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1、弹 性 理 论,Theory of Elasticity,张建海（教授）黄哲聪（博士）,参考教材,弹性力学（第4版），徐芝纶主编，高等教育出版社，2006弹性理论（第3版），J.N.Goodier 主编，清华大学出版社，2007弹性力学，徐秉业、王建学编著，清华大学出版社，2007弹性力学与有限单元法，蒋玉川、张建海、李章政编著，科学出版社，2006,第一章 绪论Chapter 1 Exordium,弹性力学的研究内容(Study Contents)弹性力学的研究方法(Study Methods)弹性力学的基本假设(Basic Hypothesis)弹性力学的发展史(Development H
2、istory)张量简介(Introduction of Tensor),本章主要内容Main Contents,1.1 弹性力学的研究内容Study Contents of the Elasticity Mechanics,弹性力学也称弹性理论是固体力学学科的一个分支,基本任务,研究弹性体由于外力作用、边界约束或温度改变等原因而产生的应力(stress)、形变(deformation)和位移(displacement)等效应。,弹性力学、材料力学、结构力学三者关系The Relation of the Three Mechanics,分析各种结构物或其杆件在弹性阶段(Elastic Stage
3、)的应力和位移，校验它们是否具有所需的强度、刚度、稳定性，并寻求或改进它们的计算方法,common ground,研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。,在材料力学基础上研究杆系结构（如 桁架、刚架等）。,研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。,Difference 1,Material Mechanics,Structural Mechanics,Elasticity Mechanics,除了基本假设之外，为了简化数学推导，还有附加假设，结论有一定近似。如:平面截面假设及横力弯曲情况下，梁横截面上剪应力的分布假设。,与材料力学基本相同
4、,常只作基本假设，在此基础上运用数学理论通过演绎与推理求解力学模型，其分析更为精确。,Difference 2,Material Mechanics,Structural Mechanics,Elasticity Mechanics,例1 满载均荷简支梁Example 1:The Simply Supported Beam under Simply Supported Beam,公式成立的条件,弹性力学的结果可以检验材料力学结果是否合理。,例2 徐变截面杆的分析Example 2:Analysis of the bar with creep section,材料力学计算简单而结果往往是近似的，
5、但不少情况下精度可以满足工程要求的,Difference 3,取分离体(isolated body)方面,材料力学,弹性力学,一般截取部分杆段研究,一般截取微单元体研究,Material Mechanics,Elasticity Mechanics,Equilibrium Equation,Partial Differential Equations,材料力学,Difference 4,从微分单元体入手，严格考虑静力学、几何学、物理学三个方面的条件，边界上严格考虑受力和约束条件，三维数学问题，求解偏微分方程边值问题。,数学计算(Numerical Computation)方面,也考虑上述条件，
6、但不是十分严格。常采用近似的假设如平面截面假设来简化问题，基本上是一维数学问题，基本方程是常微分方程。,弹性力学,Material Mechanics,Elasticity Mechanics,解析法(Analytical Method)数值法(Numerical Method)实验法(Experimental Method),1.2 弹性力学的研究方法Study Method of the Elasticity Mechanics,分离变量法,偏微分方程,常微分方程,偏微分方程的边值问题,弹性力学问题,解析法,级数解法,复变函数法,积分变换法,封闭的精确解,工程上的实际问题能真正获得解析解的
7、情况实属少数,数值法,有限单元法,有限差分法,边界单元法,无单元法,DDA法,有限体积法,流形元法,根据弹性力学的理论发展起来的光弹性力学方法、电测法等为求解弹性力学问题提供了一种有效的途径。,实验法,1.3 弹性力学的基本假设Basic Hypothesis of Elasticity Mechanics,物质属性假设,连续性Continuity,均匀性Uniformity,物质毫无空隙地充满了物体的几何空间,物体内任取两点它们的物质构成及物性都相同,各向同性Isotropic,物体内任一点材料沿着各个方向的性质相同,完全弹性Perfect Elastic,物体受力与变形之间的关系符合线性关
