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1、第四章流体的运动,内 容 提 要,理想流体的定常流动连续性方程、伯努利方程及其应用黏性流体的两种流动状态、哈根-泊肃叶定律斯托克斯定律,第一节理想流体的定常流动,一、理想流体,理想流体(ideal fluid)：绝对不可压缩的、完全没有黏性的流体。,实际流体都是具有黏性的和可压缩性的。黏性较小的液体和在流动过程中几乎没有被压缩的气体都可以视为理想流体。在一些实际问题中，可压缩性和黏性只是影响运动的次要因素，只有流动性才是决定运动的主要因素，因此往往可以采用理想流体模型。,二、定常流动,1 描述流体运动的两种方法,拉格朗日法着眼于流体质点，研究各个流体质点的运动及物理量随时间变化，再综合所有流体
2、质点的运动后便可以得到整个流体的运动规律。,欧拉法着眼于空间点，研究流动空间点上各种物理量的变化。,2 流体运动的基本概念,空间的每一点都有不随时间而改变的物理量，即速度、压强和密度等物理量仅是空间点坐标的函数。,如果水箱较小以致液面随时间增长而下降，各点的速度将随时间而变，故此管路为非定常均匀流，如果水箱中的水位保持恒定，则整个管流为定常均匀流。,迹线：流体质点在空间运动的轨迹。,流线：空间曲线，曲线上任何一点的切线方向都与流体通过该点时的速度方向一致。,（1）流线不相交，也不能是折线，而是光滑曲线或直线。,（2）定常流动，流线的形状和位置都不随时间而改变。,（3）定常流动时，流线和迹线重合
3、。,流管：在流场中任取不与流线重合的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线所构成的管状表面称为流管。,流管内外的流体不会穿越管壁。,三、连续性方程,单位时间内通过某一过流断面的流体量称为该断面的流量。若通过的量以体积计量则称体积流量，用QV表示。若通过的量以质量计量，则称为质量流量，记为Qm。,体积流量,单位：m3/s,质量流量,单位：kg/s,（质量流量）,不可压缩的流体作定常流动时，流管上两个截面处的流量相等。,流管有分支时：,连续性方程,例1输水管道经三通管分流，已知管径d1=d2=200mm，d3=100mm，断面平均流速1=3m/s，2=2m/s，试求断面平均流速3。,解,流入和流
4、出三通管的流量相等，即,第二节伯努利方程及其应用,设理想流体在重力场中作定常流动，t 时刻 之间的流体，经过 时间，移动到。,一、伯努利方程,在 时间内，、处流体分别移动、。,伯努利方程,如，具体对水平流管有：,理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，或者同一根流线的不同位置处，单位体积内流体的动能、势能与该处的压强之和是常量。,x,0,x,H,h,例2在截面积So很大的圆筒中储有高度为H的水，在桶的侧面高度h处开有一个面积为s的小孔。求:（1）高度h为多大时，水在地面的射程xmax最大，并求出该最大射程；（2）小孔为该高度时，水从开始射出到停止射出需要多少时间。,（1）设水从小孔射出的速
5、度大小为v，因水桶的截面积远大于小孔面积，水面下降的速度可以忽略。从液面到小孔处构造流线，对该流线两端应用伯努利方程得：,显然,解得,又因为,得到,时，,相当于自由落体下落的速度大小,解,（2）当小孔开在H/2处时，设水从开始流出到停止流出所花时间为to，考察流出过程中的任意一个时刻t，此时，从小孔流出的水的流速大小为v，水面高度为y，由前面论证可得：,圆筒中水的体积,由于,整理以上三式得,分离变量积分,我们发现，该时间相当于自由落体下落的时间乘以因子So/s,1空吸作用,水流抽气机,水平管,二、伯努利方程的应用,文丘里流量计,2流量计,皮托管测量液体和气体的流速,3流速计,粗细均匀的虹吸管中
