多自由度系统的振动.ppt

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1、4.1 多自由度系统的数学描述,4.2 多自由度系统的固有频率与主振型,4.3 多自由度固有振动近似解法,第4章 多自由度系统的振动,多自由度系统指的是具有有限个自由度的系统。多自由度振动系统的分析与二自由度振动系统的分析，二者不存在本质的区别，但随着系统自由度数的增加，计算工作大为复杂化。因此，必须采用相应的数学工具。所以，矩阵就成为分析多自由度系统振动问题的有力工具。,第4章 多自由度系统的振动,4.1 多自由度系统的数学描述,4.1 多自由度系统的数学描述,4.1.1 用柔度系数法和刚度系数法表示的运动方程,应用图4-1的系统说明多自由度系统的柔度系数及柔度矩阵。,图4-1 三自由度振系

2、,所谓柔度是指单位外“力”所引起的系统的“位移”。如在图4-1系统中，设在质量m3 上沿x3 方向作用一单位力，系统相应于它产生的位移为,按柔度系数的定义，就有,1.柔度矩阵,同理，一个n自由度的系统一共有n个独立坐标，对应于每个单位力就有n个柔度系数；总共有n个单位力，故系统总共有nn 个柔度系数rij(i,j=1,2,3,n)。它们组成一个柔度矩阵R,（4-1）,图4-1 三自由度振系,方程（4-2）称为位移方程。注意：“力”可以是力或是力偶；而“位移”可以是线位移或是角位移，等等。,假设在系统的各个坐标上分别作用有力,则由叠加原理，系统的各个位移xi可表示为,写成矩阵表达式，有,（4-2

3、）,其中x与f分别代表位移列阵和力列阵：,（4-2）,例4-1 设有集中质量 与 以及长为 与 的无重刚杆构成的复合摆，如图4-2，假定摆在其铅垂稳定平衡位置附近作微振动。取质量 与 的水平位置 与 作为坐标，求系统的柔度矩阵。,图4-2 复合摆的微振动,解：先仅在m1 上作用一单位水平力。由静力平衡条件可得,因而有,再仅在m2上作用一单位水平力。由静力平衡条件有,考虑,可得,若仅对m1分析，其上也得到一单位水平力,故系统的柔度矩阵为,2.刚度矩阵,所谓刚度是指产生单位“位移”所需的各个外加“力”。,例如在图4-1系统中，设有,图4-1 三自由度振系,这时，弹簧k1 与 k2没有变形，而弹簧k

4、3 伸长了单位长度，作用于质量m2上的弹簧力为k3（向右为正），而作用于质量m3上的弹簧力为-k3（向左为负）。,所以要维持系统静力平衡，必须在质量m2上外加力-k3（向左为负），并且在质量 m3上外加力 k3（向右为正）。而在质量m1上则不需加任何外力。,类似的，可求得,由此得系统的刚度矩阵K 为,按刚度系数的定义，有,对于n 自由度系统，设各个质量的位移为 xj(j=1,2,3,n)则由叠加原理，各个质量mi 上所需的外力fi(i=1,2,3,n)可表示为,或写成矩阵形式，有,（4-4）,式（4-4）称为力方程。,例4-2 仍考察例4-1的复合摆，如图4-3。求系统的刚度矩阵。,解：先令,

5、于是有,由下摆的平衡条件，有,图4-3 复合摆的微振动,再由全摆的平衡条件有,于是有,再令，按类似的做法，可得,故系统的刚度矩阵为,由例4-1和例4-2，很容易验证柔度矩阵R与刚度矩阵K是互逆的。即,当知道了刚度矩阵后，系统的弹性势能可表示为,或,3.质量矩阵,即,这儿的mi 可以是质量或是转动惯量，而与后者相应的位移就是角位移。,根据达朗伯原理，只要在系统中加上惯性力，那么动力学问题就可以按静力学问题来处理。特别当系统进行自由振动时，作用于各个质量上的外加“力”就只有“惯性力”。,当系统进行简谐振动 时，,故有,（4-5）,式中 M 称为质量矩阵。对于集中参数系统，其质量矩阵通常是对角阵。当

6、然，质量矩阵并不一定都是对角阵。,有,例4-3 设有图4-4所示系统，在光滑水平面上，由刚杆连接的三个质量 m1，m2，m3所组成，其中 m1与 m2分别用弹簧 k1与 k2 连于固定支点。刚杆本身的质量可略去不计。再设三个质量都只能沿 x1，x2，x3方向运动。求系统的质量矩阵。,解：由题可知，系统的位移中只有两个是独立的。,图4-4 弹簧质量系统,取 作为独立坐标，,而系统的另一个坐标 为,这时，需要将作用于 上的惯性力转移到质量 与 上，可得作用于 与 上的外加力为,故得,注，本例中的质量矩阵不是对角阵，而是对称阵。一般情况下，质量矩阵总是对称阵。有 mij=mji 考虑到系统的动能T，

