.EXE(X)YE(Y)=E(XY)E(X)E(Y),注意：以上命题反之不成立.,课堂练习1,X 与 Y 独立，Var(X)=6，Var(Y)=3，则 Var(2XY)=().,27,课堂练习2,X P(2)，Y N(2,4)，X与Y独立，则 E(XY)=();E(XY)2=().,4,22,协方差,定义1 称 Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y),为 X 与 Y 的协方差.,Cov(X,Y)0,X与Y负（线性）相关,Cov(X,Y)0
3、,X与Y不（线性）相关,协方差的性质,(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).,(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).,(2)若 X 与 Y 独立，则 Cov(X,Y)=0.,(6)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).,(3)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2 Cov(X,Y),(5)Cov(X,a)=0.,(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).,解：记“Xi=1”=“第 i 个人拿对自己的礼物”“Xi=0”=“第 i 个人未拿对自己的礼物”,配对模型的数学期望和方差,例5：n 个人、n 件礼物，任意取.X 为拿对自已礼物的人数，求
4、E(X),Var(X)。,则,因为 E(Xi)=1/n,所以 E(X)=1.,又因为,所以 E(XiXj)=1/n(n1),XiXj,P,0 1,11/n(n1)1/n(n1),由此得,又因为,所以先计算 E(XiXj),XiXj的分布列为,所以,相关系数,定义2 称 Corr(X,Y)=,为 X 与 Y 的相关系数.,例6:设(X,Y)N(1,2,12,22,),求X和Y的相关系数.,解:,注:若(X,Y)服从二维正态分布,则X和Y相互独立的充要条件是=0.,设(X,Y)的概率密度为p(x,y),则,相关系数的性质,(1)1 Corr(X,Y)1.,(2)Corr(X,Y)=1,X 与 Y
5、几乎处处有线性关系。,P(Y=aX+b)=1,Corr(X,Y)的大小反映了X与Y之间的线性关系：,注 意 点,Corr(X,Y)接近于1，X 与 Y 间 正相关.,Corr(X,Y)接近于 1，X 与 Y 间 负相关.,Corr(X,Y)接近于 0，X 与 Y 间 不相关.,没有线性关系,例6：设(X,Y)的联合分布列为,求 X,Y 的相关系数.,解:,=0,同理,=3/4,E(Y)=E(X)=0,另一方面,=1/81/81/8+1/8,=0,所以,Cov(X,Y),即 Corr(X,Y)=0,E(Y2)=E(X2)=3/4,=E(XY)E(X)E(Y)=0,例7：(X,Y)p(x,y)=,求 X,Y 的相关系数.,解:,=7/6,=5/3,所以,Var(X)=Var(Y)=11/36,=4/3,二维正态分布的特征数,(1)X N(1,12),Y N(2,22);,(2)参数 为 X 和 Y 的相关系数;,(4)不相关与独立等价.,课堂练习：设（X,Y)服从区域 上的均匀分布，求X与Y的协方差及相关系数。,2002年数学三填空（4）：设(X,Y)的联合分布列为,则 和 的协方差,2003年数学三填空（5）：设随机变量X 和Y的相关系数为0.9,若，则Y与Z的相关系数为？,2004年数学一选择（14）：设随机变量X1，Xn 独立同分布，令 则,
