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1、第二、三篇,实验六：股票期权定价问题,实验6,(Matlab),股票期权定价问题,、问题,二次世界结束后，战胜国们商量着成立了一个处理世界事务的联合国，但联合国安在哪儿没有着落，这是一个千载难逢的好机会。美国的洛克菲勒家族闻讯马上在纽约买下一块地皮，无条件地捐赠给联合国，在买下这块地皮的同时，洛克菲勒家族还将与这块地皮比邻的地皮全部买下来。联合国大楼建成后，四周的地价立即飚升起来，洛克菲勒家族送给联合国的地皮时价为870万美元，而它的回报却不知有多少个870万。因此,在今天的金融市场，到处充满机会，估计并计算机会的价值有着十分重要的意义。,在世界大多数证券市场上,有一种期权(option)的交
2、易。例如,某种股票的现价为S=42美元,该股票的年波动率S=20%,市场的无风险年利率r=10%;若客户希望拥有在六个月即半年后以约定价格X=40(美元)购进这种股票的权利,而且届时他也可以放弃这种权利。试问：为拥有这种购买的选择权,客户该付多少钱?换言之,这种期权的价格为多少?,二、实验目的,本实验涉及到期货的概念和知识，二叉树（Binomial tree）方法。了解期权定价问题的一个离散数学模型。通过实验与计算，找到最佳机会价值。,1股票的期权，约定价格，看涨期权，看迭期 权，美式期权，套期保值。2.BlackScholes公式，二叉树（Binomial tree）方法。,三、预备知识,四
3、、实验内容与要求,1.了解和计算简单二项式模型的机会价值。2.了解和计算两期二项式模型的机会价值。3.进一步，由于股票价格的变动是按月、按星期、按天、按小时变化的，当时间步长 t0时，以上情形的极限。,五、模型分析与操作提示,1、基本概念,期权是一种选择权。期权持有者拥有在约定期限以约定价格向期权提供者购买或售出某种资产的权利，而且期权持有者可以选择执行或不执行这种权利。对应购买和售出，期权分别称之为看涨期权(call option)和看迭期权(put option)。另外，期权的执行也有两种类型：只能在期满日执行的称为欧式(European)期权，可以在期满日及之前执行的称为美式(Ameri
4、can)期权，显然上述讨论的股票是欧式看涨期权。,。,无风险利率：国有银行的利率可以认为是无风险利率。比如投资人将100元存入银行，无风险利率为0.12，不管银行如何处理这些钱，也不管银行是赔是赚，一年后，银行必须连本带利还给投资人112元。因此这种行为对投资人而言，没有任何风险，故称无风险利率。,套利概念：简单地说就是年初投资者不用从荷包里掏一分钱，但到年底却可以赚钱，这种情形就称为套利。比如当金融市场不健全时，A银行的贷款利率为0.10，而B银行的贷款利率为0.12，则投资者年初从A银行借100元即存入B银行，到年底时，B银行连本带利还投资者112元，但投资者还A银行贷款连本带利仅110元
5、，投资者纯赚2元，这种情况就是套利。,2.计算简单二项式模型的机会价值,某股票现行价格为20元，根据某些信息预知，一年后该股票的价格或者升到30元，或者下迭到10元，假设一年期间该公司股票不支付任何红利。现在有一个机会，可以签订一个合同，合同规定：购买该合同的一方在一年后有权以22元的协定价格购买一定数量的该公司的股票，但没有义务非购买不可。也就是说，一年后当股票价格上升为30元时，他可以只用22元购买，但是当股票价格下迭到10元时，他可以放弃购买（不赔钱，但损失购买机会合同的成本），问：合同的卖出方，如何给合同定价？,分析如下：将问题用示意图表示，,当前股票价格S=20元,概率p Su=30
6、元(一年后),概率1-p Sd=10元(一年后),在计算合约价值时，通常的办法是用无风险资产组合来复制机会合约，进而计算出机会合约的价值。,可以构造一种资产组合：一份空头机会合约和多头k股公司股票。首先计算机会合约在期末的价值。当股票上涨到30元时，机会合约值30-22=8元；当股价下迭至10元时，低于协定价22元，放弃购买权力，机会合约价值为0；由于不存在套利机会，故无论股价上升还是下迭，投资组合的价值应完全相等，即 30k-8=10k-0得k=0.4。即股价上升时，投资组合的价值=300.4-8=4股价下跌时，投资组合的价值=100.4-0=4,表明：构造上述投资组合以后，无论股票价格是上
7、涨还是下迭，投资者总可以获得不变的组合价值。即该投资组合的收益率应该等于将钱存入银行而获得的无风险利率，因此可以计算出将期末的4元折回到期初的价值为,设期初机会合约价格为f，则由资产组合在期初的价值知：3.57=20k-f=200.4-f所以 f=4.43,这说明：在无套利条件下，该机会合约的价格为4.43元，它是一种均衡价格，当卖出合约的价格低于或高于该价格时，都会出现套利。人们常称机会合约为选择权即期权（options）,也称为以股票为基础资产的衍生产品。以上计算方法是从期末开始向期初倒推，称为后向式动态规划。其Matlab程序为：,Mzy1.m(一期二项式方法计算Call options