8、系。引起变形的力消除，变形消失。,各变量为连续函数,可取任意单元体研究,弹性常数不随方向变化,应力、应变服从胡克定律,初始无应力应变Initial Unstressed-Strain,1.4 弹性力学的发展史Development History of Elastic Mechanics,回顾历史，弹性力学是在不断解决工程实际问题的过程中逐步发展起来的。1638年由于建筑工程的需要，迦里略（Galileo，G）首先研究了梁的弯曲问题,得出了一些正确的结论,英国力学家胡克（Hooke,R.）根据金属丝，弹簧和悬臂木梁的实验结果于1678年发表了弹性体的变形与作用力（更准确地说，应变与应力）成正比
9、的物理定律，为弹性理论打下了坚实的物理基础。但当时仅局限于处理梁，杆，柱拱等一维工程结构问题。,Bernoullis,Jacob Bernoulli 1654-1705,Johann Bernoulli1667-1748,Daniel Bernoulli 1700-1782,1821-1822年纳维（）和柯西(Cauchy,A.L)导出了弹性理论的普遍方程，为弹性理论奠定了严密的数学基础,Augustin-Louis Cauchy 法国数学家柯西 于1805年进入巴黎综合工科学校，1807年入桥梁公路学校，1809年毕业后成为军事工程师，负责港口、碉堡等方面的设计工作。他提出弹性体平衡和运动的
10、一般方程，给出应力和应变的的严格定义，提出它们可以用六个分量表示。他还给出了应变和位移之间的关系式。,Clande-Louis-Marie-Henri Navier(1821)法国力学家、工程师纳维生于1785年，早期进巴黎综合工科学校和桥梁公路学校学习，1819年起在桥梁公路学校教授应用力学，1824年当选为法国科学院院士纳维的主要贡献是为流体力学和弹性力学建立了基本方程。纳维还最早采用双三角级数求解简支矩形板的四阶偏微分方程,Navier equation,此后，许多学者致力于解决二维、三维的典型工程结构问题，例如平面问题，柱体扭转与弯曲问题，接触问题，板壳问题以及开孔，缺口附近的应力集中
11、问题，Green从拉格郎日分析力学形成建立了弹性理论的能量形式，即所谓虚位移原理，并首次决定出最一般弹性关系的21个弹性常数，对弹性理论作出贡献的科学家还有Euler，G.Lame，Saint-Verant，Airy，Maxwell，Michell，Kelvin，木什海立什维立，莱维(Levy),基儿霍夫(Kirchhoff)，Timoshenko，Ritz，Inglis，钱学森，钱伟长等。,Simon Denis Poisson,Poissons ratio,（1829）,Saint-Venant,Saint-Venant Principle Semi-inverse solution,(1
12、853),法国力学家圣维南对弹性力学的研究也做出了重要贡献。他用半逆解法分别求解了柱体的扭转和弯曲问题，他提出，如果柱体端部两种外荷载是静力等效的，则端部以外区域内两种情况中的应力场差别甚小。这一思想后来称为圣维南原理。圣维南原理长期以来在工程力学中活得了广泛的应用，但它在数学上的精确表述和严格证明却是在一百年后。,泊松在1829年曾发表了题为弹性体平衡和运动研究报告的科学论文，文中认为：从理论上推演出的各向同性弹性杆在受到纵向拉伸时，横向收缩应变与纵向伸长应变之比是一常数，其值为四分之一。这一结论显然是不正确的。因为后来实验证明，这一比例系数是与具体材料有关的。但后来人们仍将这一比例系数称为
13、泊松比。,Helmholtz Helmholtz free energyHelmholtz transformation,Beams on elastic foundationTimoshenko beam theoryMechanics of plates and shellsElastic vibration,为了满足土木，机械，航空，造船，原子能，石油化工等一系列工程需要，20世纪以来弹性理论取得了重大进展，已成为工程结构强度设计的重要理论依据。由于弹性理论取得了重大进展，已成为工程结构强度设计的重要理论依据。由于弹性理论基本方程的复杂性，能够精确求解的工程结构的问题实属少数，里茨迦辽金
14、分别于1908年和1915年提出基于能量原理的直接解法。到20世纪50年代发展成为了有限单元法，边界单元法等数值计算的方法，使对各种工程结构进行弹性分析成为现实。本教材着重论述线性弹性力学的基本理论，方法和典型问题的求解，不涉及实验和数值计算方法。,1.5 张量简介Introduction of Tensor,在弹性力学、塑性力学和有限单元法中，经常采用矢量和张量，其特点是简洁扼要，全部列出所有分量而不遗漏，而且排列有序，便于公式推导和编制计算机程序。因此，掌握指标符号、求和约定以及张量的基本知识对于学习弹性力学及有限单元法是十分重要的。下面将具体介绍指标符号、求和约定以及矢量、张量的基本知识
