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1、地下水动力学讲稿_第五讲,1,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,三、考虑弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流前述在研究越流补给时忽略了弱透水含水层的弹性释水补给，当弱透水层较厚时，这种补给量是可观的，不能忽略不计。（一）模型1、物理模型、基本假设与数学模型（1）物理模型1960年，M.S.Hantush提出的三层结构模型，根据弱透水层弹性释水与相邻含水层关系分三种情况进行了研究，如图4-16所示。1）与两弱透水相邻的越流含水层为定水头含水层；2）与两弱透水层相邻为隔水层；3）上弱透水含水层与定水头含水层相邻，下弱透水含水层与隔水层相邻。,地下水动力学讲稿_第五讲,2,地下水向完整井的
2、非稳定运动（续第四章）,（2）基本假设1）抽水含水层与弱透水含水层均质，各向同性且等厚（K1、K、K2，*1、*、*2，m1，M，m2）。2）含水层产状水平，无限分布；天然水力坡度为零。3）单井定流量抽水。4）抽水含水层抽水时能得到弱透水含水层弹性释水的补给；在弱透水层中水流垂直运动，抽水含水层水流水平运动。5）与弱透水层相邻条件：a)定水头含水层；b)隔水含水层；c)定水头含水层与各水含水层。,地下水动力学讲稿_第五讲,3,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（3）数学模型1）上弱透水含水层（仅有垂向运动）,地下水动力学讲稿_第五讲,4,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2）下弱透
3、水含水层（仅有垂向运动）,初始条件：,地下水动力学讲稿_第五讲,5,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,3）抽水（主）含水层（仅有水平运动）式中“正负”号表示上下弱透水层向主抽水层补给弹性释水和越流补给。,地下水动力学讲稿_第五讲,6,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（二）数学模型的求解1、求解思路上述数学模型为偏微分方程组，求解思路：第一步进行Laplace变换，化为常微分方程组；第二步进行Hankel变换，求解Bessel方程；第三步进行Hankel逆变换；第四步进行Laplace逆变换。可求出s(r,t),s1(r,z,t),s2(r,z,t)。详细求解过程可参考：张蔚榛：地
4、下水非稳定流计算和地下水资源评价，pp.81-109；Hantush,M.S.,Modification of the theory of leaky aquifiers;J.Geophy Research,Vol.65,No.11,地下水动力学讲稿_第五讲,7,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2、数学模型的解（1）三层结构，相邻含水层为定水头情况的解考虑弱含水层弹性释水时的简化近似解1）抽水初期当 和三种情况有相同的近似解，主抽水层的降深公式为：式中考虑弱透水层弹性释水的越流井函数可查表4-8，p.119，曲线见图-17。,地下水动力学讲稿_第五讲,8,地下水向完整井的非稳定运动（续
5、第四章）,余误差函数误差函数（概率积分）计算系数越流因素：,地下水动力学讲稿_第五讲,9,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2）抽水时间较久时的近似解a）相邻含水层为定水头情况下 降深公式可近似表示为式中 W(u1,)为不计弱透水层弹性释水的越流系统井函数。,当 和,地下水动力学讲稿_第五讲,10,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,b）两相邻层为隔水层降深公式可近似表示为式中：W(u2)为无越流含水层的井函数；,当 和,地下水动力学讲稿_第五讲,11,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,c）上相邻含水层为定水头含水层，下相邻层为隔水层住含水层的降深近似公式式中：W(u3,r/B
