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1、1,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第十一章,2,第一节 常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、收敛级数的基本性质,3,计算半径为R的圆面积.,依次作圆内接正,边形,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示第k次边数,增加时增加的面积,则圆内接正,一、常数项级数的概念,引例1.,4,小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减,少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.,由自由落体运动方程,知,则小球运动的时间为,(s),设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,引例2.,5,定义1 如果给定一个数
2、列,由数列构成的表达式,叫做常数项无穷级数,简称常数项级数.,其中:,部分和数列,定义2,其极限s 称作级数的和，并记作,如果,如果部分和数列没有极限，则称级数发散.,说明：,级数 对应于数列,级数和 对应于数列 的极限,6,称为级数的余项.,显然，有,当级数收敛时,解,级数收敛;,例1 讨论等比级数(又称几何级数)：,若,若,级数发散;,若,若,随n 的取奇、偶数而等于a 或0，,级数发散;,级数发散;,级数收敛;,级数发散.,所以:,7,例如,发散。,补充,解,8,部分和为,级数发散.,解,故级数收敛.,证,例3中级数改为,思考：,9,二、收敛级数的基本性质,性质1,性质2,在级数中去掉、
3、加上或改变有限项，敛散性不变.,性质3,（但一般情况下收敛级数的和会改变）.,均收敛.,收敛和不同.,10,成的级数仍收敛，且其和不变.,性质4,例如,注 逆命题不成立.,推论：若加括弧后所成的级数发散，则原来级数也发散.,证,性质5(级数收敛的必要条件),11,注,如果级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散.,例如：调和级数,但它是发散的.,显然有,证(反证法)：设,又,12,思考：,发散还是收敛?,发散还是收敛?,（K=0时收敛）,（不一定，如）,（发散）,13,级数发散.,解,练习：判别级数的敛散性：,原级数发散.,14,思考：,（K=0时收敛）,（不一定，如）,（发散）,15,1 小结：,1.级数：,2.前 项和（部分和）,若,则称级数（1）收敛,记,且收敛和为,则称级数（1）发散.,（1）,3.性质(5个),(3)去掉、加上或改变有限项，保持敛散性不变；,(4)去掉括号，保持收敛性不变(增加括号，保持发散性不变).,作业：12,16,练习：判别下列级数的敛散性,17,解,所以级数收敛.,所以级数收敛.,所以级数发散.,（1）,（2）,（3）,所以级数发散.,（4）,（5）,收敛.,
