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1、第8章 平面弯曲杆件的应力与强度计算,.纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。,剪力“Fs”切应力“”；弯矩“M”正应力“”,2.横力弯曲（剪切弯曲）,梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。,一、纯弯曲和横力弯曲的概念,8.1 梁横截面的正应力和正应力强度条件,二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式,（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。,1、观察实验：,2、变形规律：,、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。,、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。
2、,3、假设：,（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。,凹入一侧纤维缩短,突出一侧纤维伸长,根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中性层。,中间层与横截面的交线中性轴,（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。,梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。,4、线应变的变化规律：,在弹性范围内，,（二）物理关系：由纵向线应变的变化规律正应力的分布规律。,
3、应力的分布图：,中性轴的位置？,为梁弯曲变形后的曲率,（中性轴Z轴为形心轴）,（y轴为对称轴，自然满足）,弯曲变形计算的基本公式,（三）、静力方面：由横截面上的弯矩和正应力的关系正应力的计算公式。,弯曲正应力计算公式。,弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M 0时，下拉上压；当M 0时，上拉下压。,将上式代入式 得：,弯曲变形计算的基本公式,Wz 截面的抗弯截面系数,最大正应力的确定,截面关于中性轴对称,截面关于中性轴不对称,几种常见截面的 IZ 和 WZ,圆截面,矩形截面,空心圆截面,空心矩形截面,工程中常见的平面弯曲是横力弯曲,8.2 正应力公式的推广,6-2,实验和弹性力学理论的
4、研究都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l/h 5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,截面关于中性轴对称,截面关于中性轴不对称,(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内),横力弯曲梁上的最大正应力,1.C 截面上K点正应力,2.C 截面上最大正应力,3.全梁上最大正应力,4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半径,1.求支反力,（压应力）,解：,2.C 截面上K点正应力,例,3.C 截面最大正应力,C 截面弯矩,4.全梁最大正应力,最大弯矩,5.C 截面曲率半径,C 截面弯矩,例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：,10槽钢,解：1）画弯矩图,2）查型钢表：,
5、3）求应力：,cmax,tmax,8.2.2 梁横截面的切应力,一、矩形截面梁横截面上的切应力,1、假设：横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。,切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。,2、公式推导,x,d,x,图a,关于横截面切应力分布规律的假设：,侧边上的切应力与侧边相切,切应力沿 z 的方向均匀分布,用切应力互等定律简单证明,2.矩形截面梁的弯曲切应力,2.矩形截面梁的弯曲切应力,2.矩形截面梁的弯曲切应力,2.矩形截面梁的弯曲切应力,3、矩形截面剪应力的分布：,(1)t 沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=
6、0)；(3)上下边缘处（y=h/2)，切应力为零。,二、非矩形截面梁圆截面梁,切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与 y 轴对称；与 y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致。,关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点；2、这些切应力沿 y方向的分量ty 沿宽度相等。,最大切应力t max 在中性轴处,1、工字形薄壁梁,假设:t/腹板侧边，并沿其厚度均匀分布,腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算。,下侧部分截面对中性轴 z 的静矩,三、薄壁截面梁,2、盒形薄壁梁,3、薄壁环形截面梁,薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：(1)d
7、 r0沿壁厚切应力的大小不变；(2)内、外壁上无切应力切应力的方向与圆周相切；(3)y 轴是对称轴 切应力分布与 y 轴对称；与 y 轴相交的各点处切应力为零。,最大切应力tmax 仍发生在中性轴z上。,薄壁环形截面梁最大切应力的计算,例 FS=15 kN，Iz=8.8410-6 m4，b=120 mm，d=20 mm，yC=45 mm。试求：tmax；腹板与翼缘交接处切应力 ta,解：,4、薄壁截面梁翼缘上的切应力,计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力,(1)平行于y 轴的切应力,可见翼缘上平行于y 轴的切应力很小，工程上一般不考虑。截面上的剪力基本上由腹板承担,(2)垂直于y 轴的切应力
8、,欲求切应力值的点所在位 置的壁厚欲计算且应力的点到截面端部（t=0 处)这部分截面的面积,即翼缘上垂直于y轴的切应力随 按线性规律变化。,通过推导可以得知，薄壁工字钢梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。,弯曲正应力与弯曲切应力比较,当 l h 时，smax tmax,8.3.1 梁的正应力强度条件,材料的许用弯曲正应力,中性轴为横截面对称轴的等直梁,拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,弯曲正应力强度条件,（3）B截面，C截面需校核,（4）强度校核,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,解：,B截面：,C截面：,（5）结论:轮轴安全,
9、解：1)求约束反力,例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t=30 M Pa，c=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，I z=763cm4，试校核此梁的强度。,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,2）画弯矩图,3）求应力,B截面（上拉下压）,M,C截面（下拉上压）,C截面（下拉上压）:,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,F,2,=,4,kN,F,1,=,9,kN,4)强度校核,B截面（上拉下压）:,最大拉、压应力不在同一截面上,结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：,M,M,8.3.2 梁的切应力强度
10、条件,一般tmax发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，则tmax所在点处于纯剪切应力状态。,梁的切应力强度条件为,材料在横力弯曲时的许用切应力,对等直梁，有,弯曲切应力的强度条件,1、校核强度2、设计截面尺寸3、确定外荷载。,需要校核剪应力的几种特殊情况：,(2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力,(1)梁的跨度较短，M 较小，而 Q 较大时，要校核剪应力。,(3)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。,悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的=10 MPa，=1MPa，求许可载荷。,1.画梁的剪力图和弯矩图,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,解：,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,