6、1)为不计弱含水层弹性释水越流系统井函数；,当 和,地下水动力学讲稿_第五讲,12,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,3、公式讨论（1）当B1=B2，或*1=*2=0时，有=0，即：erfc（0）=1；主含水层降深公式简化为Theis公式（2）对第一、三情况（定水头）下，当K2=0，*1=*2=0，此时即为不考虑弱透水层弹性释水的情况。（3）由图4-17，H(u,)1/u曲线，反映了S与t（1/u）和的关系，总的来看，s随的增大而减小，当=0时，曲线即为Theis曲线；可以得出：1）当*1、*2增大（1/u减小）时，S将减小；2）随着r增大（1/u减小），S会减小；3）B减小（增大），S
7、将减小。,地下水动力学讲稿_第五讲,13,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,4、利用抽水资料确定水文地质参数配线法（1）短期抽水资料确定T，*配线关系（降深-时间配线）做实验曲线点lg(s)lg(t)与标准曲线lg(H(u,)lg(1/u)配线后可确定：由此可确定：,、及,地下水动力学讲稿_第五讲,14,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）长时间抽水资料确定*1、*2、K1、K21）相邻为定水头函水层（以第一种情况为例）配线关系（降深-时间配线）由实验测点，做曲线点lg(s)lg(t)与越流井函数标准曲线lg(W(u,)lg(1/u)配线，确定配线参数值及两组配线点由方程可确定
8、*1、*2。,、及、。,地下水动力学讲稿_第五讲,15,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,再由可求的B1、B2。有越流因素可求K1，K2。2）相邻层为隔水层的配线法方法相同，不再赘述。,地下水动力学讲稿_第五讲,16,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,四、潜水完整井流的非稳定运动（一）潜水流动的特点 1、潜水井流的导水系数T=Kh随距离r和时间t而变动；2、当潜水井流降深较大时，流速的垂向分量不可忽视，一般为垂向、径向二维流动，用一维径向流动描述将引起较大误差；3、潜水抽水的水量主要来自含水层的重力疏干，不能瞬时完成，有明显的迟后与水位下降现象。潜水面以上的非饱和带的水向下不断地补
9、给潜水，因而给水度y在抽水过程中其速率呈递减过程，如下图所示。只有在足够抽水时间下，给水度y才趋于一个常数。,地下水动力学讲稿_第五讲,17,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（二）潜水完整井抽水的降深-时间曲线特征降深-时间曲线明显地存在三个阶段：1、第一阶段：抽水早期（或许仅几分钟），降深-时间曲线与承压含水层完整井的曲线Theis曲线一致，含水层通过重力排水迟后；此时水流主要是水平运动。2、第二阶段：降深-时间曲线明显偏离Theis曲线，会出现暂短的假稳定状态，说明潜水含水层疏干排水的作用。含水层的反应类似于一个受到越流补给的承压含水层。3、第三阶段：降深-时间曲线又与Theis曲
10、线重合，说明重力排水已跟上水位下降，疏干迟后影响逐渐变小，可忽略不计。给水度所起的作用相当于承压含水层的贮水系数。,地下水动力学讲稿_第五讲,18,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（三）潜水完整井非稳定运动的近似计算1、潜水完整井的数学模型（1）假设条件1）潜水含水层均质，各向同性，潜水井为完整井；2）潜水含水层底隔水层水平；3）潜水含水层抽水前水面水平，抽水过程中降深s0.1H0，抽水含水层厚度可用平均厚度表示4）定流量抽水，无入渗补给或蒸发5）流动满足Darcy定律，流动过程中满足Dupuit假设，既不计z的变化，可作为二维运动或径向对称流动处理。,地下水动力学讲稿_第五讲,19,
11、地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）数学模型选择坐标系在隔水层，如图所示，则有H=z+h=h，则上式可表示为：1）线性化方法之一：方程可简化为：,地下水动力学讲稿_第五讲,20,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,柱坐标表示为：初始条件：边界条件：方程之解为：式中,地下水动力学讲稿_第五讲,21,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2）线性化方法之二（修正降深法）式中：方程简化为：方程之解为：,地下水动力学讲稿_第五讲,22,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（四）考虑迟后疏干的Boulton模型较详细的推导见参考文献：N.S.Boulton,The Drawdown