7、有,即有,4.运动方程,（4-6）,从柔度矩阵出发可以得到系统运动微分方程的另一个形式。,（4-7）,（4-6）与（4-7）式是完全等价的。,从系统本身求得刚度矩阵（或柔度矩阵）与质量矩阵后，就可以根据力方程（或位移方程）列出系统自由振动的运动方程,例4-4 图4-5（a）表示三个质量 的小球，固定在一张紧的弦上，各跨距相等，求系统质量在垂直方向的自由振动方程。,图4-5微振动系统实例,解：根据柔度系数的定义，首先对m1 施加垂直的单位力，于是系统产生图4-5（b）所示的变形，这时假定弦的张力T 较大而质量振动位移较小，因此振动中弦的张力T保持不变。质量m1 的受力平衡方程为,由于,因此有,a

8、21，a31可按图4-5（b）的比例求得,所以,由于对称关系，当对m3 施加一铅垂方向的单位力时有,把这些系数写到矩阵中，可得,于是自由振动的运动方程为：,对m2 施加一铅垂方向的单位力时，它的变形见图4-5（c），由此得,其中质量阵由各质量在单位力作用下，按 而得。,4.2 多自由度系统的 固有频率与主振型,4.2 多自由度系统的固有频率与主振型,4.2.1 固有频率和主振型,考虑到系统的主振动是简谐振动，可设它为,（4-10）,将它分别代入（4-5）与（4-7）式，可得如下主振型方程,（4-11）,或,（4-12）,多自由度系统的自由振动微分方程,或,引入系统矩阵的概念，对（4-11）式两

9、端乘以，可得,（4-13）,设系统矩阵S 为,（4-14）,且令，则主振型方程（4-11）可化为,（4-15）,再设另一个形式的系统矩阵 为,（4-16）,这样，主振型方程（4-15）与（4-17）就有着相同的形式。,利用矩阵乘积的求逆公式，可知上述两种系统矩阵之间有着互逆关系,（4-17）,方程（4-15）可改写为,（4-18）,它有非零解的条件为,（4-19）,且令，则主振型方程（4-12）可化为,（4-19）式称为系统的频率方程或特征方程。由（4-19）式解得系统的各阶固有频率，方法如下：,对它展开的结果，可得一个关于的n 次代数方程,（4-20）,它的 n 个根 称为系统的特征根，亦称

10、矩阵S 的特征值。特征值i 与系统固有频率i 之间有如下关系,（4-21）,现对系统主振型方程,两端前乘以XT，得,将各个特征值i 代入式（4-18），可求得各个相应的Xi，他们称为系统的主振型（或固有振型），亦称为矩阵S 的特征矢量。,由正定与半正定的条件，对于任何非零的X，有,（4-22）,如果令B=S-I，那么系统的特征矢量也可以从B的伴随矩阵adjBi 得出。？事实上，按逆阵的表示，有,上式前乘以BB，得,当=i 时（即），即有,上式与（4-18）式相比较，可知adjBi 中各列与X 充其量只相差一个常数乘子。因此可利用B的伴随矩阵adjBi 得出X。,例4-6 设图4-1所示三自由度

11、系统中，有，。求系统的主振型。,解：系统矩阵为,其中质量矩阵为,刚度矩阵为,系统矩阵为,对此频率方程展开，令其为零，可得一个关于的代数方程，求解后，得系统的各阶固有频率：,B的伴随矩阵为,（4-23）,将 代入（4-22），可得,注意到该矩阵中各列是成比例的。其中第三列正是取x1 为基准的主振型。（由于振型仅是幅值比，一般在各阶主振型中均令x1=1，因此在 adj Bi 中取其第三列作为各阶主振型）,同样的，将 代入式（4-23），可得,将 代入式（4-23），可得,显然，方程（4-15）与（4-17）都具有（4-24）式的形式。不过无论是 还是s 一般都不是对称阵。,因为质量矩阵M 通常是正