15、。,1.5.1 指标符号(Index Symbol)与求和约定(Summation Convention),求和式为:,(1-1),可以应用求和符号写成:,(1-2),我们约定，当在同一项中有一个下标出现两次时，则对此下标从1到3求和，这叫做求和约定，也称为爱因斯坦求和约定。并且我们把同一项中重复出现的指标称为哑指标(dummy index)。,因此，(1-2)式可以写成:,(1-3),又例如方程组(System Equations)：,可以写成:,(1-6),式中：i为自由指标(free index)，同一项中只出现一次，同一方程中，各项的自由指标应相同。j：为哑指标(dummy index
16、)，表示求和，同一项中重复出现。一方面通过哑指标对求和起缩写的作用，另一方面，通过自由指标可将方程组缩写为一个指标符号方程。,1.5.2 克罗内克符号ij与符号eijk,Kronecker符号的定义是:,定义式表明它的指标和是对称的，即,克罗内克符号写成矩阵形式为:,符号ij在运算中起到指标置换的作用，当ij的某一指标与任意一个指标符号的一个指标构成哑指标时，所起的作用是将该指标符号的这个指标换成ij的另一指标。,且：,所以,ij也称为换标符号。,另一个常用的特定指标符号是排列符号，最常用的三指标的排列符号，指标取值范围为123，123是这三个数的顺序排列，其中任意两数交换一次称为一次置换，比
17、如将12交换成21，或者将23交换成32。由顺序排列经奇数次置换所得称为奇排列，如213是奇排列，由顺序排列经偶数次置换所得称为偶排列，如：312为偶排列。其它所有不能由顺序排列经置换得到的称为非排列序列，如：121，111。利用上述概念，eijk可以定义为：,eijk适用于三阶行列式(Determinant)的展开，如将行列式的元素记作amn，则三阶行列式的展开式简写为:,1.5.3 矢量的坐标变换The Vectorial Coordinate Transformation,矢量A的分量在新坐标系中的分量Ai与在旧坐标系中的分量Ai有如下关系式：,aij表示xi和xj之间的方向余弦:,图1
18、-1,（1.14）,式（1.14）可以写成：,或者反过来写成：,式中aij,aji代表方向余弦，即,(1-15),(1-16),1.5.4 正交关系orthogonality relationship,应用克罗内克符号ij，任何一个矢量的分量可以写成,(1-18),从方程(1-15)和(1-16)，可以得到,(1-19),将(1-19)式代入(1-18)式可以得到下列形式:,(1-20),由于矢量的分量Aj的任意性，于是得到如下正交关系：,(1-21),同理可得：,(1-22),方程(1-21)和(1-22)称为方向余弦之间的正交关系。,1.5.5 直角坐标张量Rectangular Coor
19、dinates Tensor,1.张量的坐标变换定义：,张量即某些依赖坐标轴方向选择的量，随坐标的方向变换以某种指定的形式作变换，则这些量的总称为张量。,现在分析二阶张量，如物体中一点的应力状态ij为二阶张量，共有9个分量，对应于每一个坐标方向有3个分量，如在x轴方向有11、12、13三个分量为一阶张量，ij在两个不同的直角坐标系间的坐标变换用张量表示为：,(1-23),当坐标变换按照(1-23)式变换时，式(1-23)称为二阶张量的解析定义式。Qim、Qjn式中为新老坐标之间的方向余弦，ij为新坐标系的应力状态；mn为同一点在旧坐标系的应力状态。这种坐标变换可以推广到更高阶张量，即,(1-2
20、4),(1-25),张量的阶数就是自由指标的个数，如式(1-24)中，自由指标共三个，所以，ijk为三阶张量。在三维空间中，张量的分量数分别为。,2.张量的性质,张量相等是指各相应分量相等，记为,(1-26),同阶张量的和与差仍为同阶张量，记为,(1-27),张量相乘，其自由指标数目增加，即张量增阶，如：,式(1-28)中，一阶张量与二阶张量相乘，变为三阶张量。这种增阶的张量相乘称为张量的外积。,张量相乘遇到相同指标，即哑指标时，张量缩阶，如,缩阶是由于有这种相同指标，故这种张量相乘称为张量的内积。,1.5.6 格林理论The Theory of Green,如果B表示的是任意标量或矢量、张量的标量分量，格林理论的线、面积分转换的关系式(又称为奥-高公式)为,另外，方程(1-30)也可以应用于矢量的分量Bi和二阶张量的分量Bji，即,和,(1-31),(1-32),(1-30),这里ni表示了面积上的单位法向矢量的分量。方程右边的“，”表示对求偏导数。,