12、of Water Table under Nonsteady Conditions near a Pumped Well in Unconfined Formation;Proc.Institute of Civil Engineering(London),Vol.3,Part,564-579(1954).张蔚榛：地下水非稳定流计算和地下水资源评价，pp.46-59。1、假设条件（1）均质、各向同性、隔水底板水平，无限延伸的潜水含水层；（2）抽水初始，潜水面为水平面；（3）完整井，井径无限小，降深sH0，定流量抽水；（4）地下水流动服从Darcy定律；（5）抽水时，水位下降，含水层中的水不能瞬
13、时排出，存在滞后现象。,地下水动力学讲稿_第五讲,23,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2、迟后疏干出水量的表示（1）Boulton假设Boulton根据潜水抽水过程降深-时间曲线的特征，提出了考虑迟后疏干的计算方法，即：抽水开始后从到+之间，潜水面下降了s，此间抽出水量由两部分组成1）弹性释水放出水量，水位下降s，单位面积含水层弹性释水为2）迟后疏干排出水量，在水位下降s，假设为：式中-经验系数，将1/称为延迟指数。,地下水动力学讲稿_第五讲,24,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）Boulton假设的合理性1）迟后疏干单位面积的排水量与t-的关系符合一般经验。迟后疏干排
14、水过程线见图4-18。2）在时刻以后，取s=1，则重力排水的总体积为：是含水层的给水度，满足水量均衡条件，符合实际情况；3）在和t时间区间的迟后排水总量为：当t时，有迟后效应。,地下水动力学讲稿_第五讲,25,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（3）迟后疏干的水量表示在抽水过程中从0至t时刻，水位下降了s，潜水层单位面积的疏干水量q可表示为n个i=i-i-1,对应降深为si=si-si-1水量的叠加，当n时，可得到q的表示式，即：,地下水动力学讲稿_第五讲,26,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,3、Boulton考虑迟后疏干潜水井非稳定流数学模型,初始条件：,地下水动力学讲稿_第
15、五讲,27,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,4、Boulton模型的解（1）Boulton求得上述数学模型的解为：,式中：,；,；,疏干因素（量纲为L）；,x 积分变量。,（详细求解过程可参考张蔚榛：pp.46-59。）,地下水动力学讲稿_第五讲,28,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）解的简化当时，即y*时，上述解可简化为：,地下水动力学讲稿_第五讲,29,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,将简化解按抽水过程分为三部分：1）抽水早期与不计弱含水层弹性释水的越流系统井函数相同，越流因素B的作用由疏干因素D代之。W(ua,r/D)潜水含水层A组井函数。2）抽水中期3）抽
16、水晚期W(uy,r/D)潜水含水层B组井函数。如图4-19所示。,式中：,不计弱含水层弹性释水下的越流稳定解。,式中：,地下水动力学讲稿_第五讲,30,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,5、通过抽水实验确定潜水含水层的水文地质参数水文地质参数包括：T（K），y，*，D及1/。（1）配线法作抽水实验，得观测井的lg(s)-lg(t)曲线，与标准曲线配线。可得r/D，确定D。对早期曲线处取点，可确定：对晚期配线处取点，可确定：及,；,；,；,地下水动力学讲稿_第五讲,31,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）直线图解法当抽水时间足够长时，迟后重力疏干排水影响消除，s-lg(t)关系
