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1、,第五章角动量守恒与刚体的定轴转动,51 角动量与角动量守恒定律,52 刚体的定轴转动,53 刚体定轴转动中的功能关系,第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动,54 刚体进动,55 对称性和守恒定律,教学基本要求,一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.,二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.,三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.,能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.,四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律,51 角动量与角动量守恒定律,一、
2、质点的角动量定理和角动量守恒定律,动量和位矢是描述物体运动状态的状态参量。但是，动量并不适合描述物体的转动。比如，绕轴转动的飞轮，在质心系中，质心静止，飞轮总动量为零。类似于描述转动运动时的引入的角量(角速度和角加速度),引入一个与动量对应的角量-角动量,也称动量矩.,1.质点的角动量(angular momentum),51 角动量与角动量守恒定律,角动量（也称动量矩）定义,质量为 的质点以速度 在空间运动,某时刻相对原点 O 的位矢为,质点相对于原点的角动量定义为:,角动量在动量的基础上考虑了角度的因素。,51 角动量与角动量守恒定律,角动量（也称动量矩）方向与大小,方向:的方向垂直于 和
3、 所组成的平面,符合右手法则.,右手四个手指指向位矢的正方向沿着小于180度的方向转向动量的正方向。大拇指的方向即为角动量的方向。,大小:,单位:,是从位矢转到动量且小于180度的角,量纲？,（圆运动）,说明,a).并非质点作周期性曲线运动才有角动量.,b).质点的角动量是相对于选定的参考点定义的.,a,b,c,o,质点以动量 p 在沿直线运动，原点与直线的距离是d,d,是矢量,是状态量.它与参考系和参考点都有关.,如图质点m以速率v 做圆锥运动,求对O 点和对O点的角动量.设摆长为b.,解 如图对O点,方向:,向上,是常矢量.,对O点,方向:,垂直摆线向外,方向始终在变,其端亦在水平面内画一
4、圆.不是常矢.,2.质点的角动量定理,(牛顿第二定律)：质点所受合力等于质点动量随时间的变化率。角动量随时间的变化？,力的作用点相对于参考点的位矢与力的叉乘积定义为力对参考点的力矩，以M表示,力矩,参考点指向质点的位置矢量.,力矩是一个矢量,方向：右手四个手指指向位矢的正方向沿着小于180度的方向转向力的正方向。大拇指的方向即为力矩的方向。,大小：,d参考点到力的作用线的垂直距离.,单位：Nm 量纲：ML2T-2,角动量随时间的变化,质点所受合外力对任一参考点的力矩等于质点对该点角动量随时间的变化率.,这是质点角动量定理的微分形式,冲量矩（或者角冲量）定义：力矩对时间的积分,冲量矩反应的是力矩
5、的时间累积效应.,这是质点角动量定理的积分形式,质点所受合外力的冲量矩等于质点角动量的增量.,牛顿定律,质点角动量定理,惯性系,3.质点的角动量守恒定律,恒矢量,质点所受合外力对某一固定点的力矩为零,则质点对该点的角动量保持不变.,b)合外力不为零,合外力是有心力.,力矩为零的两种可能 a)合外力为零,质点不受外力作用.,即力的作用线始终通过某一个固定点，这样的力成为有心力，这个固定点称为力心。此时，力平行于位矢，两者夹角为0，力矩为零,在有心力作用下，质点角动量守恒。,比如，行星绕太阳的运动,分析：卫星绕地球运行，所受力主要是地球引力，其他力忽略不计。万有引力是有心力，故卫星在运动过程中角动
6、量守恒，建立如图坐标系，则：,卫星绕地球运行，近地点到地面距离是l1=439km，远地点离地面距离是l2=2384km，若卫星在近地点速率为v1=8.1km/s，求卫星在远地点速率v2,角动量守恒：,二、质点系的角动量定理和角动量守恒定律,定义:组成质点系的各质点对给定参考点的角动量的矢量和.,1.质点系的角动量,2.质点系的角动量定理,内力矩：系统内其他质点对质点i 的力矩,对其求导，有：,质点系角动量：,对其中的一个质点i而言：,外力矩：系统所受外力对质点i 的力矩,2.质点系的角动量定理,系统的内力矩：表示整个系统内各质点间相互作用对参考点的力矩的矢量和。,对其中的一个质点i而言：,对整
7、个质点系而言：,2.质点系的角动量定理,内力的力矩,因质点i与质点 j 间的相互 作用力关系为,且二力到参考点O的垂直距离相等，,故成对出现的内力对O点的力矩矢量和为零.即,力矩的大小：,质点系的角动量随时间的变化率等于它所受到的合外力矩.,这称之为质点系角动量定理的微分形式,力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理.,力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.,作业：课后列一个表格，指出上述每个物理量（定律）的定义（或者方程）,质点系所受到的合外力矩：,是每个合外力对同一个参考点的力矩的矢量和，即：,外力矢量和的力矩：,一般情况下，两者不相等，即,质点系角动量定理的积分形式,质点系获得的
