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1、标量场和矢量场,标量场的梯度,矢量场的通量与散度,矢量场的环量与旋度,亥姆霍兹定理,电磁场的特殊形式,第0章 矢量分析,下 页,返 回,Vector Analysis,正交坐标系,常用正交坐标系,空间直角坐标系,圆柱坐标系,球坐标系,下 页,上 页,返 回,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。,例如，在直角坐标下：,0.1 标量场和矢量场,标量场,矢量场,如流速场、电场、涡流场等。,Scalar Field and Vector Field,下 页,上 页,返 回,其方程为:,图0.1.1 等高线,(1)标量场-等值线(面),形象描绘场分布的工具场线,思考
2、,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,下 页,上 页,返 回,三维场,二维场,图0.1.2 矢量线,矢量场-矢量线,其方程为：,在直角坐标下：,下 页,上 页,返 回,0.2 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field,设一个标量函数(x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 的方向导数为,设,式中,分别是任一方向 与 x,y,z 轴的夹角,则有：,当，最大,下 页,上 页,返 回,梯度(gradient),哈密顿算子,式中,图0.1.3 等温线分布,梯度的方向为该点最大方向导数的方向。,梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即最大方向导数。,标量场
3、的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。,梯度的意义,下 页,上 页,返 回,例 三维高度场的梯度,图0.2.1 三维高度场的梯度,高度场的梯度与过该点的等高线垂直；,数值等于该点位移的最大变化率；,指向地势升高的方向。,下 页,上 页,返 回,例 电位场的梯度,图0.2.2 电位场的梯度,电位场的梯度与过该点的等位线垂直；,数值等于该点的最大方向导数；,指向电位增加的方向。,下 页,上 页,返 回,0.3 矢量场的通量与散度,0.3.1 通量(Flux),矢量场A 沿有向曲面 S 的面积分,Flux and Divergence of Vector,下 页,上 页,返 回,若 S 为闭合曲面
4、根据通量的大小判断闭合面内源的性质：,0.3.2 散度(Divergence),如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任意方式缩小到点 P 时：,散度(divergence),下 页,上 页,返 回,散度的意义,在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。,矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；,散度是通量体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量。代表矢量场的通量源的分布特性。,下 页,上 页,返 回,0.3.3 散度定理(Divergence Theorem),图0.3.4 散度定理,高斯公式,矢量函数的面积分与体积分的相互转换。
5、,下 页,上 页,返 回,0.4 矢量场的环量与旋度,0.4.1 环量(Circulation),矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分,环量,环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。,Circulation and Rotation of Vector Field,下 页,上 页,返 回,图0.4.1 环量的计算,水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。,例：流速场,图0.4.2 流速场,流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。,下 页,上 页,返 回,0.4.2 旋度(Rotation),1.环量密度,过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线
6、绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限,环量密度,环量密度是单位面积上的环量。,下 页,上 页,返 回,2.旋度,旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向,旋度,S 的法线方向,它与环量密度的关系为,在直角坐标下:,下 页,上 页,返 回,3.旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。,在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。,若矢量场处处 A=0，称之为无旋场。,下 页,上 页,返 回,4.斯托克斯定理(Stockes Theore
7、m),矢量函数的线积分与面积分的相互转化。,图 0.4.3 斯托克斯定理,斯托克斯定理,下 页,上 页,返 回,0.5 亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。,已知：,Hymherze Theorem,下 页,上 页,返 回,例 试判断下列各图中矢量场的性质。,下 页,上 页,返 回,0.6 特殊形式的电磁场,如果在经过某一轴线(设为 z 轴）的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f（x，y），则称这个场为平行平面场。,1.平行平面场,Special Forms of Electromagnetic Field,如无限长直导线产生的电场。,下 页,上 页,返 回,0,如果在经过某一轴线(设为 z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f（r,），则称这个场为轴对称场。,2.轴对称场,如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。,下 页,上 页,返 回,3.球面对称场,如果在一族同心球面上（设球心在原点），场 F 的分布都相同，即 F=f（r），则称这个场为球面对称场。,如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。,上 页,0,返 回,2.,3.,式中：,试证明下列各题:,1.,上 页,返 回,