17、满足于无越流补给的承压完整井一样呈线性关系。S-lg(t)曲线如图4-21所示。S-lg(t)直线方程为：由图可确定：（3）迟后重力排水影响结束时间tW,t。根据标准潜水井函数曲线，对每个r/D，可确定与B组Theis曲线切入点uy，其对应时间为tW,t。由可作曲线图4-20，由该曲线 可确定tW,t。,；,地下水动力学讲稿_第五讲,32,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（五）考虑流速垂直分量和弹性释水的Neuman模型1、数学模型及其解（1）Boulton延迟疏干模型的缺陷1）延迟指数 1/缺乏明确的物理含义；2）对确定的潜水含水层，不能保证是常数，既不是一个物性参数；3）难于解释潜
18、水含水层的释水机制。（2）Neuman模型的特点1）是二维轴对称模型，计入z坐标变化对降深的影响，以及含水层的各向异性特征；2）将潜水面作为动边界，建立了潜水面变动的连续方程；3）由于避免了潜水疏干释水所涉及的非饱和带问题；无需引入物理意义不明的延迟指数，克服了Boulton延迟疏干模型的缺陷。,地下水动力学讲稿_第五讲,33,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（3）Neuman模型的假设条件1）含水层均质（s、y），各向异性（Kr、Kz），侧向无限延伸；坐标轴与主渗透方向一致，隔水层水平；2）初始潜水面水平（H0）；3）水流服从Darcy定律；4）完整井，定流量抽水（Q）；5）抽水期间
19、自由面（潜水面）没有入渗补给和蒸发；6）潜水面的降深和含水层厚度相比小得多，在建立潜水面边界条件时可以忽略水头H对r（或x，y）的导数。,地下水动力学讲稿_第五讲,34,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（3）Neuman数学模型如图4-22所示概化物理模型。,初始条件：,地下水动力学讲稿_第五讲,35,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（4）数学模型的解,地下水动力学讲稿_第五讲,36,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,详细求解过程可参考：Neuman,S.P.Theory of flow in unconfined aquifers considering delayed
20、 response of water table,Water Resour.Res.Vol.8,Res.1031-1045,1972,地下水动力学讲稿_第五讲,37,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,对完整观测井，降深s需用沿z的平均降深表示，此时计算公式不变，仍为：,但0、n须用下两式代之,地下水动力学讲稿_第五讲,38,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2、Neuman解的特点（1）当=*/y是的解，相当于抽水初期，可以证明其解为：（2）当t时，解的渐近曲线满足,rH0条件下，有：,地下水动力学讲稿_第五讲,39,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（3）降深 时间曲线的特
21、点1）以ts为横坐标表示的无量纲降深-时间曲线，如图4-23所示。可看出降深-时间曲线的三个阶段。同样，当用ty为横坐标表示无量 纲降深-时间曲线是曲线如图4-24所示，也可参数抽水降深随时间变化的三个阶段。2）不同z坐标下（同一观测井在不同井深处）的降深-时间曲线变化，如图4-25所示。可以看出：在抽水早期和晚期，降深沿整个井高程变化较小，说明垂向流速较小，水流水平流动；在抽水中期含水层上存在明显的垂向速度分量如图4-26所示。3）不同r下（随径向距离的变化）降深-时间曲线的特点，如图4-27所示。可以看出：随着r的增大，如r/H0=5，10下，弹性释水过程可以忽略，降深-时间曲线与ty的T
22、heis曲线一致；潜水面的滞后反应也随r的增大而减弱，前面所述的降深-时间曲线的三个阶段仅在r不大的情况下才会明显地表现出来。4）各项异性对降深-时间曲线的影响如图4-28所示。可以看出：Kd越小，水平分速度比垂向分速度越大，弹性释水和迟后反应越明显。,地下水动力学讲稿_第五讲,40,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,3、利用抽水实验资料确定水文地质参数（1）配线法1）标准曲线：无量纲降深sd与变量ts（ty）、及参数 有关，取=0，为参变量，分别以ts、ty计算无量纲降深，作出A组和B组双对数曲线，用以分析早期和晚期的降深资料，标准图见4-29，计算数据见表4-10所列。2）配线过程。