8、冲量矩等于其角动量的增量.,左边：质点系获得的冲量矩右边：角动量的增量,3.质点系的角动量守恒定律,恒矢量,质点系所受合外力矩为零时,其角动量在任意时刻都保持不变.,即若外力对参考点的力矩的矢量和（注意不是外力的矢量和）始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变.,根据,某过程角动量守恒要求整个过程的每个瞬间的系统角动量保持不变。角动量守恒条件是合外力矩始终为零，而非冲量矩为零（只要初末状态角动量相等）,注意,恒矢量,以O为参考点，球运动一周，始末状态角动量相等，但是这个过程角动量不守恒。,系统动量守恒的条件与角动量守恒的条件,注意,恒矢量,系统所受合外力为0，动量守恒；系统所受合外力矩为0，角
9、动量守恒；系统动量守恒但角动量不一定守恒，反之亦然,恒矢量,随堂小议,结束选择,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,（请点击你要选择的项目）,两人质量相等,O,一人握绳不动,一人用力上爬,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,2012-11-8,小议链接1,结束选择,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接2,结束选择,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接
10、3,结束选择,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接4,结束选择,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议分析,T1,T2,m1g,m2g,分析：证明运动过程中角动量守恒，根据角动量守恒的条件，应该首先证明质点在运动过程中所受合外力矩为零.,例1 质量为m的质点，在 xy 平面内运动，质点的矢径为 其中a,b,均为正常量，且ab,证明运动过程中角动量守恒求其大小及方向.,m,证:先证明质点在运动过程中所受力矩为零.,例1 质量为m的质点，在 xy 平面内运动
11、，质点的矢径为 其中a,b,均为正常量，且ab,证明运动过程中角动量守恒求其大小及方向.,m,这个力是有心力.,质点在运动过程中所受力矩为零.,按定义,有,角动量是常矢量，指向z轴，大小为mabw,例2 在光滑的水平面上,质量为M的木块连在劲度系数为k原长为 的轻弹簧上,弹簧的另一端固定在平面上的O点.一质量为m的子弹,以水平速度(与OA垂直)射向木块,并停在其中,然后一起由A点沿曲线运动到B点.已知OB=l,求物体在B点的速度的大小和 角的大小.,分析:首先要对问题的物理过程有一个明确的认识,过程一：m与M碰撞，直到两者相对静止；过程二：m与M从相对静止开始，一起运动到B处,过程一：m与M碰
12、撞，直到两者相对静止；在这个过程中，时间很短，以m与M为一个系统，对于这个由m与M 组成的系统而言，合外力虽然不为零,但是在这类碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中,内力外力,则可略去外力,可以认为受到的合外力为零，认为系统动量守恒.,过程二：m与M从相对静止开始，一起运动到B处；在这个过程中，m与M 以及弹簧组成一个系统。由于重力和弹性力为保守力，所以体系只有保守内力做功。因此机械能守恒。,在整个物理过程m与M是在光滑的水平桌面上,A,B,m,M,M,l0,l,在整个物理过程（一和二）中m与M是在光滑的水平桌面上，其受到弹簧的拉力，重力和支持力。拉力是有心力指向O，重力和支持力垂直两者
13、的位矢方向。所以，对m和M而言，合外力矩为零，,整个过程角动量守恒,例2 在光滑的水平面上,质量为M的木块连在劲度系数为k原长为 的轻弹簧上,弹簧的另一端固定在平面上的O点.一质量为m的子弹,以水平速度(与OA垂直)射向木块,并停在其中,然后一起由A点沿曲线运动到B点.已知OB=l,求物体在B点的速度的大小和 角的大小.,联立三式,可解得:,解:设子弹入射木块后的速度为.根据动量守恒,机械能守恒和角动量守恒,有,试问:是否可以对全过程用机械能守恒定律计算,为什么?,52 刚体的定轴转动,一、定轴转动刚体的角动量和转动惯量,现只考虑刚体绕固定轴转动的情况：刚体上各质点都在各自的转动平面上绕固定轴
14、以相同的角速度w 转动。,1.定轴转动刚体的角动量,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）；刚体可以看作质点系,方向:沿轴方向,若在轴上选定正方向,则定轴转动刚体的角动量沿着该方向.,质量为 的第 个质点到转轴的距离为,刚体以角速度 绕定轴转动时,可得定轴转动刚体的角动量为:,据,2.转动惯量,定轴转动刚体的角动量,角速度,平动问题中的动量,类似于平动中质量，质量又是惯性的量度，故定义一个新的重要物理量：转动惯量J,转动惯量：,转动惯量等于各质量元的质量与其到转轴距离平方的乘积之和。转动惯量的物理意义：转动惯性的量度,单位:,转动惯量具有可加
