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1、机械振动,第 四 章,第四章 机械振动,4.1 简谐振动4.2 谐振动的能量4.3 谐振动的旋转矢量投影表示法4.4 谐振动的合成4.5 阻尼振动 受迫振动 共振,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动,什么是机械振动？,机械振动最显著的两个特点：(1)有平衡点；(2)具有重复性，是周期性振动。,特点：具有重复性，即周期性。,振动：指任何一个物理量（）在某一确定值附近的反复变化过程。,例如:一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.,机械振动的分类,按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。,按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。,按自由度分：单自由度系统、多自由度系统
2、振动。,按振动位移分：角振动、线振动。,按系统参数特征分：线性、非线性振动。,简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。,复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。,什么是简谐振动？,4-1 简谐振动,物体所受回复力的大小与位移成正比，而方向相反的运动称“简谐振动”。,谐振子：做“简谐振动”的物体称为谐振子。,谐振系统：谐振子+施力物体。,弹簧振子,一、简谐振动的特征方程,以弹簧振子为例！,1.动力学特征方程,注意：不能仅局限于虎克定律上。如钟摆：,合外力,简谐振动运动学特征方程：,由牛顿第二定律:,一、简谐振动的特征方程,2.运动学特征方程,3.简谐振动的运动方程（振动方程）,A、为积分常数
3、，由初始条件确定,一、简谐振动的特征方程,2.运动学特征方程,1.动力学特征方程,速度、加速度与时间的函数关系为:,二、简谐振动的速度和加速度,A、为积分常数，由初始条件确定,取,三、描述简谐振动的物理量,振幅、频率和周期、相位和初相,(1)振幅A：离开平衡位置的最大位移的绝对值。,(2)频率和周期 周期T：完成一次全振动所需的时间 频率：单位时间内全振动的次数。角频率：,三、描述简谐振动的物理量,(3)相位和初相位,存在一一对应的关系;,初相位 描述质点初始时刻的运动状态.,(3)相位和初相位,相位(t+)：决定谐振子运动状态,在一次全振动中，谐振子有不同的运动状态，分别与02 内的一个相位
4、值对应。,初相位：t=0时的相位。,三、描述简谐振动的物理量,(1)振幅A：离开平衡位置的最大位移的绝对值。,(2)频率和周期,四、决定 的因素,1.决定于振动系统本身，与振动方式无关,2.决定于初始条件（t=0）：x0，v0,a.公式法,b.分析法,例1:某物体作谐振动，振动方程为：则该物体振动的振幅、圆频率、频率、周期、初相以及初始时刻的位移、速度、加速度各是多少？,例2:一个轻弹簧竖直悬挂，下端挂一质量m的物体，平衡时可使弹簧伸长b。今用手托起物体使弹簧处于原长，由静止释放。试证物体作简谐运动，并写出运动表达式。,例3:已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中数据写出振动表达式。,
5、由图可见，A=2m,当t=1s时，有,解：,4-2 简谐振动的能量,简谐振动的动能,简谐振动的势能,简谐振动的总能量,一、简谐振动的(瞬时)能量,弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。,动能和势能都随时间作周期性变化，其周期是简谐振动x(t)的周期的1/2,能量特征,简谐振动的动能,简谐振动的势能,简谐振动的总能量,平均动能,平均势能,二、一个周期内的平均能量,简谐振动的动能,简谐振动的势能,例4：一物体沿x轴作简谐振动,振幅为周期,位移为6cm且向x正方向运动，求：1)初位相及振动方程；2)时，物体的位置、速度和加速度；3)处，向x轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一
6、位置回到平衡位置所需的最短时间；,4-3 简谐振动的旋转矢量表示法,当一矢量A绕其一端点以角速度旋转时，另一端点在x轴或y 轴上的投影点上将作简谐振动。,设t=0时，A与x轴夹角为，t 时刻，A转过 t角，则矢量端点在x轴上投影点坐标为,x=Asin（t+）,演示程序：旋转矢量表示法,例题4 一水平弹簧振子，振幅A=2.0102m，周期T=0.5s。当t=0时，（1）质点过x=1.0102m处，向负方向运动；（2）质点过x=1.0102m处，向正方向运动。分别写出两种情况谐振动的运动方程。,解（1）根据题意，t=0时，x0=A/2，且v00，可得旋转矢量的初始位置（如图）。由题图可得谐振动的初
7、相,=2/T=4 radS1，A=2.0102m,谐振动运动方程为,（2）,几种常见的简谐振动,单摆,在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率、振动的周期分别为：,结论,当 时,演示程序：单摆,复摆,任意形状的刚体悬挂后绕通过O点的一固定轴作小角度摆动,J0为刚体绕O 轴的转动惯量，h为刚体重心到O点的距离,例如：一长度为l匀质细长杆悬挂其一端作小角度摆动，h=l/2,无阻尼LC电磁振荡,由电感L和电容C组成的无阻尼电磁振荡电路中，C中电场和L中磁场相互转化，电路中电流i和电容极板上电量q将作周期性变化，任一时刻，L上电压均等于C两端电压，,证 设棒长为2R，质量为m，设细棒转离平衡位置 角时，细线和直线的夹角为，则有l=R。在细棒扭动时，其质心沿轴oo上下运动。,质心相对于平衡位置的高度 hc=l(1cos),质心速度,杆的平动动能,系统绕质心的转动动能,系统势能,由于细棒扭动角度很小，2为二级小量，故Ekc可忽略不计,不计阻力时，系统机械能守恒,微小角度振动,系统的振动周期,对时间t求导,小 结,1 简谐振动的基本方程,2 简谐振动的特征量,3 简谐振动的能量,4 简谐振动的旋转矢量表示法,5 常见的简谐振动,