12、定的实对称阵，它总可以分解为,矩阵特征值问题通常表示成下述标准形式,（4-24）,其中，A 是实数方阵，Y是特征矢量，是特征值。,（4-25）,系统矩阵S化为对称阵,式中 U为非奇异上三角阵，UT 为其转置阵。,将式（4-25）代入式（4-16）与（4-17），得,上式前乘以 U，得,（4-26）,引入新的系统矩阵SR,（4-27）,再对X 进行如下变换,（4-28）,于是，式（4-26）可改写成,（4-29）,事实上，SR是由对称阵R 经变换（4-27）得来的，按矩阵乘积的的转置规则，有,（4-30）,即系统矩阵 SR又可以看作是系统矩阵 经变换（4-28）得来的。,因为,并注意到U 是非奇

13、异矩阵，故 与 SR 有着相同的特征值。不过，这时的特征矢量 Yi已不同于特征矢量 Xi，但如果求出Yi 后，就不难通过逆变换,（4-31）,求出相应的 Xi。,证明系统矩阵SK是对称阵,再来看方程（4-15）的变换，对式（4-25）求逆，有,将上式代入（4-15），得,两端前乘以U，得,（4-32）,再引入另一个新的系统矩阵SK,（4-33）,同时对X 进行变换（4-28）。于是，式（4-32）可改写为,（4-34）,和前面的讨论相类似，可以证明新的系统矩阵SK已是对称阵，且有,所以，系统矩阵 SK与系统矩阵 S有着相同的特征值。,当M是对角阵时，上述变换将大为简化。这时有,（4-35）,式

14、中 表示一对角阵，其元素分别为M中对应元素的平方根；的元素分别为 中对应元素的倒数。,从而有,（4-36）,例4-7 设图4-1所示三自由度系统中有，。试将系统矩阵化为对称阵。,解：这时，系统的柔度矩阵与质量矩阵分别为,图4-1 三自由度振系,按式（4-36）进行变换，有,所得 已是对称阵。,因为这时M 为对角阵，所以有,故系统矩阵 为非对称阵,4.2.2 主振型的正交性,主振型的一个重要性质是正交性。这种正交性表现为关于质量矩阵与刚度矩阵的加权正交性，即当 时，有,（4-37）,事实上，Xi 与 Xj 分别为系统的第i 个与第 j个主振型，因而有,4.2 多自由度系统的固有频率与主振型,将第

15、一式转置，在后乘以 Xj；对第二式前乘以 XiT，然后两者相减，可得,（4-38）,考虑到 i不等于j，于是式（4-37）中的第一式得证；同理可证明其第二式。,注意到当i=j 时，不论 取何有限值，式（4-38）恒成立，因而可取,（4-39）,其中Mi 称为模态质量，Ki为模态刚度，且有,引入实模态矩阵A,则上述结果可写成矩阵形式,系统的主振型通常只确定到包含一个任意常数乘子，因而可以选取归一化振型如下：即选取这样的Xi，使式（4-39）中各个Mi 都等于1，而这时各个Ki 就等于i2。,4.3 多自由度固有振动 近似解法,本节的目的是介绍工程上常用的几种计算多自由度系统的数值方法，包括瑞利能

16、量法、里茨法、矩阵迭代法。,4.3 多自由的固有振动近似解法,瑞利（Rayleigh）能量法,多自由度系统的动能可用如下矩阵方程表示,假设是简谐运动,系统的最大动能,系统的最大变形能,使 得,上式就是用于估算系统固有频率的瑞利商式。显然，固有频率计算结果与实际的接近程度和振型形状（即振型向量）假定的准确度有关。由于假设的振型形状并不等于振动的一阶振型形状，这等于对系统附加了约束，因此用瑞利法计算得到的固有频率总是偏高的。,（4-40）,4.3 多自由的固有振动近似解法,例4-8 用瑞利法求如图4-8所示系统的一阶固有频率。,解：由前面的方法可求得该系统的柔度矩阵和质量矩阵分别为,4.3 多自由

17、的固有振动近似解法,图4-8 微振动系统,则得系统的刚度矩阵为,任意假设一振型向量,计算,4.3 多自由的固有振动近似解法,代入公式（4-40）得,精确解为,4.3 多自由的固有振动近似解法,若振型假设的适当，应用瑞利法所求得的一阶频率是相当准确的。但对工程系统，只求一阶频率和振型是不够的。一般希望能够得到较高几阶的频率和振型。瑞利法对于较高阶频率的估算是不准确的，里兹法对瑞利法进行了改进。,4.3.2 里兹（Ritz）法,下面对里兹法做一详细的介绍。,4.3 多自由的固有振动近似解法,设有 个假设的振型，用它们的线性组合作为假设振型：,（4-41）,如用新假设的振型向量 代入瑞利式中，得,记