15、性。即一个具有复杂形状的刚体，如果可以分割成若干个简单部分，则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯量之和。,定轴转动刚体的角动量,转动惯量：,对于质量连续分布刚体的转动惯量，积分取代求和,：质量元,：质量元到转轴距离,1）1D问题，对质量线分布的刚体：,：质量线密度,2）2D问题，对质量面分布的刚体：,：质量面密度,3）3D问题，对质量体分布的刚体：,：质量线密度,例1 求质量为,半径为 的均匀薄圆盘,对通过盘中心且与盘面垂直的轴的转动惯量.,分析：这样一类问题，首先要明确问题的维数。然后，采用对应的方程，通过微元的思想求解。该题是一个二维圆盘的转动惯量的求解,：质量面密度
16、,2D问题，对质量面分布的刚体：,微元的转动惯量：,例1 求质量为,半径为 的均匀薄圆盘,对通过盘中心且与盘面垂直的轴的转动惯量.,解 设圆盘面密度为，在盘上取半径为,宽为 的圆环.,dr圆环质量：,dr圆环对轴的转动惯量：,dr圆环面积：,分析：这样一类问题，首先要明确问题的维数。然后，采用对应的方程，通过微元的思想求解,例2 一质量为,长为 的均匀细杆的转动惯量.(1)转轴垂直于杆并通过杆的中点;(2)转轴垂直于杆并通过杆的一端.,1D问题，对质量线分布的刚体：,是质量线密度,微元的转动惯量：,解 在杆上任取一长度元,该线元的质量为,例2 一质量为,长为 的均匀细杆的转动惯量.(1)转轴垂
17、直于杆并通过杆的中点;(2)转轴垂直于杆并通过杆的一端.,转轴过端点:,故对中心转轴:,对于质量连续分布刚体的转动惯量，积分取代求和,：质量元,：质量元到转轴距离,1）1D问题，对质量线分布的刚体：,：质量线密度,2）2D问题，对质量面分布的刚体：,：质量面密度,3）3D问题，对质量体分布的刚体：,：质量线密度,*平行轴定理,该题说明转动惯量取决于刚体的质量,形状及转轴的位置.,质量为 的刚体,如果对其质心轴的转动惯量为,则对任一与该轴平行,相距为 的转轴的转动惯量:,例2第二问结果可改写为,几何形状不规则的刚体的转动惯量,由实验测定.,求：钟摆绕o轴转动惯量.,例：已知杆长为 质量为，圆盘半
18、径为 质量为.,钟摆绕o轴转动,转动惯量具有可加性。即一个具有复杂形状的刚体，如果可以分割成若干个简单部分，则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯量之和。,解：,钟摆绕o轴转动惯量Jo等于杆绕o的转动惯量加上盘绕o的转动惯量,圆环转轴通过中心与盘面垂直,r,圆环转轴沿直径,r,*常见刚体转动惯量,薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直,r2,r1,圆筒转轴沿几何轴,r,l,r,圆柱体转轴沿几何轴,l,r,圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直,l,细棒转轴通过中心与棒垂直,l,细棒转轴通过端点与棒垂直,2r,球体转轴沿直径,2r,球壳转轴沿直径,质点系的角动量定理：质点系的角动量随时间的变化
19、率等于它所受到的合外力矩。,二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,1.刚体定轴转动的角动量定理,刚体的角动量随时间的变化率等于它所受到的合外力矩.,刚体定轴转动角动量定理的微分形式,刚体可以看作质点系：,刚体定轴转动角动量定理的积分形式,刚体角动量的增量等于刚体受到的冲量矩.,根据,定轴转动刚体的角动量,转动惯量：,2.角动量守恒定律,恒矢量,刚体所受合外力矩为零时,其角动量守恒.,角动量守恒实例,茹科夫斯基转椅,分析：首先明确物理过程这个问题有两个物理过程。一个是子弹射击棒，在合格过程中，棒给子弹以阻力，从而改变子弹的速度即动量，可以通过动量定理分析；一个过程是，棒在子弹的反作用下，
20、开始绕o点转动，可以通过角动量定理分析。,例 一质量为M,长度为l的均匀细棒,可绕过其顶端的水平轴O自由转动,质量为m的子弹以水平速度 射入静止的细棒下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒所获得的角速度.,解法一：用动量定理和角动量定理求解.,设棒对子弹的阻力为f,对子弹使用则由动量定理,子弹对棒的冲击力为f,则由角动量定理,而,得:,则,解法二：用角动量守恒定律求解.,以细棒和子弹为一个系统，在打击的过程中，弹与棒的作用力为内力，而o点对轴的作用以及重力在子弹接触棒和离开棒瞬间这个过程中，由于位矢与力的方向一致，故都不产生力矩，所以系统所受合力矩为零,角动量守恒.,由此解得:,三、刚体定轴转动定律(law of rotation),刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。这就是刚体定轴转动定律,注意 刚体定轴转动中得转动定律与牛顿定律在质点直线运动中得地位相当.,定轴转动刚体的转动惯量是一个为常量，与时间无关,例 质量为m,长为l 的均质细杆,可绕水平的光滑轴在竖直平面内转动,转轴在杆的A 端.若使棒从静止开始由水平位置下摆,求：杆摆至铅直位置时的角速度和角加速度.,解：考虑摆动到如图位置,力N 对轴无力矩,重力的力矩为:,根据转动定律,有:,分离变量,求积分可得:,解之得:,将,代入,得,因为在铅直位置,