23、作出在完整抽水井下完整观测井的双对数曲线lg（s）-lg（t）；在B组曲线下配线，可得和对应的sd，ty，s，t。由此可得：,地下水动力学讲稿_第五讲,41,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,与A组曲线配线，在保持相等的条件下，可得出：sd，ts，s，t；两次所得的T应大致相等。计算其他谁文地质参数,地下水动力学讲稿_第五讲,42,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）直线图解法1）标准半对数曲线分析将标准对数曲线的计算数据画出无量纲降深-对数时间曲线，A组sd-lg(ts)；B组sd-lg(ty)，如图4-30所示。则在抽水早期，数据应落在A组直线附近；抽水中期，数据应位于一条
24、水平线附近；抽水后期，数据应落在B组直线附近。由此可见，要求实测观测井s-lg(ts)与s-lg(ty)应相互平行，否则不能用直线图解法。2）作1/与ty的关系曲线如图4-31所示。,地下水动力学讲稿_第五讲,43,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,3）直线图解法步骤 将抽水实验数据s-t画在半对数坐标纸上；得后期数据点的斜率iL和早期数据点的斜率iE，两斜率值应接近；延长两直线的交于s=0出的tL和tE；可得：做抽水中期水平线与晚期直线的交点，确定时间t，计算可得：查图可确定。其它参数、Kd、Kr，Kz计算方法如前所述。,地下水动力学讲稿_第五讲,44,地下水向完整井的非稳定运动（续第
25、四章）,本讲结束,地下水动力学讲稿_第五讲,45,地下水向完整井的非稳定运动附录,附录：Bessel函数（选自张蔚榛“地下水非稳定流计算和地下水资源评价”附录一）一、Bessel方程和Bessel函数1、Bessel方程称为n阶Bessel方程，该方程为2阶变系数常微分方程。当n为整数或为零时，方程的解可表示为：式中A、B：为任意系数；Jn（x）：n阶第一类Bessel函数；Yn（x）：n阶第二类Bessel函数。,地下水动力学讲稿_第五讲,46,地下水向完整井的非稳定运动附录,2、Bessel函数（1）n阶第一类Bessel函数（2）n阶第二类Bessel函数式中：称为欧拉常数。,地下水动力
26、学讲稿_第五讲,47,地下水向完整井的非稳定运动附录,3、0阶和1阶第一类、第二类Bessel函数（1）第一类Bessel函数1）0阶第一类Bessel函数2）1阶第一类Bessel函数3）0阶与1阶第一类Bessel函数图形曲线曲线特点：振荡函数，随x的增加，振幅减小。,地下水动力学讲稿_第五讲,48,地下水向完整井的非稳定运动附录,（2）第二类Bessel函数1）0阶第二类Bessel函数2）1阶第二类Bessel函数3）0阶与1阶第二类Bessel函数图形曲线曲线特点：振荡函数，随x的增加，振幅减小。,地下水动力学讲稿_第五讲,49,地下水向完整井的非稳定运动附录,二、虚宗量Bessel
27、方程与Bessel函数1、虚宗量Bessel方程当取z=ix时，上式即可变换为Bessel方程。当n为整数或为零时，方程的解可表示为：式中A、B：为任意系数；In（x）：n阶第一类虚宗量Bessel函数；Kn（x）：n阶第二类虚宗量Bessel函数。,地下水动力学讲稿_第五讲,50,地下水向完整井的非稳定运动附录,2、虚宗量Bessel函数（1）n阶第一类虚宗量Bessel函数（2）n阶第二类虚宗量Bessel函数式中：称为欧拉常数。,地下水动力学讲稿_第五讲,51,地下水向完整井的非稳定运动附录,3、0阶和1阶第一类、第二类虚宗量Bessel函数（1）第一类虚宗量Bessel函数1）0阶第一
28、类虚宗量Bessel函数2）1阶第一类虚宗量Bessel函数3）0阶与1阶第一类虚宗量Bessel函数图形曲线曲线特点：0阶对称于y轴；一阶反对称于y轴。,地下水动力学讲稿_第五讲,52,地下水向完整井的非稳定运动附录,（2）第二类虚宗量Bessel函数1）0阶第二类虚宗量Bessel函数2）1阶第二类虚宗量Bessel函数3）0阶与1阶第二类Bessel函数图形曲线曲线特点：衰减函数，随x的增加而衰减。,地下水动力学讲稿_第五讲,53,地下水向完整井的非稳定运动附录,三、Bessel函数的性质1、Jn（x）的性质,地下水动力学讲稿_第五讲,54,地下水向完整井的非稳定运动附录,2、Yn（x）的性质,地下水动力学讲稿_第五讲,55,地下水向完整井的非稳定运动附录,3、In（x）的性质,地下水动力学讲稿_第五讲,56,地下水向完整井的非稳定运动附录,4、Kn（x）的性质,地下水动力学讲稿_第五讲,57,地下水向完整井的非稳定运动附录,