6、，高处液体的压强小于低处的。,例如水：,4虹吸管,一、牛顿黏性定律,黏性是运动流体内部所具有的抵抗剪切变形的特性。它表现为运动着的流体中速度不同的流层之间存在着沿切向的黏性阻力（即内摩擦力）。,由于内摩擦力，平板和壁面间各流层速度沿流层法线方向变化，呈速度梯度分布。,第三节黏性流体的运动,牛顿黏性定律,为动力黏度，单位。黏度的大小取决于流体本身的性质。液体的黏度随温度的升高而减小，气体黏度随温度的升高而增大。,二、黏性流体的两种流动状态,1两种流态,黏性流体在管中分层流动，各流层之间仅作相对滑动而不混合，叫层流。当层流被破坏，各个流层混淆，甚至可能出现涡漩，叫湍流。,实验结果表明：当流速增大到
7、某一临界值 后，层流转变为湍流；当流速降低到某一临界值c后，湍流转变为层流。,2雷诺数,通常用雷诺数(Reynolds number)来确定流体的流动形态是层流还是湍流。,流层和湍流的转变速度与流体的密度、流体的黏度和过流断面的形状(例如管径d)等因素有关。,层流,湍流,过渡流,对于圆管流来说，实验得出：,一般把下临界雷诺数作为层流、湍流的判别标准。,例3水在内径d=100mm的管中流动，流动速度u=0.5m/s，水的运动黏度（=/）=110-6m2/s，试问水在管中呈何种流动状态？如果管中的流体变为油，流动速度不变，但运动黏度=3110-6m2/s，试问油在管中又呈何种流动状态？,解,对于水
8、：,湍流,对于油：,层流,三、黏性流体的运动规律,黏性流体在流动过程中，对所选流管内的流体存在着黏滞阻力，因此对流管内的流体作负功w，伯努利方程变为：,上式中w 是指单位体积的不可压缩的黏性流体，从一处运动到另一处时，克服黏性力所做的功或损失的能量！,1 沿程能量损失,沿程能量损失均匀分布在整个流段上，与流段的长度成比例。,2 局部能量损失,在边壁沿程急剧变化（边壁形状、尺寸、过流方向等有变化），流速分布发生变化的局部区段上，集中产生的流动能量损失称为局部能量损失。如断面的突然扩大或突然缩小、喷管、异径管、弯管、三通、阀门等各种管件处的能量损失，都是局部能量损失。,在不可压缩的黏性流体作定常流
9、动时的伯努利方程中，w应该等于沿流程上各段的沿程能量损失与所有局部能量损失之和。,例4水通过直径为20.0cm的管子从塔底部流出，塔内水位高出出水口25.0m，并维持其水位不变。已知管路中的沿程能量损失和局部能量损失之和为24.5mH2O。求每小时由管口排出的水量。,每小时流量：,黏性流体的定常流动。对图中1、2两处有：h2=0,v1v2,p1=p2=p,解,一、圆管中的层流运动,1流动特征,不可压缩的牛顿黏性流体在均匀水平管中作定常流动时，如果雷诺数不大，流动的形态是层流，各流层为从圆筒轴线开始，半径逐渐增大的“薄皮”圆筒形。流速从轴线处向外逐渐减小，在管壁处为零。,第四节泊肃叶定律,2流速
10、分布,流体元两端压力差：,流体元侧面受黏性力：,定常流动时：,3流量,流阻：,哈根-泊肃叶定律表明：牛顿黏性流体在均匀水平管中流动时，流量与管两端的压强差成正比，与其流阻成反比。,哈根-泊肃叶定律,第五节斯托克斯定律,当固体在黏性流体中运动时将受到黏性阻力。实验规律指出，对于球形物体，若物体运动的速度很小，所受到的黏性阻力为：,斯托克斯定律(Stokes law),黏性阻力与速度成正比。因此，如果一个物体由静止开始在黏性流体中竖直下落，那么随着速度的增加，黏性阻力也增加。到达一定速度时，重力、浮力、黏性阻力三者平衡，此时的速度叫收尾速度(terminal velocity)。,半径为r、密度为的球体在密度为的流体中下落时的收尾速度：,