18、,则有,（4-43）,（4-43）式即为用于估算系统固有频率的里兹算法。,4.3 多自由的固有振动近似解法,（4-42）,例4-9 图4-9表示一等直径的圆轴，左端紧固，求轴自由扭转振动的一阶固有频率和振型。,4.3 多自由的固有振动近似解法,图4-9 等直圆轴扭转振动模型,4.3 多自由的固有振动近似解法,解：把圆轴沿轴向平均划分为7段，把每一段轴的转动惯量 平均向两端集聚，于是均匀连续的轴变为七个集中的圆盘，最右边的那个圆盘转动惯量为,其余六个圆盘均为J。相邻圆盘间用无重的弹性扭转轴联系，扭转刚度为kt。这样的扭转系统与前面讲的多自由度弹簧-质量系统是类似的。,图4-9 等直圆轴扭转振动模

19、型,4.3 多自由的固有振动近似解法,其质量矩阵和刚度矩阵分别为,因为扭转轴自由端变位最大，于是可假设,于是有,4.3 多自由的固有振动近似解法,于是新的迭代方程为,每一小段轴的扭转刚度和转动惯量分别为,令,则经过简化后的迭代方程为,4.3 多自由的固有振动近似解法,得到特征方程为,对应的特征向量为,得到用里兹法估算的系统固有频率为,精确解为,计算结果，一阶频率误差仅0.13，精度是较好的。,4.3 多自由的固有振动近似解法,4.3.3 传递矩阵（transfer matrices）法,传递矩阵法的特点是，将系统化分成若干单元，每一个小的单元与邻近单元在分界面上用位移协调和力的平衡条件予以联系

20、，且每一小单元可以运用牛顿第二定律建立运动方程。,解题从系统的边界开始，在边界上有的外力及位移关系是已知的，于是根据运动方程可得单元另一侧的力和位移；以此进行下去最后可得到问题的解。,通常把分界面上的力和位移变量组成一个列向量，称为状态向量。,解题的程序是从边界开始逐步向一个方向移动，而且相邻单元的状态向量用矩阵联系，因此这一方法一般称为传递矩阵法。有时也叫做变换矩阵法或迁移矩阵法。,4.3 多自由的固有振动近似解法,4.3 多自由的固有振动近似解法,图4-10表示单元分界面上状态向量的例子。图（a）表示轴向力 和轴向位移，状态向量为,图4-10 单元分界面上状态向量示意图,图（b）表示一个扭

21、矩 和扭转角，状态向量为,图（c）表示弯矩 及断面的转角，图（d）表示剪力 及垂直位移，因此状态向量分别为,4.3 多自由的固有振动近似解法,单元分界面上可以同时存在这几种力和位移或其中部分的组合，但力和位移一般是成对出现的。如果这些状态变量都有，那么状态向量为,4.3 多自由的固有振动近似解法,（4-45）,4.3 多自由的固有振动近似解法,现以弹簧-质量系统为例说明元件状态向量的关系。图4-11表示弹簧和点质量元件。我们知道，弹簧两端的力大小相等方向相反；弹簧两端的位移是不同的，两端位移之差与弹簧刚度乘积等于弹簧受力的值。,图4-11 弹簧质量系统中各元件状态向量示意图,4.3 多自由的固

22、有振动近似解法,（a）,设系统在某一主振型下振动，则可写为：,（b）,把（b)式代入(a)式可得：,于是对弹簧元件，两端的状态向量间的关系为：,4.3 多自由的固有振动近似解法,（c）,公式(c)用矩阵可表示为：,（4-46）,公式（4-46）就是弹簧元件两端状态向量间的关系方程，状态向量从（i-1）变换到状态（i），只要对（i-1）状态向量乘式（4-46）右侧的方阵即可，这个方阵叫做场传递矩阵，并标记为：,4.3 多自由的固有振动近似解法,（4-47）,按照相同的方法，对图4-11中的质量元件，有如下关系式成立：,（4-48）,公式（4-48）就是质量元件两端状态向量间的关系方程，状态向量从（i-1）变换到状态（i），只要对（i-1）状态向量乘式（4-48）右侧的方阵即可，这个方阵叫做点传递矩阵，并标记为：,4.3 多自由的固有振动近似解法,（4-49）,根据公式（4-48）和（4-46），就可以对弹簧-质量系统的自由振动问题从边界开始进行依次计算。在这些推移计算公式中包含有固有频率2，因此可以用试算法解出2。对单元不多的系统也可以用矩阵连乘后展开，然后用解代数方程法求得2值。,谢谢大家,