8、)clear;S0=input(输入当前股票价格：);E=input(输入协定执行价格：);u=input(输入上升比例 u：);d=input(输入下降比例d：);r=input(输入无风险利率r：);if any(S00.输入u(1+r)d.)returnend,fu=max(u*S0-E,0);fd=max(d*S0-E,0);p=(1+r-d)/(u-d);f=(p*fu+(1-p)*fd)/(1+r);disp(所求的合约价值为：);f上例中，S=20;E=22;u=1.5;d=0.5;r=0.12,也可以修改参数，观察结果的变化：输入当前股票价格：20输入协定执行价格：22输入上升
9、比例 u：1.5输入下降比例d：0.5输入无风险利率r：0.12所求的合约价值为：f=4.4286,一般地，假设某股票的当前价格为S，设当前时间为t=0,期末时间为T=1。在期末T，股价的变化有两种可能：一种是上升到uS，另一种是下降到dS，其中u1,0d1。假设无风险利率为r，机会合约的协定购买价格为E，市场无套利机会，fu与fd表示机会合约的价值，利用后向倒推动态规划方法：,;下降时,(2)构造资产组合：一份空头机会合约，k股公司 股票，为保证资产组合有确定的收益，有,解出,(3)在无套利的情况下，倒推折现到t期有资产组合 价值：,或,其中T-t=1,(1)期末:上升时,将k代入解出f得:
10、,其中,，而,恰好是期末的期望收益，且期望收益的折现(除以折现因子1+r)正好是机会合约的价值，其中p称为风险中性概率。,在上述简单二项式模型机会价值的计算过程中，u=1.5,d=0.5。现假设某股票价格仍为20元，每一步上升、下降的幅度不变，且时间步长为一年，年无风险利率为12%。如果有一个购买该股票的机会合约，规定投资者在第二期（2年后）有权以25元的协定价购买该公司的股票，在不存在套利机会时，试确定该机会合约的当前价格。分析如下：,3.计算两期二项式模型的机会价值,类似简单二项式模型的机会价值，可以画出如下两期二项式模型的股价上升、下降示意图。,20 15,30,45,10,5,（t=0
11、期）,（t=1期）,（t=2期）,在t=0时，S=20，根据u=1.5,d=0.5,则t=1时，uS=1.520=30,dS=0.520=10；t=2时，u(uS)=u2S=45,d(uS)=u(dS)=15,d(dS)=d2S=5。,u2S(,),uS(,),S uSd(,),(t=0期)dS(,),（t=1期）d2S(,),（t=2期）,按照倒推动态规划方法(1)期末t=2时，合约的价值：,1-p=0.38,（3）t=0时，合约的价值：,（2）期中t=1,合约的价值：,将协定价记为 E=25，计算结果表明该机会合约期初值6.13元。其相应的Matlab程序为：,Mzy2.m(一期二项式方法
12、计算Call options)S0=input(输入当前股票价格:);E=input(输入协定执行价格:);u=input(输入上升比例 u:);d=input(输入下降比例d:);r=input(输入无风险利率r:);if any(S00.输入u(1+r)d.)returnend,fuu=max(u*u*S0-E,0);fud=max(u*d*S0-E,0);fdd=max(d*d*S0-E,0);p=(1+r-d)/(u-d);fu=(p*fuu+(1-p)*fud)/(1+r);fd=(p*fud+(1-p)*fdd)/(1+r);f=(p*fu+(1-p)*fd)/(1+r);disp
13、(所求的合约价值为:);f,程序运行如下：输入当前股票价格:20输入协定执行价格:25输入上升比例 u:1.5输入下降比例d:0.5输入无风险利率r:0.12所求的合约价值为:f=6.1288,六、上机练习,1.某股票现行价格为20元，根据某些信息预知，一年后该股票的价格或者升到30元，或者下迭到10元,假设一年期间该公司股票不支付任何红利。现在有一个机会,可以签订一个合同，合同规定：购买该合同的一方在一年后有权以22元的协定价格购买一定数量的该公司的股票，但没有义务非购买不可。也就是说，一年后当股票价格上升为30元时，他可以只用22元购买，但是当股票价格下迭到10元时，他可以放弃购买（不赔钱，但损失购买机会合同的成本），问：合同的卖出方，如何给合同定价？,六、上机练习,2在上述简单二项式模型机会价值的计算过程中，u=1.5,d=0.5,现假设某股票价格仍为20元，每一步上升、下降的幅度不变，且时间步长为一年，年无风险利率为12%。如果有一个购买该股票的机会合约，规定投资者在第二期（2年后）有权以25元的协定价购买该公司的股票，在不存在套利机会时，试确定该机会合约的当前价格。3进一步，由于股票价格的变动是按月、按星期、按天、按小时变化的，当时间步长t0时，以上情形的极限。,
