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1、3.4.3 最小二乘格型算法（LSL）,本节讨论最小二乘意义下的自适应格型滤波算法.1.用矢量空间法描述前向和后向线性预测误差滤波器（1）阶前向预测 权系数矢量与预测矢量 阶前向预测值,可表示为 以前的 个数据的线性组合:,(3.4.85)式中 时刻 的第 个前向预测系数.将上式展开,可得前向预测矢量表示式:(3.4.86)其中,数据矩阵:(3.4.87)前向预测滤波器的权矢量:,应用式(3.4.79)和(3.4.80),可得在最小二乘意义下 的最佳解为(3.4.88)最佳前向预测矢量为(3.4.89)令数据空间 的投影矩阵为(3.4.90)则前向预测矢量(3.4.91)预测误差矢量和当前分量
2、 设数据空间 的正交投影矩阵为,则 时刻的预测误差矢量为(3.4.92)其中 时刻的当前分量(3.4.93),前向预测误差能量 即预测误差功率(又称为“预测误差剩余”),定义为预测误差矢量的内积(范数的平方),即(3.4.94)根据延时算子 的移位性质,由上式可以得到(3.4.95)（2）阶后向预测 权系数矢量与预测矢量 阶后向预测值,可表示为 以后的 个数据的线性组合:,(3.4.96)式中 时刻 的第 个后向预测系数.,将上式展开,可得后向预测矢量表示式:(3.4.97)其中,数据矩阵:(3.4.98)后向预测滤波器的权矢量:在最小二乘意义下,的最佳解为(3.4.99)最佳后向预测矢量为(
3、3.4.100)令数据空间 的投影矩阵为(3.4.101)则后向预测矢量(3.4.102),预测误差矢量和当前分量 设数据空间 的正交投影矩阵为,则 时刻的预测误差矢量为(3.4.103)其中 时刻的当前分量(3.4.104)后向预测误差能量 与前向预测类似,后向预测误差能量为(3.4.105)(3.4.106)2.前向和后向线性预测误差滤波器的参数更新（1）阶前向预测误差与递推公式 根据(3.4.93)给出的计算 阶前向预测误差当前分量 的公式:,可得 阶前向预测误差在 时刻的分量(3.4.107)其中,是对子空间 的正交投影矩阵.数据矩阵,是将列矢量 附加于 的最后一列的后面得到的新矩阵.
4、令则有:(3.4.108),将以上各式代入下式:得到(3.4.109)其中(3.4.110)(3.4.111),见西电教材p97,式(3.4.56),定义前向与后向两个预测误差矢量的相关系数(称为偏相关系数)为:(3.4.112)将式(3.4.109),(3.4.111)代入式(3.4.108),得(3.4.113)其中(3.4.114)称为前向预测误差更新的调整因子(阶后向反射系数).式(3.4.113)即为前向预测误差按阶递推(阶更新)计算公式,即由递推计算.特别注意到,在这种递推计算中,需要知道后向预测误差.(2)阶后向预测误差与递推公式 用以上类似方法,可导出后向预测误差阶更新计算公式
5、为,(3.4.115)其中,是后向预测误差更新的调整因子(阶前向反射系数):(3.4.116)(3)预测误差滤波器的格型结构 由式(3.4.113)和式(3.4.115),可得到最小二乘格型(LSL)预测误差滤波器(单级格型结构)如图3.4.8(a)所示.该滤波器的输入是 阶前向和后向预测误差,输出是 阶前向和后向预测误差.另由前向和后预测误差公式:,当 时,有(3.4.117)由此可画出 阶(多级)预测误差滤波器的格型结构,如图3.4.8(b)所示.由图可见,该滤波器是模块型结构(各级结构相同),每一级都只包含两个参数:前向反射系数 和后向反射系数.,（4）预测误差能量的更新 a）前向预测误
6、差能量按阶更新公式 由式(3.4.87)可知,前向预测误差能量,将 阶前向预测误差矢量 代入上式,得(3.4.118)令则有进一步得到,根据本教案p12-5,式(3.4.57),性质4:,将以上各式代入下式:得到前向预测误差能量按阶更新公式如下:(3.4.119)b)后向预测误差能量按阶更新公式 若令,用类似方法可得后向预测误差能量按阶更新公式为(3.4.120)(5)偏相关系数 和角参量 的更新 根据反射系数公式(3.4.114)和(3.4.116),在讨论了前向和后向预测误差能量按阶更新后,还需进一步解决前后向预测误差偏相关系数 的更新问题.,见西电教材p97,式(3.4.56),由于按阶
7、由 计算 存在困难,因此可按时间更新方法,从初值 开始,依次递推,直至.现令,同样利用 与 性质8:可以求得 的时间更新公式为(3.4.121)其中,角参量 是子空间 与 的夹角的余弦的平方,定义为(3.4.122)还可进一步求得(3.4.123),以及角参量的阶更新公式:(3.4.124)3.LSL自适应算法流程 以下归纳前向和后向反射系数更新计算问题,这也是LSL自适应算法的计算过程与流程.(1)初始化令,(为一个小的正数)(2)迭代计算(按时间),是给定的前向和后向误差能量的初值,若此值未预先给出,则可任意设定.,(3)迭代计算(按阶)按下列顺序计算:,注意:同阶的M+1嵌套着按时间的迭代运算.式(3.4.121).式(3.4.113)和(3.4.114)式(3.4.115)和(3.4.116)式(3.4.119),最后计算前向和后向反射系数:当 或 满足条件时,迭代终止.,式(3.4.120)式(3.4.124)式(3.4.114)式(3.4.116),
